Письма в ЖЭТФ, том 89, вып. 5, с. 259-263
© 2009 г. 10 марта
Нелинейные спиральные волны в галактическом диске
Я. С. Алексеевг\ А. А. Даниленко Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, 194021 Санкт-Петербург, Россия Поступила в редакцию 21 января 2009 г.
Найдено аналитическое решение уравнений нелинейной динамики галактического диска, описывающее спиральный узор спиральных галактик. Объясняются логарифмическая форма спирального узора, а также относительно большая величина флуктуации плотности по сравнению с флуктуациями поля скоростей. При некотором критическом значении амплитуды найденного решения происходит его опрокидывание. Это может служить одним из механизмов возникновения галактических ударных волн и узких областей звездообразования.
PACS: 98.52.Nr, 98.56.Ne
1. Гипотеза волн плотности для объяснения спирального узора спиральных галактик предложена в работе [1]. В статьях [2] в линейном приближении были построены спиральные волны плотности для галактического диска, описываемого уравнениями гидродинамики или бесстолкновительным кинетическим уравнением. Модель [2], оставаясь важной и сегодня, содержит серьезные трудности. Во-первых, в работе [3] было показано, что решения [2] являются неустойчивыми в широкой области параметров, описывающих модели галактик. Во-вторых, в реальных галактиках отклонения плотности вещества в рукавах от плотности вне рукавов не являются малыми [4], как предполагалось в линейной модели [2]. В-третьих, недавние наблюдения указывают на то, что во многих галактиках существует гало из темной материи, масса которого часто превосходит наблюдаемую массу звезд и газа [5]. Этот факт сейчас также необходимо учитывать при описании спирального узора. Наконец, отметим следующее обстоятельство. В спиральных галактиках звезды наиболее активно образуются в областях повышенной плотности газа в спиральных рукавах [6]. Однако эти области активного звездообразования достаточно узкие, чтобы их можно было непосредственно связать со спиральными волнами [2]. В этой связи в работе [7] обсуждалась возможность существования связанных со спиральными волнами плотности крупномасштабных ударных волн и связанных с ними узких областей звездообразования.
С другой стороны, нужно отметить работу [8] как первую попытку нелинейного рассмотрения спирального узора в целях преодоления описанных выше трудностей линейной теории (см. также [4, 9]). СпиЧ e-mail: alekseev_pjemail.ru
ральные волны плотности рассматривались как соли-тоны огибающей мелкомасштабных возмущений. Однако солитон [8] не был периодическим по азимутальному углу и был локальным по радиусу.
В этой статье строится аналитическое решение уравнений гидродинамики галактического диска в виде нелинейных спиральных волн в некотором кольце диска, где изменением усредненной по азимутальному углу угловой скорости вращения можно пренебречь. Считается, что гравитационная сила преимущественно является аксиально симметричной и обусловлена симметрично распределенными темной материей и/или светящейся материей в центральной части галактики. Полученное решение дает описание спирального узора во всем рассматриваемом кольце, а не в небольшом участке диска, как в работе [8].
2. Следуя [2, 6], динамику газовой составляющей галактического диска будем описывать следующей системой уравнений двумерной гидродинамики:
dvr dvr vv dvr 8Ф
dt r dr r dip r dr'
drv _ ^ dvv ^ vv dvv ^ vrvv _ 1 дФ dt r dr r dip r r dip'
(1)
1 da 1 da vw 1 da
+ Г+ 7Г + a dt a dr r a dip
1 d(r vr) 1 dvv = Q r dr r dip '
где Ф - потенциал гравитационного поля, a - двумерная плотность газа. В системе (1) мы пренебрегаем давлением газа, то есть считаем скорость звука малой по сравнению с характерными скоростями vr и vv. Такое описание, во-первых, относится к началь-
ному периоду жизни галактик, когда звезд еще мало, а, во-вторых, в работе [10] было показано, что этот подход может быть применим, даже когда звезды составляют значительную часть вещества галактики.
Рассмотрим кольцо галактического диска: г\ < < г < Г2, 0 < р < 2тг, в котором усредненную по углу р угловую скорость По вращения газа можно считать постоянной. Такое приближение, по крайней мере, для некоторых галактик является справедливым (см. рис.1 и обзор [4]). Строгая независимость
м
250
(а) Л
200
•
150 > %
100
50 У/Ь*
•V
10
20 30 г (агсвес)
40
Рис.1, (а) Кривая вращения галактики Мгк 1040. Рисунок взят из обзора [4]. Четко видны два участка постоянной угловой скорости. Приведена условная "кривая вращения спирального узора" г>зр;га1 = шг, построенная на основе оценки положения коротационной окружности в [4], с целью показать соотношение величин ш и По вне коротационной окружности. (Ь) Галактика М 74 и наложенные на ее рукава логарифмические спирали г = го ет го ет с подходящим образом вы-
бранными параметрами (т/д и 0.2)
угловой скорости от переменных риг приводила бы к тому, что гравитационный потенциал имел бы вид
уф = агег
/а = О
о •
(2)
В связи с этим положим в основу нашей модели предположение, что есть симметричный гравитационный потенциал (2), и будем искать аксиально несиммет-
ричное решение системы (1), описывающее спиральный узор. Говоря точнее, отклонение гравитационного потенциала от формулы (2) будет считаться малым настолько, что вызываемое им влияние на поля скоростей и плотности мало по сравнению с характерными величинами полей в нашем решении, построенном на основе симметричного потенциала. В частности, влияние асимметрии гравитационного потенциала на асимметрию поля плотности мало по сравнению с асимметрией поля плотности построенного решения. Источником симметричного потенциала вида (2) может быть центральная звездно-газовая часть галактики (это аналогично подходу [10]) и/или сферическое гало темной материи [5].
