ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 5, с. 424-434
^ КИНЕТИКА
ПЛАЗМЫ
УДК 533.932
НЕСТАЦИОНАРНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИОННОГО ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ ДЛЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
© 2013 г. А. В. Брантов*,**, В. Ю. Быченков*,**, В. Розмус***
* Физический институт им. П.Н. Лебедева, Москва, Россия ** Всероссийский научно-исследовательский институт автоматики им. Н.Л. Духова, Москва, Россия *** Физический факультет, Университет Альберты, Альберта, Канада e-mail: brantov@sci.lebedev.ru Поступила в редакцию 27.07.2012 г. Окончательный вариант получен 21.11.2012 г.
На основе решения линеаризованного кинетического уравнения с интегралом столкновений в форме Ландау развита теория переноса заряженных частиц для малых потенциальных возмущений в полностью ионизованной плазме, свободная от каких-либо ограничений на характерные временные и пространственные масштабы возмущений. Вычислены ионные потоки, пригодные для произвольной частоты ион-ионных столкновений, позволяющие описывать пространственно-временной нелокальный перенос в плазме. Полученные коэффициенты ионного переноса использованы для вычисления парциального вклада ионов в продольную диэлектрическую проницаемость столк-новительной плазмы, которая оказывается пригодной для всего диапазона частот и волновых векторов.
DOI: 10.7868/S0367292113050016
1. ВВЕДЕНИЕ
Неклассический характер переноса заряженных частиц проявляется во многих областях физики плазмы. Зачастую, классический гидродинамический подход, развитый для достаточно плавных градиентов температуры по сравнению с длиной свободного пробега заряженных частиц, оказывается неприменимым. При этом, в первую очередь, речь идет об электронном переносе, на изучение которого и направлено большинство проведенных исследований. В то же время, кинетические эффекты могут существенно менять и ионные коэффициенты переноса, на что, например, указывалось в статье [1], где проводилось кинетическое моделирование разлета мишеней в экспериментах по лазерному термоядерному синтезу. Для малых возмущений нелокальные и нестационарные эффекты ионного переноса анализировались для описания энтропийной и ионно-звуковой мод [2—4], знание законов дисперсии и затухания которых необходимо для ряда приложений, связанных с диагностикой плазмы, количественным изучением вынужденного рассеяния Мандельштама—Бриллюэна (ВРМБ), филамен-тационной неустойчивости и ионно-звуковой неустойчивости обратного тока.
Недавно был предложен кинетический метод построения теории переноса, основанный на решении линеаризованного кинетического уравнения с интегралом столкновений в форме Ландау, реализованный сначала для электронной подси-
стемы [5—7] и использованный для описания поглощения коротких лазерных импульсов [8, 9], дисперсионных свойств электронной компоненты столкновительной плазмы [10], и релаксации электронной температуры [11]. Затем теория переноса была обобщена на случай электрон-ионной столкновительной плазмы [12], находящейся в состоянии близком к равновесному, т.е. имеющей одинаковую фоновую температуру (по отношению в возмущенным температурам электронов и ионов). В последнем случае, обе системы кинетических уравнений. для электронов и для ионов, оказываются связанными друг с другом не только через электрическое поле, которое можно рассматривать как независимый источник, но и через бинарные интегралы столкновений частиц. При этом функция распределения ионов оказывается зависящей от функции распределения электронов и наоборот. Без учета упрощающих факторов, связанных с малостью отношения масс электронов и ионов, решение кинетических уравнений "в лоб" приводит к достаточно сложным выражениям для электронных и ионных потоков [12]. Например, электронные потоки оказываются зависящими не только от электронных возмущений и средней скорости ионов (как в первоначально реализованном случае [5—7]), но и от возмущений ионной температуры и плотности. Вместе с тем, легко показать, что возникающие в [12] дополнительные коэффициенты переноса оказываются малыми по параметру отношения
характерной (тепловой) скорости электронов к характерной (тепловой) скорости ионов. Таким образом, в большинстве наиболее интересных случаев усложнения, вносимые вкладом ионов в подходе [12], оказываются неоправданными с точки зрения излишнего уточнения результатов и теория могла бы быть существенно упрощена, что, в свою очередь, важно для практического использования кинетического описания переноса в электрон-ионной плазме.
Как предлагается ниже, разлагая электрон-ионный и ион-электронный интегралы столкновений по величине отношения характерной скорости электронов к скорости ионов, можно показать, что системы возникающих кинетических уравнений для ионов и электронов становятся независимыми, что позволяет избежать усложнения как теории переноса, так и при изучении нелокального электростатического отклика плазмы [13]. При этом электронные потоки совпадают с вычисленными ранее [5—7]), а для нахождения ионных коэффициентов переноса можно предложить достаточно простую процедуру их вычисления, что составляет основное содержание данной работы. С использованием предложенной нами теории переноса можно также записать продольную диэлектрическую проницаемость электрон-ионной столкновительной плазмы через все коэффициенты переноса, установив роль последних в электростатическом отклике плазмы, а также роль диссипации и дисперсии плазменных волн.
