научная статья по теме НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 3, 2014

УДК 539.411:62-215-434.1

© 2014 г. Колосов Г.И.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ

ФГУП ЦНИИмаш, г. Москва

Представлены результаты исследований по определению границы величин равномерного внешнего давления, при превышении которой возможна потеря устойчивости равновесных состояний геометрически совершенных идеально упругих сферических оболочек. Результаты вычислений величин давлений, соответствующих этой границе и понимаемых как необходимые условия неустойчивости рассматриваемых оболочек, качественно и количественно близки к нижней границе их экспериментально определенных критических значений. Исследования проведены на основе динамического критерия устойчивости и уравнений возмущенного движения оболочек, линеаризованных в окрестности рассматриваемых равновесных состояний.

Механизм поведения сложной конструкции под действием нагрузки трудно определить, не имея надежной теории и методов исследования простейших деформируемых элементов. Решения, полученные для них, имеют исключительно большое значение для последующего развития теории. В классической теории тонких упругих оболочек аналитические решения получены в задачах устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии, сферических и цилиндрических оболочек при внешнем давлении. Эти фундаментальные задачи лежат в основе теории устойчивости оболочек.

Истинность и ценность любой теории на практике проверяется ее предсказательными возможностями. В случае классических задач устойчивости упругих стержней и пластин теоретически найденные величины критических нагрузок близки к их экспериментально определенным значениям.

Иначе обстоит дело с оболочками. Известно [1], что между экспериментальными результатами и классическими решениями для сферической оболочки при внешнем давлении, найденными Цолли (1915) и Лейбензоном (1917), существуют, как и для цилиндрических оболочек при осевом сжатии, не только весьма существенные количественные, но и качественные расхождения. Установлено, что на критические нагрузки сильное влияние оказывают малые различия между реально исследуемыми объектами и их классическими математическими моделями.

В настоящее время основные усилия исследователей сосредоточены на оценке влияния неизбежных отклонений от проекта, связанных с несовершенствами формы оболочек при изготовлении и эксплуатации. Для сферических оболочек библиографию по этой проблеме можно найти в работах [2—5]. Наиболее слабым местом предложенных методов исследований несовершенных оболочек является требование наличия сведений о распределении и величинах ожидаемых начальных прогибов, изготовленных по той или иной технологии. При отсутствии таких сведений ценность полученных результатов является сомнительной. Это обстоятельство тормозит внедрение теории начальных прогибов в инженерную практику и проектировщики продолжают

расчеты оболочек по старому, применяя эмпирический коэффициент понижения по отношению к данным классической теории малых прогибов, когда максимально допустимое значение эксплуатационной нагрузки Рэ определяется на основе соотношения /Рэ < ХРС, где/ — коэффициент безопасности, X — коэффициент снижения классической величины критической нагрузки РС для идеальной оболочки.

Подбор коэффициента понижения проводится таким образом, что когда на него умножается классическая критическая нагрузка, то получается нижняя граница для всех экспериментальных данных, соответствующих рассматриваемым элементам. Превышение нагрузкой такой границы является необходимым условием неустойчивости оболочек. Теоретическое обоснование существования необходимых условий неустойчивости упругих оболочек к малым возмущениям представляется практически важной задачей.

Реальные объекты находятся обычно под постоянным воздействием небольших возмущающих сил, учесть которые при составлении расчетной схемы практически невозможно. Если для устойчивого объекта учет таких воздействий несущественен, то возмущения, вызванные ими, способны изменить состояние неустойчивого объекта. Поэтому анализ устойчивости механических систем по отношению к постоянно действующим силовым возмущениям представляет особый интерес. Впервые такая задача была поставлена Н.Г. Четаевым [6].

Исследование устойчивости к малым силовым возмущениям, действующим на механическую систему на протяжении некоторого интервала времени, можно проводить по дифференциальным уравнениям возмущенного движения, вызванного этими силами. Относительно функций, характеризующих возмущающие силы, предполагают, что они достаточно малы и удовлетворяют некоторым общим требованиям, обуславливающим существование решений уравнений возмущенного движения в окрестности рассматриваемого невозмущенного состояния. Если отклик исследуемой системы на силовое возмущение мал, то она признается устойчивой. При непропорционально большом или возрастающем во времени отклике система считается неустойчивой. Определенная таким образом устойчивость механической системы при действующих на нее в течение некоторого времени силовых возмущениях является непосредственным обобщением определения устойчивости по Ляпунову [7].

