научная статья по теме НЕОЧЕВИДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК Механика

Текст научной статьи на тему «НЕОЧЕВИДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008

УДК 539.3:534.1

© 2008 г. Г.С. ЛЕЙЗЕРОВИЧ, Н.А. ТАРАНУХА

НЕОЧЕВИДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ

КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

В рамках нелинейной теории гибких пологих оболочек изучаются свободные изгибные колебания тонкостенной круговой цилиндрической оболочки, шарнирно опертой по торцам. Конечномерная модель оболочки предполагает, что возбуждение изгибных колебаний с большими амплитудами неизбежно приводит к возникновению радиальных колебаний оболочки. Модальные уравнения получены методом Бубнова - Галеркина. Периодические решения найдены методом Крылова - Боголюбова. Показано, что удовлетворение "в среднем" тангенциальных граничных условий приводит для оболочки конечной длины к существенной погрешности при определении ее нелинейных динамических характеристик. Установлено, что малые начальные неправильности расщепляют изгибный частотный спектр, при этом основная частота уменьшается по сравнению со случаем идеальной оболочки.

1. Введение. При экспериментальных исследованиях изгибных колебаний круговых цилиндрических оболочек неоднократно наблюдались некоторые специфические особенности их движения, не соответствующие представлениям классической теории оболочек [1, 2]. Так, при свободных колебаниях реальных оболочек, даже в тех случаях, когда в начальный момент времени внешняя нагрузка возбуждала только одну из собственных изгибных форм, почти всегда реализуются нечистые (с биениями) осциллограммы затухающих колебаний. Анализ полученных осциллограмм позволил установить, что движение оболочки представляет собой наложение двух взаимосвязанных изгибных форм, сдвинутых по фазе в окружном направлении. Увеличение амплитуды колебаний одной из этих форм всегда сопровождается соответствующим уменьшением амплитуды другой формы, и наоборот.

Экспериментально установлен эффект расщепления изгибного частотного спектра оболочек, представляющий интерес, как с теоретической, так и практической точек зрения. При исследовании вынужденных колебаний оболочек в околорезонансной зоне наблюдалось искривление амплитудно-частотных характеристик и, что самое важное, появление двух близких резонансных пиков. Движение оболочки в этой области представляло собой либо бегущую в окружном направлении изгибную волну, либо нестационарные процессы перехода от одной стоячей формы колебаний к другой.

Обнаружено еще одно специфическое явление - возникновение радиальных колебаний при возбуждении изгибных колебаний оболочки.

Упомянутые выше особенности поведения оболочек уже стали предметом ряда теоретических исследований. Однако полученные в этих работах результаты не всегда согласуются с известными опытными данными. Приведем характерные примеры, иллюстрирующие, что некоторые фундаментальные вопросы динамики оболочек остаются все еще невыясненными.

Пример 1. На сегодняшний день, по существу, отсутствует аналитическое решение задачи о нелинейных изгибных колебаниях свободно опертой оболочки конечной

длины при точном удовлетворении граничных условий. Все известные решения [1-5] получены на основе динамических конечномерных моделей, которые не отвечают условию свободного опирания оболочки по изгибающему моменту. Это, в свою очередь, не позволяет удовлетворить точно и тангенциальные граничные условия. Поэтому эти модели, приводящие в анализе к скелетной кривой мягкого типа, правомерны только для относительно длинной оболочки.

Попытки решить эту же задачу, используя динамические конечномерные модели, удовлетворяющие всем граничным условиям, оказались безуспешными. Они всегда приводили к жесткой скелетной кривой, качественно не согласующейся с известными опытными данными. Сложилась ситуация, при которой все усилия по уточнению нелинейной динамической конечномерной модели оболочки приводят к потере ее адекватности.

Пример 2. Обнаруженное в экспериментах расщепление изгибного частотного спектра, как правило, очень незначительно. В то же время традиционное теоретическое решение задачи всегда приводит к существенной расстройке частот собственных изгибных колебаний.

Пример 3. Известно, что случайные малые начальные неправильности уменьшают критическую нагрузку оболочки. Поскольку частота основного тона, как и критическая нагрузка, является интегральной характеристикой жесткости оболочки, следует ожидать, что начальные неправильности должны уменьшать и основную частоту. Однако, при традиционном подходе к построению динамической конечномерной модели несовершенной оболочки частота основного тона всегда увеличивается по сравнению со случаем соответствующей идеальной оболочки.

Настоящая работа предпринята для установления причин, приводящих к упомянутым выше противоречиям. Предлагается иной подход к построению конечномерной модели, описывающей динамическое поведение оболочки любой длины. На основе этого подхода получено новое решение задачи об изгибных колебаниях свободно опертой оболочки с большими амплитудами при точном удовлетворении всех граничных условий.

В работе также изучается влияние формулировки тангенциальных граничных условий на характер скелетных кривых и влияние малых начальных неправильностей w0(x, у) на частоты собственных изгибных колебаний.

