ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 531.31
© 2004 г. В. Клим, А. П. Сейранян
НЕРАВЕНСТВО МЕТЕЛИЦЫНА И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Изучаются критерии асимптотической устойчивости линейных механических систем. Показывается, что неравенство, впервые выведенное Метелицыным, является достаточным, но не необходимым условием асимптотической устойчивости. Анализируются теоремы Метелицына, а также критические комментарии к ним в литературе. Выводятся конструктивные достаточные условия устойчивости в виде неравенств, ограничивающих экстремальные собственные значения матриц системы. Аналогичные условия получены для роторных систем в комплексном представлении. В качестве механических примеров рассмотрены три задачи об устойчивости вращения валов.
1. Введение. Удивительно, но критерий устойчивости Метелицына, полученный 50 лет назад, и теоремы устойчивости линейных неконсервативных систем [1, 2] до сих пор являются источниками дискуссий и путаницы. Подобные условия устойчивости были позднее получены Фриком [3] и Хусейном [4]. Отметим также последние работы на эту тему [5-8].
Предмет исследования - устойчивость линейных систем, представленных в форме
лд + (В + 0)4 + (С + = 0 (1.1)
которые являются общими неконсервативными моделями в механике. Здесь А, В, О, С и N - действительные матрицы размерности т х т. Предполагается, что матрица масс А симметрична и положительна определена, АТ = А > 0. Демпфирование характеризуется симметричной матрицей В, гироскопическая матрица О является косо-симметричной, О = -От. Потенциальные силы описываются симметричной матрицей С, а неконсервативные позиционные силы - кососимметричной матрицей N. Вектор 4 представляет собой вектор обобщенных координат системы.
В предположении, что решение уравнения (1.1) имеет вид 4 = квк', проблема устойчивости системы сводится к алгебраической задаче на собственные значения
Ь(к)к = 0, к Ф 0; Ь(к) = КА + к(В + О) + С + N (1.2)
Собственные значения к являются корнями характеристического полинома (1е1;Ь(к) степени 2т. Система (1.1) асимптотически устойчива, если все собственные значения имеют отрицательные действительные части. Исследование действительных частей собственных чисел при помощи критерия Рауса-Гурвица при т > 4 очень громоздкое; кроме того, при таком подходе свойства матриц, имеющие физический смысл, не играют никакой роли. Поэтому при исследовании устойчивости Метели-цын и другие авторы следовали альтернативными путями.
Будучи не вполне согласными с последними публикациями [7, 8] относительно метода и теорем Метелицына, авторы статьи ставят следующие цели.
1. Привести краткий альтернативный вывод неравенства Метелицына.
2 Прикладная математика и механика, № 2
2. Сформулировать причины, по которым неравенство Метелицына является достаточным, но не необходимым условием асимптотической устойчивости.
3. Объяснить, почему условие устойчивости Метелицына мало применимо в прикладных задачах, и прокомментировать его семь теорем устойчивости.
4. Показать, как неравенство Метелицына приводит к конструктивному условию устойчивости, выраженному через экстремальные собственные значения матриц системы и поэтому применимому при решении практических задач.
5. Показать, что аналогичные условия для систем с симметричными комплексными матрицами имеют некоторые преимущества, и дать вывод достаточных условий устойчивости роторных систем.
6. Привести механические примеры, показывающие, что из полученных условий следуют качественно верные, но не всегда точные границы областей устойчивости.
2. Вывод неравенства Метелицына. Помножив уравнение (1.2) слева на транспонированный комплексно-сопряженный собственный вектор к*, Метелицын получил уравнение
ТХ2 + (В + ¡Г)Х + V + ¡Е = 0 (2.1)
(для каждого собственного значения Х - свое уравнение), где обозначено
Т = к * Ак, В = к * Вк, ¡Г = к *Ок, V = к *Ск, 1Е = к* т (2.2)
Здесь Т, В, Г, V и Е - действительные величины. Также предполагается нормирован-ность собственных векторов, к* к = 1.
Известное неравенство Метелицына можно получить, потребовав, чтобы оба корня квадратного относительно Х уравнения (2.1) имели отрицательные действительные части. Вместо утомительного вычисления и отделения действительных частей этих корней воспользуемся теоремой Бильхарца и Шура [9], согласно которой оба корня полинома (2.1) с комплексными коэффициентами имеют отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда выполняются следующие соотношения:
ТГ -V 0
ТГ > 0, 0В Е 0
0В 0Т Г -V
0 0 В Е
> 0
(2.3)
Так как матрица А > 0, коэффициент Т > 0, и поэтому соотношения (2.3) эквивалентны двум условиям:
В > 0 (2.4)
ТЕ1- ГВЕ < В2V (2.5)
Метелицын [1, 2] был первым, кто вывел неравенство (2.5) при условии (2.4) в качестве критерия (асимптотической) устойчивости неконсервативных систем (1.1).
3. Неравенство Метелицына: достаточное, но не необходимое условие асимптотической устойчивости. Следует отметить, что один из корней уравнения (2.1) есть собственное значение Х задачи (1.2), второй же корень не всегда является собственным значением. На этот важный факт было указано в [5], а затем в [8]. Однако это не было отмечено ни самим Метелицыным [1, 2], ни в работах [4, 7]. В действительности же случай, когда оба корня являются собственными значениями, скорее исключение, чем правило. Покажем это, следуя частному сообщению К. Поммера.