В задаче об устойчивости сжатой в осевом направлении изотропной цилиндрической оболочки использование такого подхода и линеаризованных в окрестности положения равновесия уравнений движения позволило аналитически определить границу ее абсолютной устойчивости применительно к граничным условиям Навье. Дальнейшие исследования показали, что определение этой границы с учетом реальных граничных условий обеспечивает надежную оценку критических усилий сжатия изотропной цилиндрической оболочки снизу во всем диапазоне безразмерных параметров подобия [8].

Настоящая статья ставит своей целью распространить данный подход на решение задачи по определению границы абсолютной устойчивости равновесных состояний сферических оболочек при равномерном внешнем давлении.

Рассмотрим случай когда, начиная с некоторого момента времени ? = на сферическую изотропную оболочку с радиусом Я и толщиной стенки к, находившуюся перед этим в равновесном состоянии при стационарном равномерном внешнем давлении р = ХрС, начинает действовать малое силовое возмущение (X — параметр внешней статической нагрузки)

рс = (2/л/ 3 (1 - V 2))(Бк2 / Я2),

где Е — модуль Юнга материала оболочки, V — его коэффициент Пуассона.

Равновесное состояние оболочки считается известным и определенным на основе геометрически нелинейных уравнений В.В. Новожилова с использованием алгорит-

0,95

0,90

0,85

5

/4

2 3

/

т = 1 | 1 |

мов работы [9]. С целью исключения особой точки в полюсе сферической оболочки принимается наличие малого свободного углового отверстия а0, которое не оказывает заметного влияния на ее собственные частоты [9]. На краю оболочки при угле среза а = а, задаются граничные условия и = и = т = Мп = 0.

Ввиду того, что вызванные малыми силовыми возмущениями дополнительные напряжения и деформации оболочки малы, то для описания движения поверхности оболочки в окрестности ее равновесного

0 0,05 0,10 0,15 X состояния используем соотношения, полученные путем линеаризации исходных геометрически нели-Рис. 1 нейных уравнений. Построение решения этих урав-

нений в виде рядов Фурье по окружной координате приводит к бесконечной системе уравнений, в которой гармоники с различными числами волн п в окружном направлении оказываются несвязанными. Следовательно, абсолютная устойчивость оболочки к силовым возмущениям будет обеспечена, когда ни одно из решений систем уравнений, характеризуемых числами волн п, не будет возрастать со временем.

Рассмотрим эволюцию частот колебаний оболочки юпт(к) при возрастании параметра внешнего давления к от нуля до единицы. При решении задачи по определению частот колебаний напряженной и деформированной оболочки используем алгоритм работы [9], в котором решение двухточечной однородной краевой задачи осуществлено на основе сведения ее к задаче Коши и последующего численного интегрирования с применением метода ортогонализации для обеспечения устойчивости вычислительного процесса.

Зависимости безразмерных частотных параметров осесимметричных колебаний

сферической оболочки ю*т (т = 1, 2, 3, 4, 5) с параметрами подобия ц = 30 и R/h = 500

от параметра нагрузки к показаны на рис. 1 (кривые 1—5 соответственно). Параметр подобия ц определен соотношением

ц = ^12( 1 - V2) д^^п а; = 1,82 ^-^п а1:

а параметр ю*т связан с частотами колебаний оболочки ю0т соотношением

®0т = ®0тл/Е/Р^2( 1 - ^) •

По мере возрастания параметра к собственные частоты оболочки убывают с неравными скоростями, которые при фиксированном значении параметра волнообразования тем больше, чем выше номер моды колебаний. По этой причине в спектре оболочки кратные собственные частоты появляются прежде, чем одна из них становится равной нулю. Первому появлению кратных частот рассматриваемой оболочки соответствует значение к = к0 = 0,18 при числе волн п = 0. Установлено, что для ряда значений параметров внешнего давления, удовлетворяющих условию к0 < к < 1, существует множество кратных частот колебаний.

При значениях параметра к, меньших к0, и любых значениях параметра п все частоты оболочки являются различными, так что все общие решения однородных уравнений выражаются через гармонические функции и, следовательно, не возрастают во времени. Это означает устойчивость оболочки по отношению к любым малым силовым возмущениям, т.е. абсолютную устойчивость.

0, т

При тех значениях параметра X, в окрестности которых присутствуют кратные частоты юп,(Х) = ю„ДХ), необходимо исследовать парное взаимодействие мод колебаний, имеющих одно и тоже число волн в окружном направлении. Допуская, что силовое возмущение /(а, ф, ?) может быть аппроксимировано выражением

г = £ /к (1)ик, (1)

к = ¡,]

вектор дополнительных перемещений поверхности оболочки и ищем в виде и — £ дк(?) ик, где ик — форма собственных преимущественно изгибных колебаний

к = ¡,]

оболочки с образованием п волн в окружном направлении, соответствующая частоте ю„к.

Применен

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком