научная статья по теме НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 4, 2014

НАДЕЖНОСТЬ, ПРОЧНОСТЬ, ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МАШИН

И КОНСТРУКЦИЙ

УДК 539.3

© 2014 г. Мамай В.И.

НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СФЕРИЧЕСКОИ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ

НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва

Исследуется несущая способность нагруженных внешним давлением сферических оболочек с круговыми отверстиями. Для решения задачи используется численный вариант теоретико-экспериментального метода. Вычисления проводили с помощью конечно-элементного комплекса ЛК-8У8/Ь8-ВУМЛ 11.0. Предложены полуаналитические формулы для вычисления критических нагрузок. Изучено влияние размеров кругового отверстия на несущую способность изучаемых оболочек.

Одной из актуальных проблем современного машиностроения является достоверная оценка величин критических нагрузок, при которых происходит потеря устойчивости тонкостенных сжатых оболочечных конструкций. Эта задача неоднократно изучалась теоретически и экспериментально. Большая часть этих работ посвящена тонкостенным оболочкам канонической формы, в том числе и сферическим оболочкам. Подробные сведения об этих исследованиях и полученных величинах критических нагрузок тонкостенных оболочек опубликованы в [1, 2]. Приведены сводные графики зависимости величины критической нагрузки от параметра тонкостенности, на которых нанесены результаты известных теоретических и экспериментальных исследований. Из этих графиков следует, что экспериментальные значения величин критических нагрузок составляют 0,2—0,6 от теоретических. Таким образом, можно утверждать, что задача определения критических нагрузок сжатых тонкостенных оболочек канонической формы до сих пор полностью не решена, а процесс деформирования этих оболочек в процессе потери устойчивости мало изучен. На практике для оценки величин критических нагрузок тонкостенных оболочек обычно используется следующий полуэмпирический подход. В известные формулы линейных решений задачи устойчивости вводятся поправочные коэффициенты, учитывающие влияние начальных неправильностей, упругопластическое деформирование и несовершенства граничных условий.

Задача исследования потери устойчивости и несущей способности сжатых тонкостенных оболочек существенно усложняется, если оболочка имеет несовершенства типа локальных отверстий [3, 4]. В этом случае эффективен инженерный прием реше-

ния, который состоит в построении на основе теоретических и экспериментальных результатов полуаналитического решения. При этом необходимо иметь приближенное решение задачи, качественно описывающее изучаемый процесс, и реальный или модельный эксперимент. В литературе такой подход называют теоретико-экспериментальным методом [5—7].

В настоящей статье исследуется несущая способность нагруженных внешним давлением тонкостенных сферических оболочек с круговым отверстием в вершине и на боковой поверхности. Для решения задачи используется численный вариант теоретико-экспериментального метода, когда эксперимент заменяется численным решением задачи. Вычисления проводили с помощью конечно-элементного комплекса ЛК БУБ/ЬБ-ВУМЛ 11.0. Предложены полуаналитические формулы для вычисления критических нагрузок. Изучено влияние размеров кругового выреза на несущую способность оболочки.

Обсудим предлагаемый алгоритм на примере задачи устойчивости нагруженной внешним давлением сферической оболочки с отверстием в боковой части, которая показана на рис. 1.

Геометрия произвольной незамкнутой сферической оболочки характеризуется следующими двумя параметрами [2]: углом полураствора оболочки 9 и параметром геометрии ц, равным ц = [12(1 — у2)]1/4л/а2/Як , где Я — радиус кривизны оболочки, к — ее толщина, а — радиус основания оболочки, V — коэффициент Пуассона.

Численный вариант теоретико-экспериментального метода состоит в следующем.

1. Выбирается структурная формула для вычисления критической нагрузки сферической оболочки с отверстием

Ркр = Р0/[ 1 + /($)] , (1)

где Р0 — критическая нагрузка сферической оболочки без отверстия (при $ = 0); & = р2/(Як) — параметр отверстия (р — радиус отверстия); /($) — неизвестная функция влияния отверстия; к > 0, 0 < р < Я, 0 < $ < Я/к.