Применимость модели с пренебрежением влияния самогравитации связана со следующими оценками. Уравнение Пуассона приводит к связи гравитационной силы ^Ф)_а8, вызванной газом, и двумерной
плотности газа сг,га8(г):
Отношение 5 этой силы, например, к члену ьг(дг>г/дг) в уравнении (1) оценим величиной:
5 ~ С(т8а8/Ч2 к,
где и,. - характерная скорость радиального движения, к - характерный волновой вектор поля скорости в построенном солитоне. Если, в отличие от [2, 10], рассматривать не плотно навитые спирали (см. рис.1), когда у узора есть всего один или два оборота, то к можно оценить как 1/Д, где Л - характерный радиус рассматриваемой области галактики. В этом случае, используя связь скорости вращения Vр с трехмерной плотностью £?аагк темной материи,
(^вЛагк
Г8а» /Д
V:
вйтк
Таким образом, в случае малой доли массы газа в рассматриваемом кольце по отношению к массе темного вещества, а также при больших - нелинейных -возмущениях скорости относительно скорости твердотельного вращения в уравнении (1) анизотропным вкладом от самогравитации газа можно пренебречь. Будем искать решение системы (1) в виде
а(г,р,Ь) =сг0{г) ехр[ва(г1>)],
(3)
где ф = + т. р + ф(г), 0,- - безразмерные 2тг-
периодические функции. Такой анзац соответствует
единственному предположению, что форма спиральной волны по переменной ip не зависит от радиуса г. Запись (3) аналогична общепринятой концепции спирального узора [2, 9, 10] за тем исключением, что мы, вообще говоря, не будем считать функции тригонометрическими.
Если функции Vi, сто ш Ф таковы, что (3) представляет собой решение (1), то разумно ожидать, что при каждом г выражение (3) как функция от ip и t есть простейший периодический солитон нелинейной системы (1). Действительно, в классических нелинейных уравнениях односолитонные решения имеют автомодельный вид - с зависимостью волновой величины от ф = х — vt. Это утверждение, скорее всего, справедливо и для периодических солитонов, например, это так для периодических солитонов уравнения КдВ [11]. В работе [8] солитоном называется также и функция переменных г, ip и t, аналогичная (3) и представляющая собой решение уравнений динамики газового диска в цилиндрических координатах.
Самым простым решением вида (3) является твердотельное вращение: vv = ftgr, vr = 0. Анзац (3) включает в себя также и линейный режим. Действительно, подставляя в (1) поле скоростей в виде
vv (г, <р, t) = П0 г + a(r) е* t+m v),
vr(r,<p,t) = b(r)ei(--wt+m<fi\
a(r),b(r) -С П0 г,
получаем, что функции a(r) и b(r) удовлетворяют следующей системе уравнений (члены с производными по г случайно выпали):
По a — i (—ш + то П0) 6 = 0, i (—ш + то П0) a + 2 П0 Ь = 0.
(4)
Уравнения (4) означают, что здесь малые возмущения не являются плоскими волнами, а могут зависеть от г произвольным образом. Это указывает на то, что в линейном приближении такую модель лучше не применять, так как на зависимость возмущения от переменной г обязательно окажет влияние учет самогравитации и диссипации. Однако уравнения (4) приводят к соотношению амплитуд и фаз функций а и Ь и к дисперсионному соотношению, определяющему частоту ш вращения спирального узора2);
ш = ш/П0 = то — 2 .
(5)
Отметим, что существует также решение ш = т+2. Ему в нелинейном рассмотрении п. 3 соответствует убывание функции ф(х)-, в частности ф(2 ж) = —2 п. Свойства получаемых солитонов для ш± = т ± 2 совершенно аналогичны.
3. Подставляя (3) в (1), получаем, что формула (3) является решением тогда и только тогда, когда
Vr,v(r) = По Г , ф(г) = qln(r/r0), а0(г) = цг1
(6)
где q, Го, ц и 7 - произвольные параметры. Если выполнено условие (6), то мы получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для функций вг(ф) и в,р(ф):
#
d0v ёф
/}2 /)2
-ш + q0r + т 9 а
-ш + q в г + то
(7)
Периодичность функций в^ф) выражается при помощи граничных условий 0,(0) = 0^(2тг). Решив сформулированную краевую для вг(Ф) и в,р(ф), 0 < ф < 2тг, мы тем самым, опираясь на высказанные в п. 2 аргументы, построим периодическое односолитонное решение системы (1) при фиксированном г. Отметим, что существование волн вида (3) с фазой и амплитудой вида (6) сколь угодно большой нелинейности является замечательным фактом и связано со структурой гидродинами
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.