Непредсказуемые орбиты
...если вдруг планеты
Задумают вращаться самовольно,
Какой возникнет в небесах раздор!
В.Шекспир
Иван Иванович Шевченко, доктор физико-математических наук, заведующий сектором Главной (Пулковской) астрономической обсерватории РАН, член Международного астрономического союза. Область научных интересов — динамика тел Солнечной системы, небесная механика, нелинейная динамика, динамика и физика центральных областей активных ядер галактик.
И.И.Шевченко
В течение многих столетий ничто не казалось людям более далеким от хаоса и случайности, чем правильное, размеренное движение тел Солнечной системы. Целочисленные соотношения между орбитальными периодами некоторых из них, впервые обнаруженные еще в XVIII в., выглядели очевидным подтверждением царящего порядка и гармонии. Но, вразрез с очевидностью, именно такие соотношения (называемые соизмеримостями или ре-зонансами) оказались первопричиной хаоса — явления, вовсе не связанного с какими-либо случайными воздействиями на движущиеся тела, а таящегося в самой природе движения.
Идея порядка, основанного на геометрических соотношениях, вдохновляла И.Кеплера в его первых исследованиях движения планет. В 1593 г. он заметил, что радиусы окружности, вписанной в равносторонний треугольник, и окружности, описанной вокруг него, относятся примерно как радиусы орбит Юпитера и Сатурна. Под впечатлением этого наблюдения он разработал модель Солнечной системы в виде концентрической последовательности пяти правильных многогранников. Солнечная система в этой модели подчинялась некоему статичному геометрическому порядку.
В 1784 г. П.Лаплас обратил внимание на другое, уже не геометрическое, а динамическое соотношение между орбитами
© Шевченко И.И., 2010
Юпитера и Сатурна — периоды обращения этих планет близки к целочисленной соизмеримости (резонансу) 2/5. С его помощью он объяснил наблюдавшиеся аномалии в движении Юпитера и Сатурна и показал их периодический, а не монотонный (как говорят небесные механики, вековой) характер. Этот триумф небесной механики, наряду с другими выдающимися достижениями (в частности, с весьма точным предсказанием А.Клеро даты возвращения кометы Гал-лея в 1759 г.), позволил Лапласу выдвинуть идею, что мир полностью детерминирован: если в какой-то момент заданы положения и скорости составляющих его частиц, вся его последующая история предопределена. Воплощением этой идеи может служить механическое устройство — «часовой планетарий» (рис.1), представляющий движения и фазы планет и их спутников в Солнечной системе с помощью часового механизма. По словам А.Паннекука [1], «Солнечная система мыслилась как
гигантский механизм, приводимый в движение и подталкиваемый только силой всемирного тяготения. Это был до конца познаваемый и поддающийся вычислению часовой механизм, который навечно сохранял свое движение».
Таким образом, в конце XVIII в. учет одиночного резонанса в теории Лапласа привел к формулировке и всеобщему научному признанию детерминизма. Полная предопределенность движения как больших, так и малых тел Солнечной системы не подвергалась сомнению. Казалось, чем точнее на-
Рис.1. «Часовой планетарий».
блюдения, чем совершеннее теория, тем на большее время можно предсказать движение любого небесного тела. Парадоксально, но спустя два века анализ взаимодействия резо-нансов в работах Б.В.Чирикова, Дж.Уиздома и других ученых разрушил детерминистическую концепцию. Отказу от нее способствовало, в частности, возвращение в 1986 г. кометы Гал-лея (третье после предсказанного Клеро): теперь ее орбита рассматривалась не как пример полностью рассчитываемого предопределенного движения, а как пример проявления динамического хаоса. Детерминизм Лапласа просуществовал в течение трех обращений кометы Галлея на орбите. Любопытно, что даже во времена, когда ла-пласовский детерминизм абсолютно господствовал в научной мысли, образованное сообщество в целом едва ли воспринимало космос как идеальный предсказуемый механизм: явления комет казались неожиданными и опасными (см. рис.2 и обсуждение в книге [2]).
Маятник, резонансы и хаос
Резонанс представляет собой центральное понятие нелинейной динамики. Чириков в своей статье [3] определяет его так: «Под резонансом понимается такая ситуация, когда некоторые частоты невозмущенной системы близки между собой или к частотам внешнего возмущения». Как убедиться в наличии резонанса в движении тех или иных небесных тел? Ведь наблюдаемая соизмеримость между частотами никогда не бывает совершенно точной — хотя бы из-за ошибок наблюдений. Чтобы решить этот вопрос, небесные механики вводят резонансную фазу (часто называемую также резонансным или критическим углом или же резонансным или критическим аргументом) — линейную комбинацию (алгебраическую сум-
му) угловых переменных системы с целочисленными коэффициентами, выбор которых определяет резонансное соотношение между частотами. Если этот угол изменяется в ограниченных пределах, т.е. либрирует, подобно колебаниям маятника, — система находится в резонансе, если же он неограниченно увеличивается или уменьшается, т.е. вращается, — резонанса нет. Траектория, пограничная между либрацией и вращением, носит название сепаратрисы. Итак, динамика жесткого маятника (он изображен на рис.3) дает модель резонанса. В определенном смысле эта модель резонанса универсальна [3, 4].
В небесной механике мы имеем дело, как правило, с нелинейными резонансами, когда частота фазовых колебаний на резонансе зависит от амплитуды (энергии) колебаний, как в примере маятника. В случае линейного резонанса частота от амплитуды не зависит. Подробно о свойствах нелинейного резонанса рассказано в выдающейся статье [3], где фундаментальные понятия нелинейной динамики разъясняются доступно и в то же время строго.
Малейший внешний толчок жесткого маятника, находящегося вблизи верхнего положения равновесия (ф = ±п = ±180°; угол ф определен на рис.3), способен радикально изменить характер движения (например, сменить колебание на вращение). В этом состоит так называемая существенная зависимость от начальных условий. Что про-
Рис.3. Маятник.
изойдет, если маятник или какую-либо другую систему с сепаратрисой подвергать периодическому возмущению? Движение системы вблизи сепаратрисы в типичном случае, т.е. для большинства начальных условий и значений параметров, станет весьма необычным. Сейчас это хорошо известно, а впервые на запутанное и сложное поведение траекторий вблизи возмущенной сепаратрисы (в небесно-механической задаче трех тел) указал А.Пуанкаре в 1899 г. Правда, тогда не предполагалось, что характер этого запутанного движения в каком-либо смысле «случаен».
Долгое время исследования движения вблизи сепаратрисы совсем не касались хаотического поведения, а ограничивались анализом частных случаев, когда был возможен традиционный подход. В 1908 г. английский ученый А.Стефенсон опубликовал работу о динамике обращенного (ф = ±п = ±180°) жесткого маятника с вибрирующей точкой подвеса. Он нашел, что вертикальная вибрация подвеса со специально подобранными частотой и амплитудой способна стабилизировать обращенный маятник. Этот эффект наглядно
продемонстрировали эксперименты П.Л.Капицы в конце 40-х годов прошлого века. Современные возможности вычислительной техники дают возможность взглянуть на этот эффект по-новому: если построить сечение фазового пространства (пространства координат и импульсов динамической системы) для такого маятника, то выясняется, что область устойчивости представляет собой лишь небольшой островок в обширном хаотическом «море», образуемом траекториями с очевидно нерегулярным поведением. До середины прошлого века это хаотическое движение не было объектом научного исследования, как и хаотическое движение любой другой динамической системы.
В 1959 г. Чириков впервые описал динамический хаос как порождение взаимодействия резонансов, а в качестве критерия возникновения хаоса предложил критерий перекрытия резонансов [3, 5]. Ограничимся здесь поясняющим примером. Фазовое пространство в случае невозмущенного маятника имеет два измерения, определяемые двумя переменными — углом отклонения ф и импульсом p = mlф, где m — масса маятника, l — его
длина, ф — скорость изменения угла ф. На хорошо известном фазовом портрете ф—p невозмущенного жесткого маятника (рис.4) имеется единственная область либраций (колебаний), ограниченная невозмущенной сепаратрисой. Иначе говоря, маятниковая модель резонанса в невозмущенном случае описывает единственный резонанс. Если включить периодическое возмущение — вибрацию подвеса — то фазовое пространство нашей динамической системы уже не будет двумерным и для сравнения с фазовым портретом в невозмущенном случае будет необходимо построить сечение фазового пространства. Оно строится следующим образом: станем откладывать значения переменных на графике не непрерывно, а «стробоскопически» — через постоянные интервалы времени, равные периоду возмущения. На построенном таким образом сечении мы увидим уже не одну, а три области либраций — три резонанса (рис.5). Если частота возмущения относительно велика, разделение резонансов по импульсу велико и они почти не «взаимодействуют». При уменьшении частоты возмущения резонансы сближаются и в окрестности сепаратрис возникают заметные хаотические слои, где, как хорошо видно на рис.5, движение очевидным образом нерегулярно; при дальнейшем уменьшении частоты возмущения эти слои сливаются в единый хаотический слой — результат взаимодействия резонансов при их сильном сближении в фазовом пространстве.
По словам Чирикова, «...физик прежде всего старается выяснить, какие резонансы играют роль в той или иной системе и как они взаимодействуют друг с другом» [3]. Именно наличие резонансов, — казалось бы, воплощения порядка, — приводит к непредсказуемому, хаотическому характеру движения. Иными словами, присутствие резо-нансов в фазовом пространстве
Ф
Рис.4. Фазовый портрет для невозмущенного маятника.
Рис.5. Триплет взаимодействующих резонансов при умеренной относительной частоте возмущения.
обусловливает и присутствие хаотической к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.