научная статья по теме НЕЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ИОНОВ В ПЛАЗМЕ С ДВУХТЕМПЕРАТУРНЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ, ВЫЗВАННЫЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНОЙ Физика

Текст научной статьи на тему «НЕЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ИОНОВ В ПЛАЗМЕ С ДВУХТЕМПЕРАТУРНЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ, ВЫЗВАННЫЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНОЙ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 6, с. 539-547

ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ВОЛН С ПЛАЗМОЙ

УДК 533.9.01

НЕЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ИОНОВ В ПЛАЗМЕ С ДВУХТЕМПЕРАТУРНЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ, ВЫЗВАННЫЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНОЙ

© 2014 г. В. В. Прудских

Южный федеральный университет, физический факультет, Ростов-на-Дону, Россия

e-mail: slavadhb@mail.ru Поступила в редакцию 30.09.2013 г. Окончательный вариант получен 18.12.2013 г.

Исследуется распространение периодических ионно-звуковых волн в плазме с двухтемпературны-ми электронами и холодными ионами. Получены уравнения для потенциала волны в первом и втором порядке теории возмущений и найдены их несекулярные решения. Определен усредненный нелинейный поток ионов и изучены его свойства в зависимости от соотношений между плотностями и температурами холодной и горячей компонент электронов. Проанализированы условия, при которых ионный поток является сонаправленным волне или движется навстречу ей. В случае, когда при заданном значении модуля волны поток в зависимости от параметров плазмы может быть как положительным, так и отрицательным, на плоскости "отношение температур—отношение плотностей" для двух сортов электронов построены диаграммы, указывающие области существования положительного и отрицательного потоков.

DOI: 10.7868/S0367292114060055

1. ВВЕДЕНИЕ

Вопросам теории нелинейных ионно-звуко-вых волн посвящено значительное число публикаций. Большая часть исследований касается выяснения условий существования уединенных волн, проводимых как в слабонелинейном приближении [1], так и при полностью нелинейном описании. В последнем случае обычно используется метод потенциала Сагдеева [2]. Поведение отдельных плазменных компонент внутри волны может быть изучено более детально с помощью газодинамического рассмотрения [3], которое позволяет получить существенно новые результаты, если движение электронного потока относительно волны неизотермическое. В работах ряда авторов исследуются ионно-звуковые уединенные волны в различных физических условиях: в пылевой плазме [4], в плазме с добавкой отрицательных ионов [5], при наличии пучка заряженных частиц [6—8] или дрейфа одной из компонент [9—11], в плазме с двухтемпературными электронами [12].

Меньше внимания уделяется характеристикам ионно-звуковых периодических (кноидальных) волн. Исследования этих объектов [13—16] представляют интерес как для фундаментальной физики нелинейных процессов, так и для понимания различных феноменов, возникающих при их распространении в плазме. Среди таких явлений можно назвать нелинейный перенос ионов, вызываемый периодической ионно-звуковой вол-

ной [17, 18]. С другой стороны, большой интерес представляет исследование свойств периодических ионно-звуковых волн в плазме с двухтемпературными электронами. Такая плазма часто встречается как в лабораторных условиях (горячая катодная плазма, лазерная плазма), так и в космосе [19—21]. Плазма с электронами двух температур является весьма интересным объектом и обладает свойствами, в ряде случаев отсутствующими в обычной плазме с однотемпературными электронами.

Отличительная особенность уединенных ион-но-звуковых волн в двухтемпературной плазме — то, что их потенциал может быть как положительным, так и отрицательным. В терминах уравнения Кортевега-де-Фриза (КдФ) это соответствует положительным или отрицательным значениям нелинейного коэффициента уравнения. Слабонелинейные периодические ионно-звуковые волны в двухтемпературной плазме рассмотрены в работе [15]. Было показано, что кноидальные вольны вида сп2 могут существовать как для положительного, так и для отрицательного значения нелинейного коэффициента. В последнем случае

при к2 ^ 1 (к2 — модуль эллиптических функций Якоби) волна переходит в солитон разрежения. Также было найдено, что в критическом случае обращения нелинейного коэффициента уравнения КдФ в ноль волна модифицированного уравнения Кортевега-де-Фриза (мКдФ) имеет вид эллиптического косинуса сп.

