ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 2, 2015
УДК 539.3
© 2015 г. М. В. Долотов, И. Д. Килль, Ю. Г. Лимонченко
НЕСИММЕТРИЧНАЯ КАСАТЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА НА ГРАНИЦЕ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Рассматривается динамическая задача для упругого полупространства при действующей на его границу распределенной несимметричной касательной нагрузке. Получены простые выражения для компонент тензора напряжений в виде сходящихся при малых значениях времени рядов, обладающих асимптотическими свойствами. Оценены погрешности приближенного решения, определяемого частичными суммами рядов.
Широко известные методы решения нестационарных задач динамической теории упругости — метод функционально-инвариантных решений, различные модификации метода интегральных преобразований (метод Лэмба, контурных интегралов, Каньяра—Хупа) [1, 2] дают решение для сосредоточенных нагрузок, что оправдывает их использование для изучения волновых полей вдали от области приложения нагрузки. Такой подход пригоден для приложений, связанных с проблемами сейсмологии. Неоднократно указывалась важность получения достаточно точных выражений для расчетов полей смещений и напряжений для моментов времени, близких к начальному и вблизи точки приложения нагрузки [3, 4]. Из точного решения, найденного с помощью интегральных преобразований по времени и пространственной координате, получены [5, 6] асимптотические выражения напряжений при t ^ 0 для распределенной нагрузки при осевой симметрии и в плоском случае. Была рассмотрена [7] несимметричная распределенная нормальная нагрузка на поверхности полупространства. Получено решение в виде сходящихся при малых значениях времени рядов, при этом использованный метод разделения переменных позволяет обойтись без интегральных преобразований по пространственным координатам.
В настоящей работе рассматривается распределенная касательная нагрузка. Для потенциалов упругих перемещений используется вариант метода разделения переменных, подобный использованному ранее [7].
1. Постановка задачи и построение разложений напряжений. В декартовых координатах х, у, £ рассмотрим упругое полупространство % ^ 0, которое до момента времени t = 0 находится в покое. При t > 0 на границе % = 0 в направлении, параллельном оси х, действует распределенная касательная нагрузка
Тх = Т0/(х, у, 0
где Т0 — постоянная, /(х, у, 0 — функция, имеющая частные производные любого порядка по х и у , которая вместе со всеми ее производными по х и у допускает преобразование Лапласа. Требуется определить компоненты тензора напряжений о^п(х, у, %, t),
П = х, у, % в полупространстве.
Для определения потенциалов упругих перемещений Ф(х, у, %, t) и Т(х, у, %, t) {¥ х, ¥у, ¥ %} требуется решить краевую задачу
Л!Ф = 0, Л% = 0, г > 0, ( > 0, £ = X, у, г
дФ
дТ
г = 0: Ф = = Т Е =
дt ^ дг
= 0
(1.1)
г = 0: о = 20
1 - 2у
1 - 2у дг дхдг дуд г
= 0
^ хг = 0
дхдг дх2 дг,2 дхду дуд г
= ТДху,)
а уг = 0
дх
д2У у д2У г
2 +
дуд г ду2 дг2 дхду дхдг
= 0
л=4+4,
дх ду
л а = Л +
д2 _ ± д_ -л 2 2 -л, 2
дг са дг
а = 1,2
где С1 и С2 — скорости распространения продольных и поперечных упругих волн, О — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона.
Так как в отличие от задачи о нормальной нагрузке полупространства [7] в рассматриваемой постановке распределение нагрузки не представлено в виде произведения функции времени на функцию пространственных координат, метод, применяемый для получения рядов подобных построенным ранее [7], требует модификации. Применим к задаче (1.1) преобразование Лапласа по г и будем искать изображения потенциалов в виде
Ф*(х, у, г, = X дА "/*(х, у, -ОфГСг, s)
п=0дх
У* (х, у, г, 5) = 0, У* (х, у, г, 5) = X А у, в)рПа)*(г, в)
оо
п=0
У ** (х, у, г, в) = X ^А 7 *(х, у, в)рП3)*(г, в) п=0 ду
(1.2)
/ *(х, у, в) = Ц {(х, у, г)} = | / (х, у, г)е -"йг
да
0
Подставляя выражения (1.2) в задачу (1.1), получим краевые задачи для
ф"а)* (а = 1,2,3), причем для получения общего множителя Ап/*(х,у, в) в изображении второго (неоднородного) граничного условия необходимо подставить соотношение, получающееся из третьего граничного условия.
Для получения фПа)* (а = 1,2,3) в общем виде рассмотрим вспомогательную задачу
2 - Д2-5з,аРа* = 0, а = 1,2,3; Ра* = Р*(р2, к), % > 0
Д = к- + р2, агБ Щ = 0 при 5 > 0, у = 1,2 (1.3)
^д-Р!__V_р-р * +дР*
'1 - 2у д%2 1 - 2уР 1
дР+р2дР* = -Т> 2дР*^+Р* = 0
д%2 5г о' 2
где — символ Кронекера.
Можно показать подстановкой в равенство (1.3), что
ад
Ра*(р2, к) = Е (-1)" р2пфПа)*(г, к) п=0
Решение задачи (1.3) имеет вид
_Т0 га е—Д
20Д4 -р^Д Да-83,
Ра*(р2, к) = - ^ \ ф— (1.4)
2
Я2 = + р2, г1 = д1д2, г2 = Я2д1, г3 = 2ЯД - Я2 2С2
Раскладывая выражения (1.4) в ряды по р2, найдем
ф"а)*(г,к) = (а + 5з,а - 3)О ЕЕ (-1)"+титка("-}т 2 2т-к+1 %2п-*+а+2й1'а 0 т=0 к=0 У а к
(2т - к)! (а) _ 1 й" "тк --2т-к, -" ®а(Ц)
т!(т - к)!к!22т к п!йС," с=0
«1(0 = «(Оа/УТ+С , ю2(0 = ю(0(1 + 20 (1.5)
= _ 4
л/1 + с
®(0 =--—, У1 = С2, У2 = Уз = 1
(1 + 2О2 - 4О/у2 с1
Дифференцируя функции Р*(р2, %, к) по г и раскладывая их в ряды по р2, можно получить производные по г функций ф"а)* и, соответственно, производные по г изображений потенциалов упругих перемещений. Подставляя выражения (1.5) в соотношения (1.2) и обращая преобразование Лапласа, получаем окончательные выражения
2
для потенциалов. Производя аналогичные операции для производных потенциалов и подставляя полученные соотношения в выражения для напряжений через потенциалы, окончательно получаем разложения компонент тензора напряжений
^ = -2 ЕЕ с?-*+1Ыпкгк -д А "/2п-к+1(г - г/с2) -
п=0 к=0
ад п т
V"™4 V"™4 , л^п+т 2п-к+1 к - 2 ЕЕЕ (-1) иткс2 г
п=0 т=0 к=0
V а^п- т д
1 -V
2т-к+1 дх Л /2п-к+1(г - г/с1) +
2с2 ап-т О 2т-к+1 ^ 3
У1 дх
2 3 д3
Ап/2п-к+3(г - г/с{) —Ап/2п-к+3(г - гМ)
дх
а
ад п т
уу / л\п+т 2
-3- = -2 ЕЕЕ (-1) иткс2
Т п=0 т=0 к=0
п+т 2п-к+1 к
" ' г
V ^ т д
1 -V
2т-к+1 дхЛ -к+1(Г - г/с1) +
2 (1) 3 3
+ 27Хт д 2 Ап/2п-к+3(г - гМ) + с\а*1-т ——2 Ап/2п-к+3(г - г/с2) у1 дхду дхду
ад п т
77 / 1\п (2) 3 лп> тХ^ Х^ Х"^ / 1\п+т (2) 3 лп+1>
=-2 Е (-1) А Ь2п+1 - 2 ЕЕЕ (-1) ап-т^Г~ А йптк2
Т0 дх дх
п=0
п=0 т=0 к=0
х^ ^ V1 2п-к+1 к д .п ,■ , , ,
■^="¿1 ипкс2 г — А /2п-к+1(г " 7/с2) -
0 п=0 к=0
ду
(1.6)
ад п т
V"* / 1\п+т 2п-к+3 к 4 п
ЕЕ (-1) иткс2 г А п=0 т=0 к=0
^п-т-^— /2п-к+3(г - г/с2) +
дх ду
4а(1) д3
2т-к+1 ^ 2^
у1 дх ду
/2п-к+3(г - 7 М)
а
= / (х, у, г - г / с2) + ЕЕ V пкс22п-кV+1А п+^./2п-к+1(г - г / с2) +
Т п=0к=0
ад п т
+ 4Е (-1)па(1 ^ АХ+2 + 4Е Е Е (-1)п+тап-т ^ Ап+1йптк3
дх
п =0 т=0 к=0
дх
ад 2 ад п т 2
= 4 Е (-1)п аЧ)-^-АпЪ7я+2 + 4 Е ЕЕ (-1)п+тап^-^Ап+1й,
п=0
итк = '
дхду (2т - к)!
п=0 т=0 к=0
г
дхду
птк3
(т + 1)!(т - к)!к!2
2т-к+1
, /т(г) = |/т-1(т)йТ, /0(г) = /(х, у, г)
Ь] = с11(/](г - гМ) - /■ (г - z/c2)), йптк;- =иткс2 -+гк+1
/2п-к+](г - гМ)
2т-к+1
У1
~/2п-к+](г -—)
ад п
уг
0
Заметим, что /т(0 — оригиналы, они обращаются в нуль при отрицательных значениях аргумента
Аналогично рассмотренному ранее случаю [7] можно доказать, что ряды (1.6) сходятся при < 8, если функция распределения нагрузки удовлетворяет следующим условиям:
д кА п/(х, у, р|
/■"•ч к—I ^ I
дх ду
< С(2п + к + ¡у), к,I = 0,1,2,3, к > I
^2п+к у " ' ' ' ' '
где 5 — линейный размер — масштабирующий коэффициент /(х,у, (), Ь(t) — положительная функция, допускающая преобразование Лапласа, у — целое число, С — постоянная. Если величина Ап/(х, у, 0 растет с увеличением п как п!, то ряды (1.6) сходятся для любого t.
В случае А"/(х, у, () = 0, п > N ряды (1.6) обращаются в конечные суммы и определяют точное решение задачи в замкнутом виде.
Ряды (1.6), как и в случае нормальной нагрузки [7], являются асимптотическими при t ^ 0. В отличие от решения задачи о нормальной нагрузке на границе полупространства все напряжения при %/С\ ^ t < %/С2 имеют одинаковый порядок, а при t > %/с2 все напряжения кроме а х% сохраняют свой порядок малости — более высокий по отношению к ах%. На фронте поперечной волны все напряжения кроме ах% непрерывны, а значение скачка ах% равно Т0/(х,у, 0).
2. Распределенная нагрузка, действующая в различных направлениях. Решение задачи с граничными условиями
° %% = ° = 0, о у% = Т)/(у, х, 0
получается из решения (1.6) заменой х на у и у на х. В рассмотренной ранее задаче [7] для перехода от граничных условий
° %% = Т0/(х, у)Ь(), о = О у% = 0
к случаю нормальной нагрузки вида а %% = Т0 / (х, у, 0 в выражениях напряжений нужно
заменить произведения Ап(х, у)Ьт({) на А п/т(0.
Таким образом, можно получить решение динамической задачи для упругого полупространства с произвольной нагрузкой на его поверхности вида
Т = 1 Тх/х(х, у, о + ] Ту/у(х, у, t) + кТ/ (х, у, t)
где Д(х, у, t) — функции, имеющие частные производные любого порядка по х и у, которые вместе со всеми ее производными по х и у допускают преобразование Лапласа.
3. Оценка погрешности приближенного решения. Сохраняя в каждом из рядов (1.6) N +1 член получим приближенное решение задачи. Оценим погрешность такого решения, считая N > 2. Ограничимся при этом функциями /(х,у, (), для которых двумерное преобразование Фурье убывает экспоненциально по обеим переменным.
Применяя преобразование Лапласа по г, а затем двумерное преобразование Фурье по х и у к разложениям (1.6), учитывая производящие функции, использовавшиеся для получения разложений, оказывается возможным просуммировать ряды. В частности, после преобразований имеем
^ = Ц ^/и, и, в)С(р, г, в)}еах 10 2п
/ж и, в) = 1 Ц / *(х, у, в)е -'^йхйу
„*, , Я 2Я2(е - е ^) 2 ,22 Используя соотношения
-Я,г -гв/с■ , -гв/с, -Я, г-.
е ' = е ' - (е ' - е ' )
Я Я
= У
я4 -Р2Я1Я2 %
о 2 2 V 0 /п
2с2Р 2у - 2у
V Я1
Я9
\\
Я1 2с22 Я4 -р2Я1Я
2 У
можно привести 5*,(р, г, в) к виду суммы, оригинал каждого из слагаемых которой может быть представлен в виде сходящихся обвертывающих по отношению к своим суммам рядов [8] по р2 (р2 = X2 + ц2). Следовательно, при замене суммы каждого из таких рядов частичной суммой погрешность не превосходит первого отброшенного члена.
Оценивая обратные преобразования Фурье
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.