ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2013, том 40, № 3, с. 227-239
ГИДРОФИЗИЧЕСКИЕ ^^^^^^^^^^^^ ПРОЦЕССЫ
УДК 536.12+517.958
НЕЛИНЕЙНЫЙ ПАМПИНГ-ЭФФЕКТ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССАХ В ГЕОФИЗИКЕ
© 2013 г. В. Н. Зырянов
Институт водных проблем РАН 119333 Москва, ул. Губкина, 3 E-mail: zyryanov@aqua.laser.ru Поступила в редакцию 07.03.2012 г.
Дано описание нелинейного эффекта повышения или понижения на бесконечности среднего значения физической характеристики среды в колебательных процессах, описываемых нелинейным параболическим уравнением типа уравнения теплопроводности. Коэффициент диффузии является функцией от искомой характеристики. Показано, что чисто гармоническое колебание характеристики среды на границе приводит к увеличению или уменьшению ее значения в глубине области относительно ее среднего значения на границе (пампинг-эффект). Показано, что этот эффект имеет место и для уравнения Бюргерса, хотя нелинейность в уравнении Бюргерса связана с адвекцией, а не с диффузией. Рассматриваются возможные приложения пампинг-эффекта в геофизических процессах — передача тепла в глубинные слои океанов и озер, распространение приливных волн на мелководье, безнапорная фильтрация грунтовых вод, интрузия морских вод в устья приливных рек и подземные горизонты, распределение температуры во льдах и многолетней мерзлоте.
Ключевые слова: нелинейные параболические уравнения, теплообмен с глубинными слоями морей и озер, фильтрация в грунтах, приливы на мелководье, температура во льдах
DOI: 10.7868/S0321059613030097
Многие физические процессы в природе описываются нелинейными параболическими уравнениями типа уравнения теплопроводности с коэффициентом теплопроводности, являющимся функцией искомой характеристики среды. Хотя этот класс уравнений называется уравнением теплопроводности, он встречается при описании совершенно разных процессов. Общая форма этих уравнений имеет вид
дТ = b div [F (T) grad T ], (1)
dt
где b — некоторая константа, а функция среды F(T) имеет различные зависимости для разного класса задач. Наиболее часто F(T) описывается степенной функцией F(T) = Tn. Например, при n = 1 уравнение (1) описывает динамику безнапорной фильтрации в пористых средах [14], T в этом случае является уровнем грунтовых вод; при n > 1 — фильтрацию политропного газа в пористых средах [4, 10, 21], давление P и плотность р которого связаны уравнением P = const pn (n — показатель политропы), в этом случае T является плотностью газа р; при n = 3 — динамику тонкого слоя жидкости, стекающего под действием силы тяжести [15], растекание магматической лавы по
горизонтальной плоскости, эволюцию длинных гравитационных волн типа приливных на мелководье [6, 7, 19]; при п = 6 — радиационное рассеяние волн Маршака [4, 18].
Много статей посвящено изучению автомодельных и инвариантно-групповых решений уравнения (1). В частности, Г.И. Баренблатт [1] получил автомодельные решения первого и второго рода (неполная автомодельность, по терминологии Баренблатта) для (1). Однако автомодельные решения относятся к задачам Коши с начальными условиями или к краевым задачам, но со специфическими граничными условиями. В данной статье описан эффект, возникающий в периодической краевой задаче для параболического уравнения нелинейной теплопроводности (1).
ТЕОРИЯ ПАМПИНГ-ЭФФЕКТА
Будем рассматривать одномерный аналог уравнения (1). Именно для одномерного уравнения удается найти один важный инвариант. Рассмотрим периодическую задачу для одномерного
уравнения (1) на полупрямой х > 0 с граничными условиями
Ах=0 = >. Ах^ < C
(2)
где /(О — периодическая функция с периодом т или с частотой ю = 2я/т. Обычно /(^ имеет вид /(О = Т0 + Т1со8 юt. Очевидно, что в отсутствие колебаний на границе (Т1 = 0) функция T = Т0 будет решением уравнения (1).
Введем оператор осреднения по периоду
T = - i
т J
Tdt.
(3)
Пусть Т(Т) — первообразная функция от F(T), т.е.
¥(Т) = ^(Т)йТ. (4)
Будем предполагать, что Т(Т) — однозначная функция. Обозначим обратную к Т функцию как Т(-1). Тогда справедлива основная теорема [8]:
Периодическое решение уравнения (1) с граничными условиями (2) стремится при x ^ + да к константе
7ю):
TИ (-1) [[pf (t))],
(5)
вообще говоря, не совпадающей с Т0.
Действительно, если принять во внимание (4), то уравнение (1) можно переписать в виде
дт. dt '
д_
дх
d_VdT _dT дх_
д_ У дх2
(6)
Осредним левую и правую части (6) по периоду т. В результате получим
д2 ( У) =
д х2
0,
(7)
следовательно, (Т) = С1х + С2. Так как (Т) означает не что иное, как поток, осредненный за период, то (Т) не может расти до бесконечности при х ^ +да, следовательно, С1 = 0. Отсюда следует, что (Т) = С2 и (Т) является инвариантом, который сохраняется при всех х. В результате получим
т|*=о=^>1™. (8)
При х ^ +да колебания затухают, на бесконечности получим
(Ч)| = Ч(Т(Ш)). (9)
Принимая во внимание, что
(П х=0 = Ш0))> (10)
и используя обратную функцию Т(-1) к Т в (9), получим формулу (5) из (8) и (10).
Итак, чисто гармоническое колебание характеристики среды T на границе области приводит к увеличению или уменьшению ее значения внутри области относительно ее среднего значения на границе. Следовательно, имеем эффект либо накачки, либо, наоборот, откачки субстанции на бесконечности гармоническими колебаниями на границе. Этот эффект в [8] получил название пампинг-эффекта. Разность T(±) = T(aj) — T0 дает величину пампинг-эффекта. Знак ± означает, что эта величина может быть как положительной, так и отрицательной. В линейном случае при F(T) = = const очевидно, что T(aj) = T0 и никакого пам-пинг-эффекта не возникает.
При выводе уравнения (7) было предположено, что решение уравнения (1) с граничными условиями (2) может содержать только кратные ю частоты. Справедливость этого предположения может быть обоснована аналитически для случая малых значений отношения s = T1/T0 в выражении для f(t), т.е. при s < 1. Предположим, что У(7) — аналитическая функция, и разложим ее в ряд Тейлора в окрестности T0. Тогда уравнение (1) можно записать в виде
dT dt
дх
F То) + dFT +
dT
- d F To) s 2T 2 + ...IdT
2 dT2
дх
(11)
Будем искать решение уравнения (11) в виде асимптотического ряда по е:
T = T(0) + 8 T(1) +8 T(2) + ....
(12)
Подставляя (12) в (11) и группируя члены нулевого, первого и т.д. порядков по е, получим систему редуцированных линейных неоднородных уравнений теплопроводности, которые будут одержать только кратные ю частоты.
Легко найти значение инварианта (У) на бесконечности, так как колебания там затухают и справедливо соотношение (9). Но на практике такая задача чаще формулируется для ограниченных областей 0 < х < Ь и процедура нахождения значения инварианта, описанная выше, не проходит для отрезка. В общем случае решение уравнения (1) на сегменте может быть найдено только численно. Если отношение е = Т1/Т0 в выражении для /(0 — малая величина, т.е. е ^ 1, тогда можно найти аналитическое выражение для пампинг-эффекта на конце отрезка х = Ь. Рассмотрим
уравнение (11) и ограничимся в Р(Т) только членами не выше первого порядка по е :
дГ_
дг
А
дх
(а + ре Т + О(е))
дТ
дх.
(13)
где а = В(То), в =
¿¡У',) ■Т
. На правом конце отрезка
поставим условие второго рода
= 0,
йТ йх
(14)
Т
(0)
1х=0
= А ео8 ю?,
дТ
(0)
дх
= 0,
х=Ь
Т
(1)1
х=0
= 0,
дТ
(1)
дх
(15)
= 0.
С=1
Т (0) =
= Яе[0(х)вш] = С)(х)е'"" + 0*(х)е^ , (16)
где Яе означает действительную часть выражения в скобках, а звездочка — комплексно сопряженную функцию. Подставляя (16) в первое приближение уравнения (13), получим выражение для 0(х):
)х) = Т
- х)]
(17)
_ в
Т(±,(х) = [))(х)0*(х) - <2(0)<2*(0)]. (18) 4а
Выражение (18) дает количественное значение величины пампинг-эффекта в любой точке х отрезка. На конце отрезка при х = Ь величина пам-пинг-эффекта:
Т (±)(Х) =
в Т12
4а
1
с^А, Х)еЬ(А*Х)
1
При Ь ^ да получим
Т (±)(о,) =
4а
(19)
(20)
Из (20) видно, что знак пампинг-эффекта зависит от знака в/а.
Соотношение (18) позволяет оценить расстояние Ь(+), на котором среднее значение субстанции выходит на асимптотическое решение (19):
А+) _ ■
1
= [2Яе(^)]
-1
=(< =
\2ю/
. 2ю .
1/2
. (21)
которое физически означает отсутствие потока субстанции через границу. Будем искать решение уравнения (13) с граничными условиями (2), (14) в виде асимптотического ряда (12) с граничными условиями
Итак, если функция среды ДТ) в (1) есть линейная функция ДТ) = а + РТ (как, например, в задачах распространения температурных волн в воде, льдах, грунтах), то будем иметь выражение для пампинг-эффекта на бесконечности
Т(±) = -Ь ±
^Ь2 + Т2/2, где Ь = а +
в
Т..
(22)
Решение для первого приближения Т(0) ищем в виде
где X = (1 + ю/(2а). Подставляя (17) в (16) и затем — во второе приближение уравнения (13) относительно е , получим решение для Т(1), содержащее периодическую часть и не зависящее от времени слагаемое. Это слагаемое и описывает пампинг-эффект:
Если Ь < 0, то необходимо брать минус в (22). Если Ь > 0 — знак плюс. При Т1/Ь <§ 1 и а/Р > Т0 соотношение (22) упрощается и сводится к (20).
Отметим, что начало исследованиям остаточных нелинейных эффектов в периодических задачах для параболических уравнений было положено в работе Дж. Филипа [22].
ПАМПИНГ-ЭФФЕКТ В УРАВНЕНИИ БЮРГЕРСА
Известно, что движения грунтовых вод в тонких насыщенных слоях с приточностью жидкости сверху и снизу, так же как течения в перфорированных трубах с боковым притоком или оттоком, описываются уравнением Бюргерса [14]. Здесь нелинейность входит не через диффузию, а через адвекцию. Покажем, что для этого уравнения также имеет место пампинг-эффект. Рассмотрим периодическую задачу для уравнения Бюргерса на полупрямой
^ + (? х) = Vq х
с граничными условиями
с| . = с(0) ю?, с1 < С < да.
~1х =0 ~ '
(23)
(24)
Уравнение (23) написано в безразмерном виде, V — безразмерный коэффициент вязкости. Заменой Хопфа—Коула ^ = 2v 1п(ф) уравнение (23) сводится к линейному уравнению теплопроводности относительно новой функции ф, решение которого с граничными условиями (24) будет иметь вид
ф(х, ?) = - [ехр 2 - ^— 8т п 1 I 2v
ю
2
г -■
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.