№ 4
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2013
УДК 621.311
© 2013 г. БОГУСЛАВСКИЙ И.З., КОРОВКИН Н.В.1
НЕСИММЕТРИЧНЫЕ РЕЖИМЫ МНОГОФАЗНОЙ (тф > 3) МАШИНЫ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГАРМОНИК МДС ЯКОРЯ
В практике при создании мощных генераторов, частотно-регулируемых двигателей наряду с трехфазными обмотками якоря (тф = 3) применяются и многофазные обмотки (тф > 3). Для трехфазных машин (тф = 3) допустимая мощность в несимметричных режимах определяется по нормам, но аналогичные нормы для машин с большим числом фаз (тф > 3) отсутствуют. Чтобы установить эту мощность, необходимо предварительно определить по амплитуде и фазе основную (п = 1) и высшие (п > 1) гармоники МДС обмотки якоря. Предложен метод определения этих гармоник; он предусматривает разложение ступенчатой функции тока якоря в гармонический ряд (Фурье) в комплексной плоскости. Несимметричные токи в фазах представлены в виде временных комплексов. Метод справедлив при произвольном числе фаз обмотки (тф > 3) и, соответственно, числе ее фазных зон, равном 2тф. В частном случае (тф = 3, п = 1) результаты разложения этой функции тока в ряд Фурье совпадают с известными результатами, полученными методом симметричных составляющих.
Введение. Постановка задачи. В практике эксплуатации мощных многофазных машин возникает проблема определения их допустимой длительной мощности в несимметричных режимах. Для трехфазных синхронных машин общепромышленного назначения она определяется по нормам [1], исходя из условия, что три фазных тока по амплитуде должны быть не более номинального, а ток обратной последовательности должен составлять не более 10% номинального для двигателей и 14% — для генераторов мощностью до 125 МВА. Аналогичные требования для машин с большим числом фаз (Отф > 3) в нормах [1] отсутствуют.
1. Аналитическое решение задачи сводится к определению амплитуды и фазы пространственных гармоник результирующего поля в зазоре машины; одному ряду гармоник этого поля, включая и гармонику порядка n = 1, соответствуют компоненты поля в зазоре, которые создают вращающий момент машины, а второму ряду гармоник — компоненты поля, которые создают тормозящий момент. Для определения гармоник результирующего поля необходимо предварительно вычислить пространственные гармоники порядка n > 1 поля реакции якоря многофазной обмотки.
Заданными при решении предполагаются
1.1. Несимметричные токи фаз (число фаз Шф): IA, IB, Ic, ID ....
Здесь Ia, Ig, Ic, Ij, ... — временные комплексы токов:
iA = IJ - V a); iB = ij - V g); Ic = ICeJ((t - Vc ); ID = IDem - ),
IA, IB, IC, ID, ... — амплитуды этих несимметричных токов; yA, yB, yD — их фазовые углы; ю — круговая частота; t — время.
1Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (СПбГПУ).
1.2. Однослойная (S = 1) обмотка статора с числом пар полюсов p = 1 и числом фаз Шф > 3, числом фазных зон 2тф, пазов Q на полюс и фазу Q = 1. Отметим, что выбор обмотки с параметрами S = 1, p = 1, Q = 1 не ограничивает общность задачи и результатов, полученных при вычислении МДС. В выбранной обмотке число витков W = 1, а
обмоточный коэффициент KЩ6" = 1 для всех пространственных гармоник порядка n > 1. В реальных обмотках с целым числом Q число витков W = QS(p/a), а обмоточный коэффициент однозначно определяется числами Q, тф и n > 1; где a — число параллельных ветвей обмотки [2]. При дробном числе Q методы определения гармоник МДС обмотки аналогичны; число полюсов p должно быть равно числу полюсов исследуемой обмотки, так что период T разложения ее МДС в гармонический ряд должен быть равен T = пОраст, где Драст — диаметр расточки статора [2—5].