Рассмотрим собственное значение системы (1.2) Хг, которому соответствует собственный вектор Нг и которое, конечно, является корнем полинома (2.1). Пусть уравнение (2.1) имеет два различных корня: Хг и Х5. В этом случае Х5 будет также собственным значением, если ему соответствует левый собственный вектор Нг, т.е. Н* ДХ5) = 0. Примером такой ситуации может служить слабо демпфированная система с матрицами О = 0, N = 0 при выборе Х5 = Хг.
Ошибка Метелицына, затем повторенная Хусейном [4], заключалась в том, что он считал оба корня уравнения (2.1) собственными значениями задачи (1.2). Эта ошибка привела к неверному выводу, что неравенство (2.5) - необходимое и достаточное условие устойчивости. Однако очевидно, что неравенства (2.4) и (2.5) являются достаточными условиями асимптотической устойчивости, но не необходимыми, что может быть проиллюстрировано примером Д.Р. Меркина [7].
Пусть система (1.1) задается уравнением
1 0
4 + 1
0 1 1
5.8186 0 0 0.1814
0 3.6667 -3.6667 0
4 +
-0.5 0 0 2.25 14 = 0
+
0 -0.5 -2.25 0 )
(3.1)
Система (3.1) асимптотически устойчива, так как собственные значения системы Х1 2 = -1 ± 0.5 г и Х34 = -2 ± 0.5 г имеют отрицательные действительные части. Вычисляя соответствующие собственные векторы Н, можно определить коэффициенты (2.2) квадратного уравнения (2.1). Корнями этого уравнения (одно уравнение для каждого собственного значения), конечно же, являются собственные значения Х12 и Х34, но также и числа 0.0625 ± 0.875 г и 0.1786 ± 0.2857 г, действительные части которых положительны. Таким образом, система (3.1) асимптотически устойчива, но неравенство Метелицына (2.5) не выполняется, потому что требует отрицательности действительных частей обоих корней уравнения (2.1).
4. Почему неравенство Метелицына непрактично и комментарии к его теоремам. При исследовании асимптотической устойчивости конкретной системы путем проверки выполнения неравенств (2.4) и (2.5) как достаточных условий возникает следующая проблема. При формулировании теорем устойчивости Метелицын потребовал выполнения условия (2.5). Однако собственные векторы Н, которые используются для вычисления коэффициентов (2.2) в неравенствах (2.4) и (2.5), неизвестны; это отмечалось ранее (см., например, [3, 7]). Для их определения необходимо решить задачу на собственные значения (1.2), чем и завершается анализ устойчивости. Поэтому авторы не согласны с недавними высказываниями [8] и утверждают, что неравенство Метелицына (2.5) не может быть проверено в данном им виде без вычисления собственных векторов (а следовательно, и собственных значений) задачи (1.2).
Тем не менее, как было показано в [5], неравенство Метелицына (2.5) приводит к третьей теореме Томсона-Тета-Четаева: консервативная статически устойчивая система (С > 0, следовательно, и V > 0) становится асимптотически устойчивой при добавлении произвольных гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией (Б > 0) [10]. Действительно, в случае N = 0 (т.е. Е = 0) неравенство (2.5) принимает вид > 0, что обеспечивает асимптотическую устойчивость системы.
В общем случае, основываясь на неравенствах (2.4) и (2.5), Метелицын [1, 2] сформулировал семь теорем (см. также [7]). Две из них были также приведены Магнусом [11]. Ниже приводится краткий комментарий к этим теоремам.
+
Теоремы 1 и 2 для систем с позиционными силами (при отсутствии диссипативных и гироскопических сил) не могут быть выведены из неравенства (2.5), так как при отсутствии диссипации (О = 0) условие (2.4) нарушается, и для таких систем асимптотическая устойчивость не может быть достигнута.
Контрпримерами теорем 3 и 4 являются системы с нечетным числом степеней свободы, которые невозможно стабилизировать введением диссипативных и гироскопических сил, поскольку свободный член в характеристическом уравнении для систем с только неконсервативными позиционными силами (С = 0) и статически неустойчивых систем (при С < 0) является неположительным, из-за чего не выполняется критерий Рауса-Гурвица. На этот факт было указано Д.Р. Меркиным [7, 10]. Следовательно, для таких систем выполнение неравенства (2.5) невозможно. Пусть, например, в уравнении (1.1) матрицы С и N имеют вид
а00 0 а в
С= 0Ь0 , N = -а 0 У
0 0 с -в -у 0
Тогда свободный член характеристического уравнения системы (е^ С + N ] = аЬс + Ьр2 + ау 2 + с а
равен нулю в случае а = Ь = с = 0 (С = 0) и отрицателен при а < 0, Ь < 0, с < 0 (С < 0) и произвольных а, в, у.
Теоремы 5 и 6 не связаны с неравенствами (2.4) и (2.5) [8]. Был представлен [7] контрпример, убедительно показывающий несправедливость теоремы 7.
Поэтому авторы не согласны с некоторыми комментариями [8] отно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.