2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ СО СТОЛКНОВЕНИЯМИ
Рассмотрим малые потенциальные возмущения однородной равновесной плазмы с максвел-ловскими функциями распределения электронов
и ионов /М (а = е, I), характеризуемыми плотностью па и температурой Та. Основное состояние будем считать квазистационарным, допуская лишь медленное изменение во времени температур частиц благодаря перераспределению энергии между электронами и ионами за счет столкновений. Тогда, линеаризованное кинетическое уравнение для пространственных фурье-компонент возмущений функций распределения частиц, 5/а = /а - /М имеет вид
(1 + л. V) 8/а+е». Е М
! та д\
Выполняя одностороннее преобразование Фурье во времени и разлагая функцию распределения Ь/а по полиномам Лежандра, Р1 (0), Ь/а =
1 /1 Р;(0), получаем бесконечную систему уравнений для (ю, к) фурье-компонент угловых гармоник функций распределения, / а,
-ю/а + —1— /а, +
1 21 -1
• I 1 + 1 га Л Л _ гга
ГI- +1 Саа СаЬ = ¿1
(2)
21 + 3"
Здесь оператор столкновений, С1аЬ (как для Ь = а, так и для Ь ф а), может быть представлен потенциалами Розенблюта в виде
С
аЬ
1(1 + 1)
Vab(v)
/а ( - з/о - 2/
+
-/ (12 + /
+ 3 дV
+
д—
т v д (/X) + 4пта V3//т +
тЬ д^ ' пет:
егпЬ
+ V
д/М 18/-1-1 - (1 +1)81/'
д—
21 +1
1 - та | +
тъ
д2/;
+
2(21 + 1) д—2 1(1 -О/
(3)
21 -
1 (81/ +8/1 _,)
+
v
+(+2 +8/-,))
д/М
+
а С(12 + 31 - 2)811 +1(1 -1)8/1
2(21 +1) дv
-
21 -1
(1 +1)(1 + 2)81/+ 2 + (12 -1- 4)8/-! -1Л 21 + 3
где V аЬ (V) = 4ппЬ(еаеЬ)2 Л аЬ /т^3 представляет собой зависящую от скорости частоту столкновений частиц сорта а с частицами сорта Ь, ЛаЬ — кулонов-ский логарифм, а потенциалы Розенблюта (/0) и
их возмущения (8/П) определены стандартным образом [14]
То ?Т1\ 4п
1п ,Ып) = -Т
Пьv
та д (1)
= СаъШа,/ъ\ + СаьУа, §УЬ\ + СааШа,/а\ + Саа1/а, ¥а\
где СаЬ и Саа — интегралы столкновений Ландау частиц с зарядом еа и массой та одного и разных сортов.
т 0-ят11 -
п; п \ —
П А п + 2 ]
]\/м ';/1 } ¿V
о
да
4п Г( ,Ь гЬ\ п + 2,
Щv ^
(4)
Источники в кинетическом уравнении (3) (правые части) возникают только для двух первых уг-
6
2
ловых гармоник функции распределения (£," = 0 при I > 2) и определяются начальными возмущениям функции распределения и (ю, к) фурье-компонентой электрического поля, а именно,
^0 = 8/( = 0), Б? = (еаЕ/Та )/.
Для электрон-ионного и ион-электронного интегралов столкновений будем использовать упрощенные выражения, полученные разложением по отношению характерной скорости ионов к скорости электронов [7, 15],
Ci __ l(l +1) Cei —
2
Veifl6 +SnVet —2- FeMUi,
vTe
CLS
teul1
-F,
M'
vTt nm^T
' + V e
(5)
се=V3//( V2 ±-12 - /
V 5v ту \дv дv '
где vTei = 72/9луеА^ге) и Ш е = 4пте Зуе((у)/\ /3 -сила трения между электронами и ионами. В результате, системы уравнений для ионов и для электронов становятся независимыми, а связь между электронами и ионами осуществляется, помимо электрического поля, через силу трения (входящую в уравнение для ионов) и среднюю скорость ионов (появляющуюся в системе уравнений для электронов). Таким образом, если рассматривать эти слагаемые в качестве дополнительных начальных источников, можно независимо решать две системы уравнений. Решение системы уравнений для электронов было описано в статьях [5, 7, 16]. Ниже остановимся на решении ионной системы уравнений. Сразу отметим, что
второе слагаемое в С е, пропорциональное vTei (Се), в выражении (5) мало и им можно пренебречь при вычислении коэффициентов ионного переноса. В то же время оно обеспечивает выполнение закона сохранения импульса.
Первые три момента кинетического уравнения (1) дают уравнения непрерывности, движения и баланса энергии для электронов (а = е) и ионов (а = /):
дЪпа dt
+ па tkua = 0,
(6)
частиц и продольная составляющая тензора напряжений
8nma
П„ =
4a =
2П Ta
j" dvv 4f2a
Jdvv31 * - 5
(7)
а
Выражения для электронных потоков, полученные в [5, 16, 17]
aT
qe =--e j - Kik8Te - neTee u,,
a
7* j a
в j
— ik8Te —-eneUj
(1 -P-)
enj + (p + —)kne8Te +
(8)
e 4P - (1 -в - ) о ?
---J- - mePrVe
neUi
позволяют замкнуть электронную систему уравнений переноса (6). Но для полного замыкания системы необходимо определить ионный тепловой поток и ионный тензор вязкости, что сделано в следующем параграфе.
3. РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИОНОВ
Будем искать решение кинетического уравнения в виде
/•I I .Zen tE + te ç» i =V-' ^ 81 о
knT,
8nt(0) ZenE + Ж t —— + ю-t--
kn tT
N, + 3 8T(0) t1 w v n + vT} fM,
(9)
где независимые базисные функции у 1 (А = Т) удовлетворяют системам уравнений, отличающихся только различными источниками в правой части:
a , •; l a i + tkv 2Y~ ¥ i -1 +
, -, l +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.