1.3. Соединение фаз обмотки — звезда. Конструкция обмотки с изолированной нейтралью; токи нулевой последовательности отсутствуют. Требуется определить пространственные гармоники МДС обмотки статора (согласно п.п. 1.1, 1.2, 1.3).
2. Обмотка с числом фаз Шф = 3.
2.1. Гармоника МДС порядка n = 1, определяемая методом симметричных составляющих. В соответствии с [2, 3] гармоника МДС порядка n = 1 для токов прямой последовательности имеет вид:
■2п -4п
Fпр = -1 Kf=lW[ÍA + he 3 + Ice 3 V~Ja, (1)
np
где I a , IB, ¡c — временные комплексы токов в фазах A, B, C; а — угловая координата
вдоль расточки статора: а = 2nx/T; 0 < x < T; Füf = F-^e]mt — временной комплекс МДС (здесь и далее амплитуды гармоник при МДС, создающих вращающий момент, обозначены со знаком "минус", а тормозной — со знаком "плюс"); ю — круговая частота; t — время; F-i = |F пр|.
Аналогично, для МДС токов обратной последовательности, создающих тормозной момент:
добр = X Kf^w
np
■ 2п ■ 4п
IA + i ве 3 + ice 3
eja. (2)
Поле, соответствующее МДС /¡°бр, индуктирует в контурах статора и ротора вихревые токи. Частота этих токов в активной стали статора равна частоте сети юстат = юсеть, в контурах ротора синхронных машин (демпферной обмотке и обмотке возбуждения, в активной стали ротора) она равна юротобр = 2юсеть, а в контурах ротора асинхронных машин (беличьей клетке, активной стали) при номинальной скорости вращения их частота равна юрот обр « 2юсеть. Потери от вихревых токов в этих контурах и их перегрев являются одной из причин ограничения мощности машины в несимметричных режимах.
2.2. Гармоники МДС (порядка \п\ > 1), определяемые с помощью ряда Фурье.
В зазоре машины при несимметрии токов в фазах появляются помимо полей первой пространственной гармоники (\п\ = 1), также и поля высших гармоник (\п\ > 1). Вихревые токи, индуктируемые полями этих пространственных гармоник, являются дополнительной причиной ограничения мощности машины. Частота этих токов в активной стали статора также равна частоте сети юстат = юсеть. В контурах ротора синхронных машин частота токов, индуктируемых полями, соответствующими МДС Лп„р равна юрот,пр = (п - ¡)юсеть, а МДС равна юрот,обр = (п + ¡)юсеть. Частоты вихревых
токов в контурах ротора асинхронных машин при номинальном скорости вращения близки к указанным значениям юротпр и юрот,обр. Поэтому учет высших гармоник (п > 1) также оказывается необходимым для определения мощности машины при значительной несимметрии токов в фазах.
Рассматриваемая в этом разделе трехфазная шестизонная обмотка имеет три вывода: А; В; С. Обозначим фазные зоны этой обмотки так:
зона А: 0 < а < п/3; зона С': п/3 < а < 2п/3;
зона В: 2п/3 < а < п ;зона А': п < а < 4п/3; (3)
зона С: 4п/3 < а < 5п/3; зона В': 5п/3 < а < 2п.
Примем, что ток сосредоточен в пределах каждой фазной зоны в одной точке (с координатой а); для зоны А: в точке а = 0; для зоны С': в точке а = п/3; для зоны В: в точке а = 2п/3; для зоны А': в точке а = п; для зоны С: в точке а = 4п/3; для зоны В': в точке а = 5п/3. Тогда три несимметричных тока, протекающие по этим шести фазным зонам, образуют в зазоре согласно закону полного тока [3] ступенчатую кривую F(a, 1А, 1в, 1с). Ее ординаты:
в зоне А: 1А; в зоне С':1А - 1С; в зоне В: 1А - 1С + 1в;
в зоне А': ¡а - 1с + ¡в - ¡а ; в зоне С: ¡а - 1с + ¡в - ¡а + ¡с; (4)
в зоне В': 1а - 1с + ¡в - ¡а + ¡с - ¡в = 0.