2. Уравнения движения. Математическая модель исследования основывается на уравнениях нелинейной теории гибких пологих оболочек [5]

1гг/ N Г/ м 1 Э^

- УФ = - - [ Ь (w 0 + w, Wo + w) - Ь (w 0, Wo)]---2

Е 2 Я д х

2 2 (2Л)

О „4 г/_ ч 1 д Ф д w

ОУ w = Ь(ф,^ + w) + Я-,-Р-г

где У4 - бигармонический оператор Лапласа; Ф(х, у, 0 - функция напряжений; w(x, у, 0 -прогиб; О = ЕН3/12(1 - ц2) - цилиндрическая жесткость; Е - модуль Юнга; ц - коэффициент Пуассона; Н - толщина стенки; Я - радиус; р - массовая плотность; ? - время

= + д-

Эх2 Э/ Эу2Эх2 дхдудхду

Уравнения (2.1), опирающиеся на гипотезу Кирхгофа-Лява, являются в настоящее время одними из основных при определении линейных и нелинейных динамических характеристик круговых цилиндрических оболочек.

4 Механика твердого тела, № 2

97

Считается, что оболочка длиной l свободно оперта по краям, а точки ее контура свободно смещаются в продольном и в окружном направлениях:

w = d2w/dx2 = N1 = T = 0 при x = 0, x = l (2.2)

где Nj, T - погонные продольное и касательное усилия соответственно.

3. Формы свободных колебаний оболочки с большими амплитудами. При использовании аналитических методов расчета одним из ключевых моментов является выбор аппроксимирующего выражения для прогиба оболочки w(x, y, t). Учет геометрической нелинейности приводит к тому, что при возбуждении одной из изгибных форм в движение оболочки одновременно вовлекаются все ее формы малых собственных изгибных колебаний. Традиционный подход к построению динамической конечномерной модели оболочки предполагает, что при колебаниях с частотой, близкой к основной, упругий прогиб свободно опертой по торцам оболочки в первом приближении может быть аппроксимирован следующим выражением [1-5]:

w(x, y, t) = h{[f 1(t)sinPy + f2(t)cosPy] sinax + ¥(x, y, t)}; a = п/l; P = л/Л (3.1)

где л - число волн в окружном направлении, а сопряженные формы sin Py sin ax, cos Py sin ax являются формами малых изгибных колебаний оболочки, которым соответствует одна и та же собственная частота.

Функция ¥(x, y, t) в (3.1) отражает асимметрию динамического прогиба относительно срединной поверхности при колебаниях оболочки с большими амплитудами (его преимущественное развитие по направлению к оси оболочки). Эта функция выбирается по-разному. Как показывают выполненные исследования, характер нелинейного поведения оболочки в значительной степени зависит от ее вида. Иногда функция ¥(x, y, t) имеет сложный вид и зависит от обеих координат x и y, однако на основании последних исследований [1-4] ее рекомендуется принимать в виде:

W(x, y, t) = W1(x, t) = f3(t) sin2ax

где f3(t) представляет собой либо независимую обобщенную координату [2, 3], либо координату, определяемую из условия нерастяжимости контура срединной поверхности оболочки и связанную, таким образом, с координатами f1(t) и f2(t) [4]. Это приводит в теоретическом анализе к мягкой скелетной кривой, качественно согласующейся с известными опытными данными.

Однако, заметим, что рекомендуемая функция ^1(x, t) не удовлетворяет граничному условию свободного опирания оболочки по изгибающему моменту (2.2), что, в свою очередь, не позволяет удовлетворить и тангенциальным граничным условиям. Поэтому она может быть использована только для определения динамических характеристик относительно длинных оболочек.

Применение в анализе другой, казалось бы, более подходящей функции ¥(x, y, t) = = ¥2(x, t) = f3(t)sin ax, отвечающей всем условиям свободного опирания торцов оболочки, в настоящее время не рекомендуется [1-3], поскольку в этом случае скелетная кривая получается жесткой.

Для установления причины такого противоречия предложим принципиально иной подход к построению нелинейной динамической конечномерной модели оболочки [6]. Будем полагать, что возбуждение изгибных колебаний оболочки с большими амплитудами приводит не только к взаимодействию сопряженных изгибных форм, но и к возникновению радиальных колебаний (в линейной постановке, как известно, изгиб-ные и радиальные колебания происходят независимо друг от друга). В этом случае функция ¥(x, y, t) в (3.1) является осесимметричной и может быть получена путем "суммирования" форм малых радиальных колебаний оболочки. Удерживая в этом

разложении два члена ряда, аппроксимируем динамический прогиб оболочки выражением

w(x, y, t) = h{[f1(t)sinPy + f2(t)cosPy]sinax + f3(t)sinax + f4(t)sin3ax} (3.2)

Как будет показано ниже, именно эта форма решения позволит устранить все упомянутые выше противоречия.

4. Модальные уравнения. Уравнения (2.1) при w0(x, у) = 0 решены по схеме Папко-вича. Тангенциальные граничные условия М1 = Т = 0 (2.2), как и в [2-5], удовлетворены "в среднем". Получена система четырех нелинейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат /(Г). Далее, по аналогии с [2, 5], она упрощена. Подстановка выражений для координат/3(0 и/4(0, найденных, соответственно, из тр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»