КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 5, с. 568-572
УДК 532.64
НЕСИММЕТРИЧНАЯ ЩЕЛЬ: ДАВЛЕНИЕ НА БОЛЬШЕЙ ОБКЛАДКЕ
© 2014 г. Е. Н. Бродская, А. И. Русанов
Менделеевский центр, Санкт-Петербургский государственный университет 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7 E-mail: elena_brodskaya@mail.ru Поступила в редакцию 11.02.2014 г.
Проведено сравнение локальных нормальных компонент тензора давления на стенках несимметричной плоскопараллельной щели между торцом цилиндра и плоской поверхностью. Показано, что нормальное давление на бесконечной поверхности отлично от нуля и вне щели. Поправка от конечного размера щели в локальное нормальное давление на этой поверхности внутри щели будет более заметной, чем на поверхности цилиндра.
DOI: 10.7868/S0023291214050048
На практике редко бывает, чтобы щель возникала между телами одинакового размера. Чаще всего размеры бывают разными, а для коллоидной науки характерна ситуация, когда щель образуют микрочастица и макроскопическая поверхность. Естественно, размер щели соответствует меньшему из взаимодействующих тел, и исследователя обычно интересует внутренность щели, а не область за ее пределами. Однако, как бы ни отличались обкладки щели по размеру, они всегда равноценны в том смысле, что полная сила, действующая на любую из них, одна и та же. Другое дело, как эта сила (давление) распределена по поверхности, и, если обкладки сильно отличаются, то и распределения сил для них будут разными и, безусловно, заслуживающими отдельного изучения. В статье [1] мы рассматривали пустую плоскопараллельную щель между торцом длинного кругового цилиндра и бесконечно протяженной плоской поверхностью. Детальный анализ тензора давления в такой системе показал, что его составляющие будут различными функциями на двух поверхностях. Однако, следуя обычной практике, мы сосредоточились на внутренности щели и назвали расклинивающим давлением нормальную компоненту тензора давления на поверхности цилиндра. Поэтому и основное внимание в [1] было уделено расчету нормального давления на торцевой поверхности цилиндра. Анализ же локальной зависимости сил на бесконечной поверхности твердого тела проведен не был, и в данном сообщении мы намерены восполнить этот пробел. Сразу заметим, что на большой обкладке давление будет отличным от нуля и вне щели, то есть за пределами торцевой поверхности цилиндра.
Исходным моментом для расчетов является выбор тензора давления. Как и в [1], возьмем тен-
зор давления Ирвинга-Кирквуда [2] и будем рассматривать случай дисперсионных межмолекулярных сил. Кратко повторим основные моменты в описании системы и метода расчета. Пусть тело 1 имеет форму цилиндра радиуса а, а ширина круговой плоскопараллельной щели между телами 1 и 2 равна Н (рис. 1). За исключением характера сил, тела 1 и 2 могут быть разной природы. Тензор давления в описываемой конечной щели будет зависеть не только от ее ширины, но и от радиуса щели а. Кроме того, локальный характер тензора давления будет проявляться в зависимости от расстояния г рассматриваемой точки до оси цилиндра, протяженность которого в расчетах будем принимать бесконечной. В отличие от рассмот-
1 Z 7
1 „ 1 1 a | к-н / H
Г2/
2 /
Рис. 1. Сечение щели между цилиндром и бесконечной твердой поверхностью: а — радиус цилиндра, Н — ширина щели, векторы Г1 и Г2 указывают положение взаимодействующих молекул относительно расчетной точки.
НЕСИММЕТРИЧНАЯ ЩЕЛЬ: ДАВЛЕНИЕ НА БОЛЬШЕЙ ОБКЛАДКЕ (а) (б)
Рис. 2. К расчету давления на бесконечной обкладке щели. С — центральная точка торца цилиндра; О — начало цилиндрической системы координат в расчетной точке; а — радиус цилиндра; г — расстояние расчетной точки от центральной точки; р,а и р2а — предельные значения цилиндрической координаты р; (а) — область при г < а ; (б) — область при г > а.
ренного в [1] случая, выберем расчетную точку на поверхности тела 2 и отнесем к ней начало декартовой системы координат, направив ось г по нормали к стенкам щели в сторону первого тела (рис. 1). Это, прежде всего, отразится на пределах интегрирования.
Опуская часть процедуры, подробно изложенной в [1], запишем выражение для тензора давления в исследуемой точке на поверхности тела 2
ю о
Р (г, Н , а) — —с,с2 Idz1 J dz2 Цйх1йу1 г1-1 х
Н -ю (А) Г (1)
— Z 2)2
3
Ф'
12
Zl
где с1 и с2 — однородные плотности обоих тел, г1 и г2 — коллинеарные радиусы-векторы взаимодействующих молекул (для г2 в записи используется только его составляющая г2), Ф12 — межмолекулярный потенциал, Ф12 — его производная (сила парного взаимодействия), (А) — область интегрирования по торцевой площади цилиндра, нижние индексы 1 и 2 соответствуют нумерации тел. Формула (1) справедлива для парного потенциала любого вида. В рассматриваемом случае дисперсионных сил производная парного потенциала дается выражением
ф'
г1^1 - Z2) . Zl .
_ 6 А12 Zl
(2)
г1 (Zl - z2)
где Ац — постоянная ван-дер-ваальсовского взаимодействия молекул сортов I иЦ. Подстановка (2) в (1) дает
= -6А12С
р (г, Н, а) =
о
dZ2
АI ^I А
X г,
(3)
н
После интегрирования по г2 формула (3) упрощается и принимает вид
р (г, Н, а) = - |dZl \\dx.dy,^. (4)
Н (А)
Для системы с аксиальной симметрией интегрирование по площади удобно выполнять в полярных координатах р и ф, записав (4) как
р (г, Н, а) = - 3А2СС2
Мр^Ф(Ъ. (5) (р + zl)
Н (А)
Как и в [1], мы проведем анализ только нормальной составляющей
(г, Н, а) = Рzz (г, Н, а) =
ЗА12С1С2 {„2
2
I ^Я;
Н (А)
( + Z12)
й pd ф.
(6)
Прежде всего, определим пределы интегрирования для р и ф.
(г, Н, а) =
ЗА12С1С2 2
Ф2
Р2а
I йф| Zl2dZl I
Ф1 Н
Р1»
2 , 2 V
Р + Zl)
-йр.
(7)
(А)
В выборе пределов интегрирования четко проявляется различие в выборе точки на бесконечной стенке тела 2, поскольку теперь точка может находиться и вне самой щели (рис. 2). При этом следует условиться, что ф отсчитывается от прямой линии, проходящей через расчетную точку О (являющуюся началом координат) и центральную точку щели С на твердой поверхности. Если расстояние точки до оси цилиндра г < а, граничные условия имеют следующий вид
УЗ
от
Р
р
XI
570
БРОДСКАЯ, РУСАНОВ
(a)
fi(x, У) 0.8
(г)
0 4 x 0.2
0.6 0.4 0.2
0
0.8 x = r/a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x = r/a
1.5 2.0 y = H/a
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
(е)
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
y = H/a
Рис. 3. Зависимости поправок в нормальное давление для бесконечной fi(x, y) (а) и конечной fu(x, y) (г) обкладок круглой щели. Сечения этих функций при различных значениях H/a: 1 — H/a = 0.1, 2 — 0.5, 3 — 1.0, 4 — 1.5, 5 — 2.0 (б, д); и при различных значениях r/a: 1 — r/a = 0.02, 2 — 0.4, 3 — 0.6, 4 — 0.8, 5 — 0.98 (в, е).
ф1 = 0, ф2 = 2п,
р1а = 0, р2a = -r cos ф + Л^
2 2.2 r sin ф.
При r > a пределы интегрирования будут рав-(8) ны, соответственно, (рис. 2б)
Заметим, что при г = а (когда расчетная точка лежит на краю цилиндра), функция р2а(ф) обращается в нуль в интервале -я/ 2 < ф < я/ 2, но отлична от нуля для доступных значений углов я/2 < ф < 3я/2.
ф1 = п-arcsina, ф2 = я + arcsina, r r
2 2 • 2 p1a = -r cos ф-V a - r sin ф,
P2a = -r cos ф +
a
\ja2 -
2 • 2 r sin ф.
x
НЕСИММЕТРИЧНАЯ ЩЕЛЬ: ДАВЛЕНИЕ НА БОЛЬШЕЙ ОБКЛАДКЕ
571
PN(r)/n 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
(а)
_ _ _ _
- 2 \ ч 1
■ ..3 \ \ - \ * \
" 5 _ .
*4
1 ■ ~ --
0
0.5 (б)
1.0
1.5 r/a
PN (, H, a) = -nAHCCL + ^ j(P2a, H) (10)
0
и при r > a
Ф2
PN (r, H, a) = - j dç[/ (Pla, H)- f (P2a, H)],(11)
где
2H
f (P, H) =
H
___+ ___L arrtp H
, 2 n2 2/2 Гг2\ о 3
(p2 + H2) P (p +H) 2P P P
(12)
Последующее интегрирование в формулах (10) и (11) после подстановки выражений для ра по полярному углу нужно проводить численно.
Очевидно, что первое слагаемое в правой части (10) представляет собой расклинивающее давление в бесконечной щели, а второе — поправочный член, учитывающей ее конечный размер. Вклад от области вне щели, даваемый формулой (11), необходимо учитывать при расчете полной силы взаимодействия двух тел путем интегрирования по всей поверхности тела 2. Вводя обозначения х = г/а и у = И/а, формулу (10) можно переписать как
^ (г,И,= (1 - А (х,у)), (13)
6H
где
fi(x, У) - ^ f dyf (p(x, ф), y) (14)
16n J
Рис. 4. Относительные локальные давления на нижней (а) и верхней (б) обкладках несимметричной щели в зависимости от положения на ней для следующих значений ширины щели: H/a = 0.1 (1), 0.5 (2), 1.0(3), 1.5 (4), 2.0 (5).
В формуле (7) легко выполнить интегрирование по р и по 1]_, что дает в результате при г < а
2п
и р(х, ф) = р2а/а. В выражении (13) второе слагаемое в скобках описывает зависимость нормального давления от положения в щели при г < а, то есть характеризует роль краевых эффектов на стенке. На рис. 3 эта функция и некоторые ее сечения показаны как для нижней, так и верхней обкладок щели. Видно, что, хотя характер локальной зависимости поправочного вклада для обеих обкладок сохраняет подобие, более сильное влияние на локальное поведение нормального давления конечные размеры щели оказывают на бесконечной обкладке (рис. За—3в). На верхней обкладке эффекты наиболее ярко проявляются при приближении к границе щели, оставаясь умеренными как в узких, так и достаточно широких щелях (рис. 3г—3е). На бесконечно протяженной поверхности область, где краевые эффекты сравнительно невелики, ограничена областями шириной И< 0.5а (кривые 1, 2 на рис. 3б). С увеличение ширины щели локальное изменение поправочного члена сглаживается, и при И> а его величина даже на оси симметрии превышает 50% (кривые 3—5 на рис. 3б).
Разность в поведении давления (рис. 4) на двух обкладках является следствием разных размеров областей при учете взаимодействующих точек. При рассмотрении локального давления на нижней обкладке область действия учитываемых сил взаимодействия будет меньше, чем для зеркально расположенной точки на верхней обкладке. Поэтому влияние краевых эффектов на давление в ней будет сильнее. Из рис. 4 видно, что вне щели абсолютное значение нормального давления оказывается значительно меньше, чем в самой щели -более чем на порядок. Разница в поведении давления в щели и вне ее, оставаясь заметной величи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.