В последних выражениях сумма некоторых токов равна нулю; эти токи приведены лишь для того, чтобы показать последовательность применения закона полного тока [3].
Разложим ступенчатую функцию в гармонический ряд (Фурье) в комплексной плоскости с учетом выражений (3) и (4); представим гармонику Г(п, а, 1А, 1в, 1с) порядка п этого ряда в виде [4—6]:
¥{п, а, 1а, 1в, 1с) = C-.fi-па + Спе]па. (5)
+п
Здесь с_п = — | Г(а, 1А, 1в, 1с )е^пайа; (6)
-п
+п
с„ = 1 F(a, !а, 1в, 'с )е (6')
-п
Отметим следующую особенность выражений для (с_п и (2п. Согласно (3) и (4) гармонику Г(п, а, 1А, 1в, 1с) порядка п запишем так
Г(п, а, 1А, 1В, 1с) = с'_пеЛш - па - ^(-п)] + сп еЛш + па + ^(п)], (5')
так как выражения для с_п и ссп являются временными комплексами: с_п = с' пе^ш п); здесь у(п), п) — фазовые углы; с_п , с'п — модули временных комплексов:
с-п = |с-п| ; сп = .
Из выражения (5') следует, что для гармоники порядка п амплитуда С-п пропорциональна амплитуде МДС трехфазной обмотки, которой соответствует поле, создающее вращающий момент, а амплитуде С-п соответствует поле, создающее тормозной момент
Г_пр = ^х^е_па; Гобр = спх0„быЖе-1па. (7)
IА 1в 1с
.2п .4 п
п = 1 -е>2к ут -4-3---
-е -е
.4п .2 п
п = -1 -е>2к -4-3--- -2-3---
-е -е
.4п 2п
п = 5 -е>2к -4-3--- -2-3---
-е -е
4п
п = -5 -е>2п -2-3--- -4-3---
-е -е
4п
п = 7 -е>2п -2-3--- -4-3---
-е -е
.4п 2п
п = -7 -е>2к -4-3--- -2-3---
-е -е
.4п 2п
п = 11 -е>2к -4-3--- -2-3---
-е -е
.2п 4п
п = -11 -е>2к ут -4-3-п--
3 " 3
-е -е
Найдем общие выражения для комплексных амплитуд С-п и Сп; согласно (6) имеем
.с _ п
пп+1в
( 5пп
] 3 .
е 3 - е
•2лпЛ
+ 1г
Лпп\
( ;ПП
3 ' 3
е 3 - е 3
(8)
Для того, чтобы получить выражение для комплексной амплитуды Сп достаточно в выражении (8) изменить знак при номере гармоники п на противоположный (-п вместо +п).
В табл. 1 представлены коэффициенты при комплексах несимметричных фазных токов 1А, 1В, 1С для гармоник порядков, представляющих наибольший практический интерес п = 1, п = 5, п = 7 и п = 11 — для вычисления согласно (6) комплексной амплитуды С-п, а также гармоник п = -1, п = - 5, п = - 7, п = -11 — для вычисления комплексной амплитуды Сп согласно (6'). Они получены из выражения (8) путем подстановки в три слагаемые этого выражения соответствующих значений гармоник указанных выше порядков. Отметим, что согласно выражению (5'), гармоникам со знаком "плюс" соответствуют поля, создающие вращающий момент, а гармоникам со знаком "минус" — тормозной.
Анализ полученных результатов показывает (табл. 1), что их можно обобщить и представить выражения для комплексной амплитуды С-п в виде:
г -
,.2пп
Лпп\
1а + 1ве 3 + 1се
(9)
Выражение для комплексной амплитуды Сп - согласно (8). Из выражений для С-п и Сп следует: в частном случае (п = 1 и п = -1) они дают тот же результат (с точностью до знака), что и выражения (1), (2), полученные методом симметричных составляющих;
отметим, что знаки при комплексных амплитудах с_п и ссп имеют строгое физическое обоснование [2, 3].
В пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.