научная статья по теме НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕКОМБИНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В SI(ZN) В УСЛОВИЯХ РАЗВИТОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕКОМБИНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В SI(ZN) В УСЛОВИЯХ РАЗВИТОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ»

МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 33, № 1, с. 50-55

= МАТЕРИАЛЫ

УДК 621.382

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕКОМБИНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В Si(Zn) В УСЛОВИЯХ РАЗВИТОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

© 2004 г. Б. В. Корнилов, Г. Б. Михайлов, В. В. Привезенцев

Физико-технологический институт Российской АН E-mail: privez@ftian.oivta.ru Поступила в редакцию 10.04.2003 г.

Рассмотрена нелинейная теория рекомбинационных волн в Si(Zn) с учетом нарушения квазинейтральности электронно-дырочной плазмы. В условиях развитой электрической неустойчивости получена связь между скоростью движущегося домена и параметрами материала, а также видом вольтамперной характеристики образца. Экспериментальное значение электрического поля, при котором происходит трансформация пространственно однородной рекомбинационной волны в движущий домен, соответствует расчетной величине. Теоретическая полевая зависимость частоты колебаний тока для области полей, соответствующей сформировавшемуся движущемуся домену, качественно и количественно согласуется с экспериментальной.

1. ВВЕДЕНИЕ

В работах [1, 2] теоретически показано, что в полупроводниках с сильно различающимися временами жизни электронов и дырок пространственно однородное распределение плотности носителей заряда и электрического поля может оказаться неустойчивым и привести к возбуждению электронно-дырочной плазмы типа реком-бинационных волн. Вскоре они были обнаружены экспериментально [3, 4]. В дальнейшем теория была обобщена на случай полупроводника, содержащего многоуровневые глубокие рекомби-национные центры [5]и центры прилипания [6]. Теоретически был рассмотрен также способ возбуждения рекомбинационных волн с помощью системы встречно-штыревых электродов [7]. Однако результаты всех выше перечисленных теоретических работ получены в линейном приближении, которое позволяет определить только условия возникновения рекомбинационных волн, но не дает возможности описать эволюцию флуктуации плотности носителей заряда и электрического поля за порогом возбуждения неустойчивости. В работах [8, 9], посвященных экспериментальному исследованию медленных рекомбинационных волн в 81^п) далеко за порогом возбуждения, на основе анализа изменения формы и спектра автоколебаний тока было высказано предположение, что в условиях развитой неустойчивости имеют место нелинейные эффекты, сопровождающиеся появлением пространственно-уединенных волн -солитонов.

Нелинейные рекомбинационные волны теоретически исследовались в работах [10-12], при-

чем была показана возможность существования как однородного периодического распределения плотности носителей заряда и электрического поля [10, 11], так и солитонного [12]. В применении к солитонному типу решений обеднение носителями заряда оказалось настолько велико, что нарушилось одно из основных предположений теории - малость обратного времени жизни корот-коживущих носителей заряда по сравнению с максвелловской частотой релаксации. Таким образом, из анализа результатов работы [12] следует необходимость учета нарушения квазинейтральности электронно-дырочной плазмы в развитой неустойчивости рекомбинационных волн. В этом случае при электрических полях, намного превышающих пороговое, естественно ожидать, что нелинейные процессы, стабилизирующие рост флуктуации электрического поля за порогом возбуждения неустойчивости рекомбинационных волн, будут определяться сильным дрейфом носителей заряда, сопровождающимся нарушением квазинейтральности электронно-дырочной плазмы. Именно такая модель и будет использована в настоящей работе для построения нелинейной теории развитой неустойчивости рекомбинационных волн, следствия которой сопоставляются с экспериментальными данными, полученными для медленных рекомбинационных волн в 81^п).

2. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ РАЗВИТОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ РВ

В формальном отношении далее речь пойдет об анализе решений системы уравнений переноса

(мы рассматриваем полупроводник п-типа, в котором По > Ро, а тп > Тр)

дп П - П о д дп _ ,

др+4"=И °р др -м рре|.

дг

(1) дополненных условием на полный ток

(2)

£ дЕ , . _ дп _ др ] _ , ,

4тп?Э7 + Е (^пП + Црр) + В дх~ °р дХ = е = Ео (^0 + Мрро).

(3)

Здесь п и р - концентрации электронов и дырок, а п0 и р0 - их равновесные значения; Вп, Вр и Мп, мр - соответственно их коэффициенты диффузии и подвижности; Е - напряженность электрического поля; Е0 - ее среднее значение в образце; ] - полная плотность тока, протекающего через образец; Тп и тр - времена жизни электронов и дырок; £ - диэлектрическая проницаемость; е - заряд электрона; х - координата; г - время. Так как диапазон частот рекомбинационных волн ограничен обратными временами жизни носителей заряда обоих знаков т^ < ® < Т-1, то на частотах, удовлетворяющих этому неравенству в уравнениях (1) и (2) можно пренебречь производной по времени от концентрации дырок и рекомбинацией электронов. Именно в этом приближении без учета и нарушения квазинейтральности электронно-дырочной плазмы и были выполнены работы [10-12].

Дальнейшего упрощения можно достигнуть в дрейфовом приближении. Для этого необходимо, чтобы характерная длина распределения поля или заряда превышала диффузионную; соответствующие оценки будут приведены ниже. С другой стороны, если длина образца велика в масштабе характерной длины распределения поля,

то решение системы (1)-(3) должно быть инвариантно относительно пространственно-временных сдвигов. Этому условию удовлетворяют функции вида/(х, г) = /(х + Уг), описывающие распределения заряда и поля, движущиеся с постоянной скоростью У.

