научная статья по теме НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ БИОРЕСУРСАМИ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ БИОРЕСУРСАМИ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2011, № 3, с. 140-148

МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 629.075

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ

БИОРЕСУРСАМИ © 2011 г. А. Ю. Переварюха

Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский ин-т информатики и автоматизации РАН

Поступила в редакцию 27.04.10 г.

Изучаются особенности моделирования системы со структурными изменениями в развитии на примере управляемой биологической популяции. В данном контексте рассматривается проблема, связанная с возможностью возникновения непритягивающих хаотических множеств в динамических системах, имеющих более одного аттрактора. Описывается применение формализма гибридных автоматов для задач моделирования биологических процессов. Особенности фазового портрета разработанной динамической модели характеризуются наличием локально-несвязных границ областей притяжения двух аттракторов. Делается вывод об ограниченной предсказуемости динамики отдельных управляемых природных систем, что является следствием неопределенности относительно движения системы к одному из возможных устойчивых состояний.

Введение. Управление возобновляемыми биоресурсами связано с серьезными проблемами прогнозирования, оптимизации, адекватной оценки их современного состояния и способности к воспроизводству. Проблемам оптимального выбора и управления в экологических задачах посвящено значительное количество работ, но на практике часто оказывается, что стремление к оптимальности сопряжено с существенным риском. В статье рассматриваются нелинейные явления, связанные с особенностями воспроизводства биологических популяций и приводящие к негативным последствиям при попытке оптимизировать их эксплуатацию с целью извлечения максимальной прибыли. Принципы теории оптимального управления при исследовании прикладных моделей в некоторых случаях входят в противоречие с другими теоретическими результатами, полученными при исследовании динамического хаоса. После достижения определенных точек в пространстве параметров динамика управляемой системы может претерпевать качественные изменения, спектр которых весьма широк.

В статье описывается одно из таких важных, но не учитываемых ранее изменений, которое связано с границами областей притяжения аттракторов динамических систем. На примере анализа причин деградации популяций осетровых рыб Каспийского моря становится очевиден риск, возникающий при управлении сложной экологической системой в условиях недостаточности представлений о системных свойствах объекта и нелинейного характера протекающих процессов.

1. Рассматриваемая проблема моделирования экологических процессов. На первом этапе развития нового научного направления методы математической экологии были заимствованы из классической механики. Вито Вольтерра сделал попытку применить разрабатываемый им в рамках теории упругих деформаций математический аппарат интегродифференциальных уравнений к проблеме взаимодействия абстрактных конкурирующих популяций [1]. Теория Вольтерра не основывалась на анализе каких-либо достоверных статистических данных наблюдений, которыми в том момент еще никто не располагал. Дальнейшее развитие теории сводилось к модификации членов в правых частях систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В стороне от развивавшейся методологии оставался ряд существенных факторов. Известно большое число сложных систем и процессов, испытывающих по ходу развития крупномасштабные структурные изменения и, следовательно, проблематично описывать их динамику с использованием ОДУ с гладкими правыми частями.

Основным математическим аппаратом, применяемым при компьютерном моделировании динамики реальных популяционных процессов, становятся дискретные динамические системы. Природные процессы в силу особенностей жизненного цикла экосистем во многих ситуациях целесообразно представлять алгоритмическими моделями на основе разностных уравнений и

матриц. Применяемые в подобных работах моделирующие алгоритмы содержат функциональные зависимости и условные операторы языка программирования, накладывающие ограничения и определяющие условия выбора конкретных функциональных зависимостей. Такой подход к экологическим исследованиям с применением ЭВМ развивался, начиная с ряда работ Дж. Па-улика [2], использовавшего FORTRAN, и работ В.В. Меншуткина, где моделирующие алгоритмы реализовывались на языке программирования АЛГОЛ-60.

Одна из целей моделирования состоит в получении оснований для прогнозирования. Рассмотрим явления, приводящие к теоретической невозможности долгосрочного прогнозирования, возникающие при исследовании нелинейных моделей развития биологических процессов. Часто в моделирующих алгоритмах для формализации важнейших причинно-следственных связей привлекаются функциональные зависимости (фактически в качестве оператора эволюции динамической системы), для которых возможны появления топологически неэквивалентных фазовых портретов. Однако негативные последствия имеет и ряд нелинейных эффектов, не связанных с бифуркациями аттракторов при изменении значений модельных параметров.

2. Динамический хаос в моделях динамики биологических процессов. Дискретные динамические системы используются при моделировании в различных областях, но особенно большой опыт их применения, часто неудачный, наблюдается в области математического описания биологических процессов.

