М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2012
УДК 532.516
© 2012 г. А. Н. БЕЛОГЛАЗКИН, В. Я. ШКАДОВ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СИСТЕМЕ ЖИДКАЯ ПЛЕНКА - ПОТОК ГАЗА
Исследованы неустойчивость и регулярные нелинейные волны в пленке вязкой тяжелой жидкости, текущей по стенке круглой трубки и взаимодействующей с потоком газа. Численным методом получены решения для волновых течений пленки в режимах от свободного стекания в противотоке до совместного восходящего течения пленки и газа в прямотоке при достаточно большой скорости газа. Исследован непрерывный переход от противотока к прямотоку через состояние с максимальной амплитудой нелинейных волн и нулевыми значениями расхода жидкости и фазовой скорости. Применяется метод Капицы—Шкадова для сведения краевой задачи к системе эволюционных уравнений для локальных значений толщины слоя и расхода жидкости.
Ключевые слова: капиллярность, пленка, неустойчивость, нелинейные волны.
Совместное течение газа и жидкой пленки в круглой вертикально поставленной трубке описано в статье Семенова [1]. Экспериментально обнаружены такие явления, как волнообразование, подвисание жидкости, поворот потока и его захлебывание, режим восходящего прямотока при увеличении расхода газа. Измерения параметров волн при этом не проводились, что затрудняло использование результатов [1] для построения соответствующей теории. Интенсивные исследования течений жидких пленок начали развиваться после публикаций результатов Капицы [2, 3]. Так, в работе [3] были описаны качественно и количественно периодические и одиночные волны в пленке со свободной поверхностью, стекающей по внешней стенке трубки. В [2] представлена первая попытка теоретического описания нелинейных волн. В последующем в статье Шкадова [4] была построена теоретическая модель для нестационарных волновых течений в капиллярных пленках конечной малой толщины со свободной поверхностью. Была выдвинута гипотеза об оптимальных режимах, согласно которой, при заданной средней толщине пленки в регулярной установившейся волне реализуется максимальный средний расход. Эта гипотеза позволила объяснить механизм отбора волн конечной амплитуды и получить свойства естественно возникающих волн. В [5] поставлена и исследована задача о развитии нелинейных волн из произвольных задаваемых малых начальных возмущений, а также об устойчивости регулярных волн и реализуемости их в экспериментах. Современное состояние теории нелинейных волн в свободных пленках дано в [6, 7].
Обобщение основных эволюционных уравнений теории пленочных течений, выведенных в [4] на течения с распределенными касательными и нормальными силами на поверхности пленки, проведено в [8]. Одно из основных приложений полученной системы связано с описанием волнообразования в системе пленка — граничный поток газа. В [8] было принято допущение, что сила трения pnT на поверхности постоянна, и рассмотрено влияние этой силы и угла наклона твердой удерживающей стенки на характеристики нелинейных волн. Другие примеры расчетов пленочных течений при pnT = const представлены в [9], где использовались как обобщенные модельные уравнения [8], так и уравнения Навье—Стокса в приближении пограничного слоя с самоиндуцированным давлением.
Вопрос о вычислении касательных и нормальных сил на волновой поверхности поставлен в [10]. Были выведены асимптотические формулы для распределения давления и касательного напряжения на твердой волнистой поверхности, обтекаемой потоком газа. Вывод формул проведен в предположении, что длина волны много больше амплитуды, число Рейнольдса газа велико, а действие вязкости проявляется лишь в тонком пристеночном слое.
В [11] рассматривается устойчивость единой механической системы, включающей слой вязкой жидкости и граничащий с ней газовый поток. Показано, что при достаточно обоснованных предположениях задачи для газа и жидкости формально разделяются: для газа получается замкнутая краевая задача, которая включает в себя уравнение Орра—Зиммерфельда, соответствующие граничные условия на стенке и условие затухания вдали от поверхности раздела. Краевая задача для жидкости включает величины касательных и нормальных сил рпт, рпп на поверхности пленки, которые вычисляются на основе решения задачи для газа. Для рпТ и рпп в [11] выведены асимптотические формулы. Их значения могут быть получены также прямым численным интегрированием [12]. Обе краевые задачи включают в себя собственное число, которое заранее не известно.
В [13, 14] проведены исследования возникновения и формирования существенно нелинейных нестационарных волн в пленках, свободных и граничащих с потоком газа. Эти исследования включали разработку эффективных псевдоспектральных численных методов вычисления нелинейных операций с функциями, представленными рядами Фурье, а также расчеты конкретных вариантов для пленок, стекающих под действием силы тяжести по вертикальной поверхности и пленок, увлекаемых потоком газа в горизонтальном канале. В основу приняты модельные системы уравнений, выведенные в [4, 8], и каждый вариант определялся заданием чисел Рейнольса, Вебера, Фруда. Для газовой фазы задавались число Рейнольдса газа и волновое число. Касательное напряжение и давление на поверхности пленки получались суммированием вкладов от всех кратных гармоник.
