ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 1, с. 80-87
УДК 66.067.1
НЕРАВНОМЕРНОЕ ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ВНУТРИ ПОР ПОЛУПРОНИЦАЕМЫХ МЕМБРАН
© 2008 г. Ю. С. Поляков
Компания "Юсполиресерч", г. Эшланд, Пенсильвания, США ypolyakov@uspolyresearch.com Поступила в редакцию 26.03.2007 г.
Макроскопические уравнения теории фильтрации через зернистые слои применены для учета пространственной неравномерности процесса осаждения частиц на стенках пор в ходе процесса постепенного закупоривания пор ультра- и микрофильтрационных мембран. Показано, что профиль осажденных внутри пор частиц отличается высокой степенью неоднородности, которая оказывает существенное влияние на производительность и селективность мембраны. Исследовано влияние на процесс постепенного закупоривания диаметра поры, ее длины, трансмембранного давления и коэффициента осаждения частиц на внутренней поверхности пор. Предложено критериальное число, представляющее комбинацию этих параметров, которое позволяет оптимизировать выбор мембран и технологических параметров для ультра- и микрофильтрационных процессов, использующих процесс постепенного закупоривания пор.
Процесс постепенного закупоривания пор ультра- и микрофильтрационных мембран, при котором производительность мембран снижается во времени из-за уменьшения свободного сечения пор, вызванного захватом частиц внутренней поверхностью пор, играет важную роль в работе биореакторов с погруженным мембранным модулем [1, 2]. Такие биореакторы, используемые для получения очищенной воды с помощью модулей поло-волоконных мембран, погруженных в резервуар со сточными водами, где загрязнения подвергаются биологическому разложению, представляют одно из самых перспективных направлений мембранной технологии. В связи с этим исследование механизма разделения, определяющего производительность и селективность мембран в мембранных биореакторах, представляет большой интерес для их конструирования и оптимального выбора технологического режима их эксплуатации.
Традиционный подход к описанию процесса постепенного закупоривания ультра- и микрофильтрационных мембран базируется на допущениях о равномерности толщины слоя частиц, осажденных на внутренней поверхностью поры, по ее длине; пропорциональности массы захваченных частиц объему пермеата Q, произведенного за время г; идеальной селективной способности мембран по отношению к коллоидным частицам; и круглых цилиндрических порах [2, 3]. Согласно этому подходу экспериментальные данные обрабатывают с помощью простого уравнения:
г^ = Аг + Б, (1)
где А и Б - эмпирические константы. Достоинством этого подхода является его простота. Недостатки - нереалистичные допущения о равномер-
ности профиля слоя захваченных частиц по длине мембраны и идеальной селективности мембраны. Метод, предложенный в [4], основан на предположении, что частицы осаждаются не по всей длине поры мембраны, а лишь на входном ее участке до момента достижения критического диаметра, при котором частицы уже не могут проникать в пору, позволила сделать модель более реалистичной, но не смогла кардинальным образом устранить недостатки этого подхода. Например, модель не может объяснить процесс выхода реального фильтра на селективный режим и предложить обоснованные рекомендации по выбору оптимального среднего размера пор чистой мембраны с точки зрения ее селективности.
Известные теоретические модели, рассматривающие процесс захвата частиц внутри пор мембраны с позиций барьерной теории, траекторий частиц внутри пор под действием электростатических и других сил, и т.п., игнорируют сужение пор вследствие образования слоя захваченных частиц и соответствующее снижение потока пермеата [2, 5, 6]. Так как процесс постепенного закупоривания пор ультра- и микрофильтрационных мембран, как правило, характеризуется резким снижением потока пермеата до достижения критического радиуса пор, а механизмы взаимодействия частиц с внутренней поверхностью поры еще недостаточно изучены, эти теории могут вносить большую ошибку при оценке поведения концентрации частиц в пермеате.
Процесс постепенного закупоривания пор мембраны имеет много общего с процессом постепенного закупоривания порового пространства зернистых слоев в ходе процесса объемной фильтрации
[7, 8]. Используемые в этом подходе макроскопические дифференциальные уравнения, описывающие материальный баланс с привлечением коэффициента фильтрации, в ряде случаев позволили описать поведение концентрации фильтрата в условиях снижения потока фильтрата из-за сужения порового пространства, вызванного осаждением частиц на зернах-коллекторах. Следует отметить, что этот подход уже позволил успешно описать процесс осаждения частиц в половолоконных мембранных модулях с учетом неравномерности профиля осадка по глубине фильтра [9, 10].
Цель настоящей статьи - описание процесса постепенного закупоривания пор в ультра- и микрофильтрационных мембранах на основе макроскопического подхода теории объемной фильтрации, использующего понятие коэффициента фильтрации (осаждения частиц), для учета пространственной неравномерности процесса осаждения частиц на внутренней поверхности пор и оценки изменения концентрации пермеата в условиях снижающегося во времени потока пермеата.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим мембрану с одинаковыми круглыми цилиндрическими порами радиусом гр и длиной I, используемую для фильтрации несжимаемой изотермической суспензии, содержащей круглые частицы одного размера радиусом а невысокой концентрации с0 (рис. 1). Как и в [2, 3, 7], принимаем, что диффузией частиц внутри пор можно пренебречь, вязкость жидкости внутри поры не изменяется, а по поперечному сечению поры происходит полное и мгновенное перемешивание. Аналогично [7, 8], полагаем, что частицы могут захватываться внутренней поверхностью поры, и скорость этого процесса определяется коэффициентом осаждения (фильтрации), площадью захватывающей поверхности и локальной концентрацией частиц внутри поры. Коэффициент осаждения принимаем постоянным. Так как вследствие захвата частиц на входном участке поры концентрация взвешенных коллоидных частиц по глубине поры будет снижаться, то толщина слоя частиц должна уменьшаться по длине поры.
Разобьем пору по длине на поперечные кольцевые слои шириной, равной диаметру частиц. Принимаем, что частицы могут быть захвачены непосредственно внутренней поверхностью поры или поверхностью образовавшегося на ней слоя частиц. Считаем, что каждый кольцевой слой представляет собой короткую цилиндрическую пору, для которой справедливо течение, описываемое формулой Пуазейля. Тогда объемный поток жидкости через кольцевой слой г можно найти по формуле:
Суспензия
• •
••• 1 » ••• У/МЩ/Ш?
• • •
ф*
В • • • • • • ••: • • 1
■ • шж ..
•
Пермеат
Рис. 1. Схематическое изображение процесса постепенного закупоривания поры ультра- и микрофильтрационной мембраны.
Вся глубина поры I разбивается на кольцевые слои, число которых N равно 1/(2а). При этом значение координаты г для слоя г задается с помощью выражения:
гг = а(2г - 1), где г = 1, ..., N.
Осаждение частиц внутри поры можно описать с помощью классической модели объемного фильтрования [7, 8]:
д(£ с) д(сы) _ ЭГ д г + д г _"5р э г'
£ _ вР( г) с-
(3)
(4)
г) _ пР
8Ц/ У _-_2а-
. п _11г(Гп[ г ]),
(2)
Начальные и граничные условия задаем в виде: с = с0 при г > 0, г = 0; (5)
с = 0, Г = 0 при г = 0, г > 0. (6)
Так как происходит сужение поверхности, доступной для осаждения частиц, то скорость осаждения уменьшается с ростом слоя осадка. Объемный прирост массы осадка в начальный момент равен 2пгр/р. Затем объемный поток будет уменьшаться, становясь равным 2пг/р. Отсюда следует необходимость введения в (4) корректирующей функции ¥(т) = г/гр.
Сужение поры вследствие захвата частиц ее внутренней поверхностью приводит к уменьшению объема, занимаемого суспензией, поэтому пористость определяем как
2, 2 _ п г I _ г
£ = 2)в° = "2е°-пrpl rp
Определим г как функцию Г: 2 п гРМГ
-2 п lrdr =
р р
(7)
Проинтегрировав левую и правую части уравнения (7) с учетом начального условия (6), получаем
2 2 _ Г гр г = гр - 2—-
Отсюда
где Г (Г) = 1-2
р р
£ = £<^2(Г),
(8)
Г
И; =
и°
2а
т
I
= 11-2
Гп
рГр
и=
и°
г I
dzl
о 1-2
Г
р Гр
11
dzl
г1 Г(Г)
Э(£°г [Г]с) Э г
Э
° Э г
dz1
КГ [Г].
ЭГ
= -яр э7' (9)
£ = в Г [Г] с ■
(10)
задачи с постоянным (усредненным) параметром для получения достаточно точного (погрешность от 1 до 15%) приближенного решения задачи с переменным параметром. Используя решение с усредненным параметром, обычно получают три кривые искомой зависимости для трех различных интервалов протекания процесса. Затем на основе верхних границ интервалов и соответствующих значений усредненного параметра проводят его интерполяцию для интересующей области аргумента. Наконец, полученную интерполяцию подставляют вместо усредненного постоянного значения в зависимость для искомой функции.
Решим задачу (9)-(10) с граничными и начальными условиями (5)-(6), когда переменная скорость и заменена постоянным усредненным значением (и), используя процедуру решения, описанную в [7].
д(в°Г[Г] с) дс д Г + ( и)— = - Яр-^,
Эг
^т р рГ р
Выражение для линейной скорости и = ТУв/гс гр с учетом разбиения на кольцевые слои принимает вид:
дг
^ = в Г [Г] С ■
(11)
(12)
Введем я = sp/£0 = 2/гр. Перейдем к безразмерным параметрам:
Р1
т = ярг, = , г = ), (=
(и)
У = ± Г, С = С, М = с°
и°
Так как количество слоев велико, то с пренебрежимо малой погрешностью можно перейти к интегралу
С0 С0 ' 2 6тр р
Задача в безразмерном виде приобретает вид: д([ 1-2Nуу]С) + <у)дС _ _ду
дт ду
N в д г д т'
= 71-2 NТУ С ■
(13)
(14)
С учетом полученных выражений, уравнения (3) и (4) преобразуются к виду
дт ^ т Перейдем к скорректированному времени:
г
© = т- 1-2Nту]dг 1.
°
Как и в [7], для упрощения положим, что
N
( V)
1[ 1 - 2 Мд] dг 1 - это функция только коорди-
наты, т.е. не зависит от времени.
Тогда система (13)-(14) принимает вид:
Задача представляет собой интегро-дифферен-циальное уравнение, принадлежащее к т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.