Форма этих распределений определяется решением системы (1)-(3), которая, с учетом сделанных замечаний, приводится к виду:

£(пУ- ]ХппЕ) = 0,

м р£( рЕ)+р--г = 0,

(4)

(5)

£ йЕ

4Пе У Л + Е (№ + Црр) = Ео (^по + Црро). (6)

Система (4)-(6) должна быть дополнена необходимым числом граничных условий, одно из которых используется для определения константы интегрирования уравнения (4). Для солитонного решения эти условия таковы: п(±^) = п0; Е(±~) = Ео.

Интегрируя (4) и подставляя результат в (5) и (6), получим

еЦ +

ds

М рТ

1 4пе м „ У- ЦпЕо + -— Мппо Е -

(У - МпЕ

йЕ-4Пе . Мпро . ( Е - Ео) ( Е - Е ) £ Утр У - мпЕ

= о,

(7)

где

Мппо + Мрро Е1 = У----------------------------- .

Мп М рро

Если вид константы интегрирования не конкретизировать, то можно убедиться в следующем. Рассматривая (4)-(6) как динамическую систему второго порядка, можно показать, что среди ее фазовых траекторий замкнутые не исключаются. Однако даже качественный анализ такой системы остается по существу формальным, так

как топология фазовой плоскости определяется константой интегрирования уравнения (4), вид которой неизвестен. По этой причине в дальнейшем рассматриваются только солитонные решения системы (4)-(6). Этому случаю соответствует замкнутая фазовая траектория уравнения (7), проходящая через сепаратрисы седла (Е = Е0,

йЕ йЕ

— = 0) и окружающую точку (Е = Е,, — = 0). Та-

ds ds

кая ситуация имеет место, если Е1 > Е0 и У < мпЕ0; при этом максимальное поле в домене Етах > Е1.

С формальной точки зрения здесь речь идет о решении уравнения (% = dE/ds)

^ = -1 dE E

М pт

1 4пе м ^-^Ео — + — Мп«0 Е--

(V - МпЕ)2

выделенного условием %(Е0) = 0 и зависящего от скорости V как от параметра. Для солитонного решения этот параметр определяется из условия замкнутости фазовой траектории

( Е - Ео) ( Е - Е) _ 0 ( Е ) ( IV - Цп Е ) 0-

(9)

Интеграл (9) берется на решении уравнения (8), %(Е) с условием %(Е0) = 0. Такое решение не единственно (точнее, неоднозначно).

Обозначим через %+(Е) и %ДЕ) ветви функций %(Е, Е0), соответствующие росту поля (от Е0 к Етах) и его убыванию. Тогда из (9) получим

(Е - Ео)(Е - Е1)

Е(V - ЦпЕ)

1

1

.%+(Е) и Е)\

dE _ 0. (10)

При этом верхний предел интеграла (10) определяется решением %(Е, Е0) из условия —

dE

2 4пе МпРо (Е - Ео)(Е - Е1)

% Е

Vт „

V - ЦпЕ

т.е. Етах зависит от Е0. Этим и определяется зависимость V(E0), однако без приближений сомнительной строгости установить ее из (10) невозможно.

В этой ситуации представляется естественным связать полевую зависимость скорости движения домена с видом ВАХ образца. Действительно, напряжение на образце определяется распределением поля Е^), которое зависит от величины скорости V как от параметра. Расчет ВАХ образца осложняется наличием "силы трения" в уравнении (7), причем "коэффициент трения" меняет знак с увеличением поля. Из общих результатов нелинейной механики известно [13], что движение по замкнутой фазовой траектории при этом таково, что интеграл от "силы трения" вдоль траектории Е^) равен нулю. Поэтому анализ распределения поля в нулевом приближении проводится без учета диссипативного слагаемого в (7). В этом случае, интегрируя (7) при условии %(Е0) = 0, получим

+

Е

I

Ео

Е

1 %2 _ и(Е, Ео) _ I

dE

4пе ЦрРо (Е - Ео) ( Е - Е1) е VI р Е ( 1/ - Цп Е ) .

(11)

Функция и(Е) имеет минимум при Е = Е0, а максимум при Е = Е1 и обращается второй раз в нуль в точке Е = Етах. Эти свойства и(Е) сохраняются и в модельной аппроксимации и(Е) многочленом третьей степени:

и (Е, Ео) _ | (Е - Ео )2 (Етах- Е),

_ 4п)е . МпРоо . Е1 - Ео___1

е VI р Етах- Ео Ео (МпЕо- V).

(12) (13)

ричной формы, размер которого 10 ~ мпЕ0тр(юштр)1/2 (здесь учтено, что V< цпЕ0 < цпЕ1). Максимальное поле в домене (Етах ) достигается в центре его (5 = 0) под пространственно однородным распределением поля Е0.

Из (14) легко получить ВАХ образца, дополняющую ее омический участок

I-

AV0 _ [№) - Ео]ds _ 4^Етах-Е°.

V X

(15)

Интегрируя (11), получим с учетом (12) Е( s ) _ Ео + ( Етах - Ео ) ОН2 (2^Етах- ^ . (14)

Таким образом, нелинейной рекомбинационной волны соответствует домен сильного поля, симмет-

Далее, используя (12), из условия и(Е) = 0

дЕ

получим

3Е1 _ 2Етах+ Ео, Е1

УЦп п о

Цп м рРо

(16)

Е

о

I, мкА 90

80

70

60

50

40

30

20

10

У0

(а)

1 'Х/Х,

2 <

/

/

/

- ДУ, Гц

/

4

/

2 2

(б)

20

25

30 35 У, в

10

20

30 40

50 60

70

80 90

У, в

(а) - Вольтамперная характеристика образца (1) и продолжение ее омического участка (2); формы колебаний тока при разных электрических полях в образце Е, В/см: 1 - 5.0; 2 -

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Электроника. Радиотехника»