539

4*

Цель настоящей работы — построение теории высшего порядка периодической ионно-звуко-вой волны в плазме с двухтемпературными электронами и нахождение соответствующего выражения для нелинейного ионного потока. При этом данная статья ограничивается, во-первых, приближением холодных ионов, и, во-вторых, исследованием свойств кноидальных волн уравнения КдФ. Для критического случая равенства нулю нелинейного коэффициента уравнения КдФ задача требует учета более высоких степеней разложения, который приводит к уравнению мКдФ для потенциала первого порядка и связанного с ним уравнения для второго порядка потенциала с ненулевой правой частью. Исследование подобной задачи для пылевой плазмы с критической плотностью пыли [22] было проведено в [23]. Были найдены периодические решения первого и второго порядков и показано, что система уравнений задачи свободна от секулярных членов. Однако поток ионов в этом случае пропорционален четвертой степени амплитуды волны и является достаточно малым.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Система уравнений, описывающая распространение ионно-звуковых волн в плазме с двухтемпературными электронами, состоит из уравнения непрерывности ионов

В линейном приближении уравнения (1)—(3) приводят к дисперсионному соотношению

д» + А ) = 0,

дг дх

из уравнения движения

(д+ д\ дф I--+ V—) V =--

\дг дх! дх а также уравнения Пуассона

(1)

(2)

д 2ф дх2

= 5 ехр(т1ф) + (1 - 5) ехр(т2ф) - п. (3)

Здесь координата х обезразмерена на X В, время г

на ю-, V на св, ф на Тей/е, п на »о; Xв — X^ + X^с,

XВа = (Та/4пе2па0)1/2, а = (к,с), индексы к и с относятся к горячей и холодной электронной компо-

2 1/2

нентам соответственно, юр1 = (4пе п0/М) — ионная плазменная частота, п0 — плотность ионов, Тй = П0ТТ/(пкТс + ПсТк) — эффективная температура, с = X Вю Р1 — скорость ионного звука в двух-температурной плазме, М — масса иона. Также введены обозначения 5 = пс0 /п0, т1 = Тей/Тс, т2 = Тей/Тк. Принято, что распространение волны является изотермическим, а распределение электронов описывается распределением Больц-мана. В равновесном состоянии плотности электронов и ионов удовлетворяют соотношению

пк0 + пс0 = п0 .

1 + ^ + 1

к ^ Бк к ^ Вс

= 0

2Л 2 2 ' ю

(4)

где ю ра = (4пе 2па0 /т)1/2 — плазменные частоты компоненты а электронов. Рассматривая ионно-зву-ковые волны с фазовой скоростью ю/к <§ vte в длинноволновом приближении кХВ > 1, найдем из (4), что ю/к = X Вю р1 = с5. Отсюда видно, что в двухтемпературной плазме линейная ионно-зву-ковая скорость совпадает с введенной нами величиной сх = (Тей/М)1/2, а температура Тей обобщает понятие электронной температуры на случай двух электронных компонент.

3. РЕДУКЦИЯ УРАВНЕНИЙ

Будем искать решение уравнений (1)—(3) в виде разложений переменных по степеням малого параметра

У = У0 +бУ1 + 62У2 + 63У3 + ..., (5)

где У = (п, V, ф), У0 = (1,0,0). Используя стандартное растяжение координат

я 1/2 / 3/2.

с, = 6 (х - иг), т = 6 г, в первом порядке по е из (1)—(3) получим

дп1 дъ1 „ -и—1 + —1 = 0,

(6)

д£, д£,

-и дИ + дф1 = 0, (7)

д% д%

Ф1 - »1 = 0. (8)

Интегрируя уравнения (6)—(8) при условии конечности возмущений для % ^ ±да, найдем связь между величинами первого порядка малости и выражение для фазовой скорости волны, следующее из условия существования нетривиального решения алгебраической системы уравнений для величин первого порядка

»1 = ф1, V = ф1 + С1(х), и = 1. (9)

Здесь С1(х) — постоянная, которая не зависит от но может зависеть от т.

В порядке в разложение системы (1)—(3) примет вид

дп1 дп2 8у2 д , . „

--2 + — + — (п^) = 0,

дт д£, д£, 1

+ V дхх+дФ2 = 0 дт д!~ 1 д!~ д!~ '

0 = ф2 Ф2 - »2 = 0.

дс, 2

(10)

(11)

(12)

Здесь ц = 5х2 + (1 - 5)т2. Используя уравнения (10)—(11) с учетом (9) для нахождения величины

дп2/52, и дифференцируя по 2, уравнение (12), придем к уравнению КдФ для потенциала ионно-звуковой волны в плазме с двухтемпературными электронами

дФ1

дт

дф1+1 дЗФ1 - с %=0.

д^ 2 д^3

д^

(13)

При выводе (13) использовано, что дС1(Т)/дт = 0. Это свойство является следствием условия отсутствия секулярного члена вида (5С1(х)/5х)^ в выражении для v2 (см. уравнение (11)). Следовательно, величина С1 не зависит ни от ни от т. Так как уравнение КдФ в системе отсчета, где волна неподвижна, инвариантно относительно замены U ^ U + const, где U — скорость волны, величину U можно выбрать как U + С1 и не принимать далее к рассмотрению постоянную С1, положив ее равной нулю, С1 = 0.

Используя (9), (11)—(13), найдем выражения для величин второго порядка малости

«2 = Ф2 Ф2 ,

2 dq

, 1 -ц, 2 1 д 2ф1 „ v 2 = ф2--с-ф1---^ + С2,

2 4 2eq2

(14)

где С2 — постоянная интегрирования, не зависящая от 2, и т.

Для построения теории высших порядков учтем следующие члены разложения нашей системы уравнений. Тогда в порядке в3 получим

дщ _дщ +д11 + д 2 + п^) = 0, дт дЕ, д£, д^ 12 2

дv2 дv3 д , ч дф3 „ —2--3 +—(v1v2) + = 0,

дт д£, dq 1 д£,

= Ф3 + Цф1ф2 + 7ф1 - «3,

dq 6

(15)

(16) (17)

3 3

где v = 8х1 + (1 - 8)х2. Исключая дv3/52, из уравнений (15), (16), дифференцируя (17) и подставляя туда дп3/52,, получим неоднородное уравнение для потенциала ф 2

дФ2

дт '

дф3

= х——

д%

3 - ц д 2

Зц-1 ,

(Ф1Ф 2) +

, д3ф1

1 д_Ф2 + с дФ =

2 д%3 1

19 - 9ц д fдф^2

16

3 д5ф1 - с дФх 8 д%5 2 '

411- (18)

Здесь введено обозначение х = (V - (3ц + + 2ц - 3)/2)/12. Уравнение (18), в котором ф1 определяется уравнением (13), описывает эволюцию величины второго порядка потенциала ф2 ионно-звуковой волны. Несложно видеть, что если частное решение этого уравнения ф2 = С0ф1, то левые части уравнений (13) и (18) совпадают. Поэтому решение для ф1, следующее из (13), является также частным решением уравнения (18), а его правая часть будет содержать секулярные члены, подлежащие исключению.

4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Рассмотрим сначала уравнение (13) и найдем его периодические решения в виде кноидальных волн. Введем координату п = 2 - ит, относительно которой волна стационарна. Переходя в (13) от частных производных к полным и проводя двукратное интегрирование, запишем результат в виде, подобном движению частицы в потенциальном поле,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»