В [3] У. Рикер разработал получившую широкую известность теорию, обычно называемую в литературе теория "запас-пополнение" (stock-recruitment), которая объясняет сложный характер цепочки взаимосвязей, сопровождающих весь процесс воспроизводства популяций рыб. Смертность в раннем онтогенезе рыб очень велика и регулируется не только природными, но и зависящими от плотности исходного нерестового запаса факторами. Это может быть и прямой каннибализм, и реакция хищников, вызванная большим скоплением корма, смертность от голодания при ограниченности пищевых ресурсов. Проведен ряд экспериментов в лабораторных условиях, показавших замедление размерного развития популяций рыб при большой плотности.

В [3] впервые предложено математически формализовать немонотонную зависимость пополнения от запаса R = f(S). Однако У. Рикер и его многочисленные последователи не рассмотрели данную модель с точки зрения теории динамических систем. Дискретная динамическая система, описывающая динамику популяции в виде функциональных итераций с использованием модели Рикера: Rj +1 = aR;exp(—bRj), обладает опасностью возникновения топологически неэквивалентных фазовых портретов. При последовательном увеличении управляющего параметра a до некоторого бифуркационного значения у динамической системы, представленной в виде полугруппы итераций {у®}; > 0, где R0,Ri, R2, ... — ряд точек, которые описывают эволюцию системы, определенных условием Rj +1 = y(R;) при всехj > 0, существует глобальный аттрактор. Система после переходного режима приходит в устойчивое состояние равновесия со стационарной точкой R*, при этом областью притяжения Q для R* (выполняется для аттракторов при любых a > 0, но биологический смысл имеет только a > 1) является все фазовое пространство. Различные толкования понятия аттрактор рассмотрел Дж. Милнор в [4] и на основе анализа примеров предложил обобщающее определение. Далее при исследовании эффектов, связанных с изменениями аттракторов, будет использоваться определение, данное Милнором.

Момент появления метаморфоза в поведении системы определяется тем, когда производная в неподвижной точке перестает удовлетворять критерию устойчивости. Для динамических систем рассматриваемого типа это происходит, когда для первой производной не выполняется условие |y'(R*)| < 1, что следует из теоремы Гробмана—Хартмана [5]. У отображения возникают две новые циклические точки y"(R*) = у" + 2(R*), являющиеся неподвижными точками второй итерации y2(R). При изменении управляющего параметра в диапазоне значений a > e2 реализуется переход к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода (каждый раз при y2n'(R*) = —1). Интервал значения управляющего параметра между двумя последовательными бифуркациями по мере увеличения периода цикла быстро сокращается. После прохождения каскада удвоений траектория притягивается к аттрактору, отличному от конечного объединения гладких подмногообразий фазового пространства и называемому "странным аттрактором". Возникает хаотический режим (рис. 1), динамика изменений выглядит стохастической. Главное, но не единственное свойство хаоса заключается в чувствительной зависимости от начальных условий: наблюдается экспоненциальное разбегание изначально близких траекторий. Хаотический диапазон значений a прерывается при касательных бифуркациях возникновением окон периодичности с устойчивыми циклами различных периодов. В том числе появляется цикл периода 3 точно в соответствии с теоремой А.Н. Шарковского. Теорема, доказанная раньше, чем было

Пополнение R, шт. 800

700 600 500 400 300 200 100 0

И

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300 2400 t, усл. ед.

Рис. 1. Хаос в модели на основе формулы Рикера

предложено понятие о странном хаотическом аттракторе и введен в научный оборот термин "хаос", определяет сосуществование в отображении циклов различных периодов. Три выступает заключительным числом в специальном порядке Шарковского [6], появление цикла периода 3 означает наличие в динамической системе циклов других всевозможных периодов.

Порядок изменений в поведении траектории системы в виде каскада бифуркаций удвоения при последовательном увеличении параметра известен как сценарий М. Фейгенбаума. Сценарий реализуется в нелинейных унимодальных отображениях с экстремумом, близким к квадратичному: хп +1 = ^зт(яхп), хп +1 = 4Ахп(1 — хп). Скорость перехода к хаосу, когда период цикла становится бесконечным, характеризуется двумя универсальными константами — "числами Фейгенбаума" [7]. Критерием перехода к хаосу через каскад бифуркаций в отображениях рассматриваемого вида служит значение дифференциального инварианта Шварца

V'' (R) - 3 V' (R) 2

V ' (R)

\2

V (R)

(2.1)

Данная величина (называемая обыч

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком