научная статья по теме НЕОЖИДАННЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ КВАРКОВОЙ КОНДЕНСАЦИИ Физика

Текст научной статьи на тему «НЕОЖИДАННЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ КВАРКОВОЙ КОНДЕНСАЦИИ»

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 5, с. 438-444

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

НЕОЖИДАННЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ КВАРКОВОИ КОНДЕНСАЦИИ

"2),3)

© 2015 г. Г. М. Зиновьев1)*, С. В. Молодцов

Поступила в редакцию 29.06.2014 г.

Проводится сравнительный анализ некоторых кварковых ансамблей с четырехфермионным взаимодействием. Приводятся аргументы, что их характерной чертой является наличие фазового перехода газ—жидкость. Обсуждается нестабильность небольших кварковых капель, которую мы связываем с формированием кирального солитона. Стабильность барионной материи обусловлена смешанной фазой вакуума и барионной материи.

DOI: 10.7868/80044002715020270

В настоящей работе рассматриваются некоторые аспекты термодинамического описания квар-кового ансамбля с плотностью гамильтониана с четырехфермионным взаимодействием, генерируемого, как полагают, сильными вакуумными стохастическими полями:

Н = V + т)д — (1)

- fj dyA A'b)j,

где ^ = — кварковыетоки (с соответствую-

щими кварковыми операторами д, д), взятые в пространственных точках х (переменные со штрихом относятся к точке у); т — токовая масса кварка; ^а = \а/2 — генераторы цветовой Би(Кс)-группы, /л,и = 0,1,2,3. Мы принимаем коррелятор глюон-ного поля {А^А'^) в простейшей синглетной форме с контактным взаимодействием по времени (без запаздывания) {А^А'Ь) = С5аЬ5^^(х — у) (временная дельта-функция в записи опущена). Мы сравним два, в определенном смысле, противоположных примера формфакторов. Первый соответствует дельта-образной функции в координатном пространстве (модель Намбу—Иона-Лазинио (НИЛ)) [1], второй имеет вид дельта-функции в импульсном пространстве и отвечает хорошо известной в физике конденсированного состояния модели Келдыша (ККБ) [2]. Полагают, что при достаточно большом взаимодействии основное состояние системы переходит из тривиального вакуумного состояния свободного гамильтониана |0)

'-'Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины, Киев.

2)Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия.

3)Институт теоретической и экспериментальной физики,

НИЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия.

E-mail: Gennady.Zinovjev@cern.ch

в смешанное состояние кварк-антикварковых пар с противоположными импульсами с квантовыми числами вакуума в виде боголюбовской пробной функции (при этом появляется выделенная система отсчета и фиксируется киральная фаза)

И = Т|0) Т = Пехр[^Р(а+,8Ь-р,8 + ар^Ь-р^}. р,8

Здесь а+, а и Ь+, Ь — кварковые операторы рождения и уничтожения а|0) = 0, Ь10) = 0. Одевающее преобразование Т преобразует операторы кварков в операторы рождения и уничтожения квазичастиц кварков А = ТаТ^, В + = ТЬ+Т^. Для определения термодинамических свойств кваркового ансамбля требуется найти такую матрицу плотности

£ = 6 ^арр, = Тг{е_/3^арр}, чтобы при фиксированном заряде

Яс = Тг{еЯс} = Уч [ бр(п — п)

(Я° = д) и фиксированной средней энтропии 5 = -Т г«5} = -^/ф[»Ь» + (1-В)х

х 1п(1 — п) + п1п п + (1 — п)1п(1 — п)]

(Б = — 1п е) средняя энергия ансамбля кварков Е = Тг{ен} (Н = / йхН) была минимальной, т.е. требуется найти минимум функционала О = Е — — цЯ о — ТБ, где ¡ли Т — лаграижевы множители химического потенциала кваркового/барионного заряда (по определению кварковый химический потенциал в 3 раза меньше барионного) и температуры (в = Т-1). У — объем системы; р = = р/(2^)3; 7 = 2Ыс (для нескольких кварковых ароматов 7 = 2NcNf, где Nf — число ароматов);

п = Тг{£А+А}, п = Тг{£В+В} — компоненты соответствующей матрицы плотности. Мы ограничимся приближением Хартри—Фока—Боголюбова, в котором статистический оператор построен на основе эффективного гамильтониана Нарр, квадратичного по операторам рождения и уничтожения квазичастиц, действующим в соответствующем фоковском пространстве с вакуумным состоянием \а). Приходящаяся на один кварк удельная средняя энергия w = Е/(У7) равна [3]:

w = J dppo 1

dp(l — n — n)p0 cos в — (2) dp(1 — n — n) sin (в — вт) M(p),

M(p) = 2G J dq(1 — n' — n') x

x sin (в' — вт) F (p + q),

в = 2?, po = (p2 + m2 )1/2,

переменные со штрихом здесь и далее отвечают импульсу q. Вспомогательный угол вт определяется соотношением sin вт = m/p0. Первый член выражения (2) введен в целях нормировки, чтобы энергия основного состояния обращалась в нуль при выключенном взаимодействии. Экстремали функционала (2) представлены на рис. 1, причем сплошная кривая отвечает модели НИЛ, штриховая — модели ККБ, для нормальных условий (T = 0, ц = = 0). Для дельта-образного потенциала в координатном пространстве (модель НИЛ) выражение (2) расходится, и для придания ему смысла вводится ограничение по импульсу Л. Вводятся также параметры константы связи G и токовой массы m. Мы примем одну из стандартных настроек модели НИЛ: Л = 631 МэВ, m = 5.5 МэВ, GЛ2/(2п2) = = 1.3. Параметры модели ККБ выбираются таким образом, чтобы динамические массы кварков обеих моделей совпадали при нулевом импульсе.

Пользуясь свойствами экстремалей, функционал (2) можно преобразовать к виду (см. [4])

w = dpp0 — dp(1 — n — n)P0 + (3)

+

^ J dpdqF(p + q)M(p)M(q),

где Р0 = [р2 + М2 (р)]1/2 — энергия квазичастицы кварка с динамической массой

(р) = т + М (р) = т + У ^ (р + q)M(q).

Варьируя функционал (3) по плотности индуцированной массы кварка М, получаем уравнение на

6, град -10

-30

-50

-70

0 Рь

200

400

600 p, МэВ

Рис. 1. Наиболее устойчивые равновесные углы 0 как функции импульса р. Сплошная кривая описывает модель НИЛ, штриховая кривая соответствует модели ККВ.

динамическую массу кварка

Г М'

мд(р) =т + 2С / ^(1 - п' - п7)—+ о), «/ Р0

которое в точности соответствует приближению среднего поля. В частности, для нормальных условий (Т = 0, / = 0) динамическая масса кварка в модели НИЛ равна Мд ~ 340 МэВ, в то время как для модели ККБ динамическая масса определяется из уравнения

М (р)

М(р) = 2 G-

P0

Преобразование выражения удельной энергии (2) к виду (3) приводит к функционалу энергии теории ферми-жидкости Ландау [5]. Некоторые положения этой теории оказывается естественно применить для сопоставления результатов моделей НИЛ и ККБ. Первая вариация функционала (3) по плотности частиц (античастиц) приводит, как это и должно быть, к энергии квазичастицы: Sw/Sn = = Р0. Пусть распределения плотности частиц (античастиц) даются пределами при в 0 выра-

жений n = e

= \Рв (Po-ri

+11

1

n = \ee (po

+ 1

1

т.е. при Т = 0 имеем ферми-ступеньку: п = 1 при Р0 < / и п = 0, когда Р0 > Ясно, что для антикварков п = 0. Плотность кварков дается выражением

Р =

бтг2

Qo

0.8 0.6 0.5 0.3 0.2 0 0.2 0.3

0

0.3 рв

Рис. 2. Групповая скорость квазичастиц vF на поверхности Ферми. Сплошная кривая описывает модель НИЛ, штриховая кривая соответствует модели ККБ, точками обозначены данные для модели ККБ с настройкой на массу п-мезона.

К, МэВ 1200

800

400 -

-400

0

0.3 рв

Рис. 3. Модуль сжатия К. Обозначения аналогичны обозначениям на рис. 2.

причем химическим потенциал кварка совпадает с энергией квазичастицы кварка на сфере Ферми: ¡1 = [Рр + М^ (Р2 )]1/2. Групповая скорость квазичастиц кварков на сфере Ферми vF = = дРс/др||р|=рр показана на рис. 2 как функция

барионной/кварковой плотности (по определению барионная плотность в 3 раза меньше кварковой, Рв = р/3). Сплошная кривая отвечает модели НИЛ, штриховая — модели ККБ. Для сравнения точками показаны результаты для модели ККБ, если ее настраивать из условия совпадения энергий

п-мезонов двух моделей при нулевом импульсе. Стремление групповой скорости в области нормальных ядерных плотностей к единице, отвечает восстановлению киральной симметрии, когда индуцированная масса кварка стремится к нулю. Для модели ККБ в киральном пределе групповая скорость обращается в нуль для кварков с импульсами |р| < 2С. Отрицательные групповые скорости в модели НИЛ отвечают зоне неустойчивости. Точки, в которых групповая скорость обращается в нуль, обусловливают пики в плотности состояний на поверхности Ферми

N =

= 71 ¿р6(Р0 " Д) = ¿2 (1 + РоГ1,

= МчйМч 0 Рр ¿р¥'

где Рр = Рс ||р|=^, N = ¿р/а^. В идеальном газе член взаимодействия в функционале (2) исчезает, следовательно, ¿Мя/¿Рр = 0. Положим по определению плотность состояний идеального газа равной ^ = 7/(2п2)РРР°, тогда N = NF (1 + Р°)-1. Другой важной характеристикой является модуль сжатия

ар 1 \

На рис. 3 представлены данные для модели НИЛ и модели ККБ. Они вполне отвечают характерным значениям, получаемым для ядерной среды. Скорость первого звука определяется из соотношения

Г2- К ~ 61

3

1 + Рс

При барионных плотностях, несколько превышающих плотность нормальной ядерной материи, скорость звука стремится к своему асимптотическому значению С\ = 1/л/З, что является проявлением восстановления киральной симметрии. Если

аналогично определению NF ввести скорость звука идеального ферми-газа С2 = V2/3, то можно продемонстрировать равенство потоков проходящих через сферу Ферми квазичастиц (воображаемого) идеального ферми-газа и взаимодействующей ферми-жидкости (т.е. по существу имеет место релятивистский аналог теоремы Латтинже-

ра), NС2 = NС2. Коэффициент теплопроводности при постоянном объеме при малых температурах дается выражением Су = ^7г2Л^Т. Еще одна важная характеристика ферми-жидкости определяется с помощью второй вариационной производной, которая в случае функционала (3) имеет

V

0

P, МэВ/Фм3 60

55

50

45

0.05

0.10

0.15

0.20 00/3^

Рис. 4. Давление ансамбля Р как функция плотности заряда Qo/ЗУ при следующих температурах (кривые снизу вверх): Т = 0,10, 20, 30, 40, 50 МэВ. Штриховая кривая — граница фазового перехода газ—жидкость.

только скалярную составляющую 5 2 w

fo =

Mq 5Mq

5n2

P0 5n

Для ферми-жидкости при нулевой температуре, в частности, имеем

fo

2ТГ2 Mq dMq

Коллективные моды колебаний ферми-жидкости, так называемый нулевой звук (бесстолкновитель-ный режим), определяются при помощи параметра

PF dPF

В частности, в модели ККБ

Fo =

MMq2

MMq2 + (PF)2m -

> -1.

Общий вывод, который можно сделать при сравнении всех полученных в обеих моделях характеристик, следующий: все они отвечают значениям, характерным для ядерной материи. Можно также заклю

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»