Неустойчивость пленки на вертикальной плоской стенке, граничащей с турбулентным потоком газа, и сценарии развития нелинейных волновых структур исследованы в [15]. Направления действия силы тяжести и течения газа противоположны, исследовано явление захлебывания. Показано, что оно связано с формированием локализованного в пространстве сигнала-солитона, амплитуда которого резко возрастает во времени непосредственно перед захлебыванием. Использованы два способа задания начальных условий: искусственное возмущение, когда отлична от нуля только амплитуда первой гармоники; естественно возникающие волны, когда возмущены все гармоники, причем значения их амплитуд генерируются датчиком случайных чисел. В процессе счета системы типа [8] по времени конкретные условия экспериментальных исследований моделировались изменением параметра взаимодействия г.
Задача о совместном течении механической системы пленка—газ с образованием волн является многопараметрической, что затрудняет как изучение конкретных течений, так и обобщение результатов. В [16] сделан существенный шаг, упрощающий анализ пленочных волновых течений. Показано, что волновое течение в свободной вертикальной пленке управляется одним параметром подобия 5, который выводится для множества течений, в которых силы тяжести, капиллярности и вязкости имеют одинаковый парядок, а число Капицы достаточно велико.
Преобразование системы эволюционных уравнений, исследовавшихся в [15], переходом к параметру подобия 8 выполнено в [17]. Проведено численное моделирование нестационарного развития начальных возмущений в нелинейные волновые структуры при совместном течении среды пленка-газ в плоском канале в двух постановках: при сохранении постоянного расхода или постоянной средней толщины пленки. В первом
2 Механика жидкости и газа, № 6
случае решение автоматически подстраивается под некоторую регулярную волну, во втором появляются незатухающие колебания в спектре возмущений. Метод [17] позволяет исследовать как развитие и нелинейные взаимодействия отдельных волн, так и влияние волн на средние характеристики потока, такие как расход жидкости и градиент давления.
Уравнения метода Капицы—Шкадова [4] для течений с распределенными касательными и нормальными силами на поверхности пленки, выведенные в [8] и примененные в [14, 15, 17] к системе пленка—поток газа, в [18, 19] были применены к течениям растворов поверхностно-активных веществ (ПАВ), когда касательные силы создаются действием концентрационно-капиллярного эффекта Марангони. Другое направление исследований, успешно развиваемое в настоящее время в рамках подхода [4], связано с термокапиллярным эффектом Марангони, возникающим в неизотермических пленках при различных способах подогрева жидкости [20, 21]. В [20] основная система [4] модифицирована путем учета дополнительных членов, которые считались малыми при ее выводе. Это расширяет в определенной степени применимость модифицированной системы, в частности, при уменьшении числа Капицы.
В [22] модифицированная система [4], обобщенная указанным выше способом [8], применена к исследованию ламинарного течения пленки по стенке наклонного канала под действием силы тяжести и граничного турбулентного потока газа. Метод решения, связанный с разделением задач для газа и жидкости, применяется в таком же виде, как и в более ранних публикациях [14, 15, 17]. Подтверждено образование крупномасштабных стационарных волн непосредственно перед сменой знака среднего расхода. Этот вывод подкреплен расчетами развития бегущих волн по времени. Другой метод исследования течения системы газ—пленка в вертикальном канале, образованном двумя твердыми стенками, применен в [23]. Волновое течение находилось численным решением уравнений Навье—Стокса с привлечением в ряде вариантов также модели Бенджамина—Майлса для расчета течений газа. Обсуждается явление захлебывания на основе анализа полученных численных решений.
В данной статье рассматривается совместное течение пленка—газ в круглой вертикальной трубке. Исследуется структура регулярных нелинейных волн при различных соотношениях расходов жидкости и газа. Применяется метод расчета волн по времени от малых начальных возмущений поверхности и расхода жидкости, вызываемых гидродинамической неустойчивостью.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача о течении тонкой пленки несжимаемой вязкой жидкости по стенке вертикальной круглой трубки. Остальная часть трубки занята газом, который течет в направлении, заданном перепадом давления. Обозначим среднюю толщину пленки Нс, а радиус трубки — Я. В дальнейшем будем считать, что Нс < Я. Систему координат введем следующим образом: ось у* направлена перпендикулярно стенке от жидкости в сторону газа (у* = 0 соответствует смоченной стенке), а ось х* — вдоль стенки по направлению силы тяжести.
Движение жидкост
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.