2. Одним и тем же методом вычисляются критические нагрузки Р0 для оболочки без отверстия и для оболочки с круговым отверстием Ркр для п значений параметра $. В результате вычислений известно значение Р0 и таблица чисел

{Ркр.,$,};= 1, о<$ 1 <$2<...<$„<я/к.

3. По известным Р0 и { Ркр , Э(-}"_ : вычисляются

{^Э, }*= ! и ! (2)

по следующим формулам:

ДЭ) = Ркр/Ро и /(Э) = [ 1 -ДЭ)]ДО). (3)

4. Построенные по значениям (2) кривые /(Э) и Г(Э) показаны на рис. 2. Здесь по оси абсцисс отложены значения параметра Э для 0 < р < Я, а по оси ординат — значения Г и / Из рис. 2 видно, что Г(Э) при 0 < Э < Я/И есть положительная и убывающая функция (0 < Г(Э) < 1), а /(Э) — положительная возрастающая от нуля функция. Обе функции Г(Э) и /(Э) непрерывны вместе со своими двумя первыми производными и легко могут быть аппроксимированы аналитическими функциями.

5. Выбирается структурная формула для вычисления критической нагрузки Р0 оболочки без отверстия. В данном случае это формула Цолли—Лейбензона с поправочным коэффициентом

Ро = с 2Е (2 • (4)

где Е — модуль Юнга, а поправочный коэффициент с приводит в соответствие вычисленное по (4) значение Р0 полученному численным методом значению критической нагрузки.

6. Наконец предлагается следующая полуаналитическая формула для вычисления критической нагрузки Ркр сферических оболочек с отверстием:

Ркр = ПС -7== (Э V), (5)

л/з (1 - V2) Л

где п — поправочный коэффициент, а функция Г(Э), показанная на рис. 2, задается табличными значениями (2).

Проблема назначения поправочного коэффициента п в полуаналитической формуле (5) остается открытой и может быть решена с учетом технологии изготовления изделия и назначенных коэффициентах запаса в соответствии с принятыми нормами прочности так, как это описано, например, в [8], т.е. во всех случаях необходим реальный эксперимент или практическая оценка величины критической нагрузки для сферической оболочки с круговым отверстием.

Формула (5) дает качественную оценку величины критической нагрузки сжатой сферической оболочки в зависимости от размера отверстия.

В принятом модифицированном варианте теоретико-экспериментального метода реальный эксперимент заменяется виртуальным численным экспериментом. Так, для решения задачи определения критической нагрузки и разрушения нагруженной внешним давлением сферической оболочки с круговым вырезом используется конечно-элементный комплекс А^Ув/Ьв-БУКА 11.0.

В качестве конечного элемента принят гексагональный 8-узловой элемент вОЬГО45 и, для контроля, 20-узловой гексагональный элемент вОЬГО186 с промежуточными узлами. Конечно-элементная сетка показана на рис. 1. По толщине оболочки расположены три конечных элемента, что оказывается достаточным для оболочек с И < Я/100. Изучаемая сферическая оболочка с круговым отверстием изготовлена из алюминиевого сплава АМГ-6, для которого принята билинейная модель материала с кинематическим упрочнением: модуль Юнга Е = 7,2 • 104 МПа, коэффициент Пуассо-

на v = 0,3, предел текучести = 160 МПа, модуль кинематического упрочнения Ек = 7,6 МПа.

Геометрически и физически нелинейная задача деформирования сферической оболочки с круговым вырезом решается с использованием модифицированного метода Ньютона—Рафсона. Число итераций не превышает десяти. При вычислениях использовался компьютер с 64 разрядной сеткой. Система алгебраических уравнений рассматриваемой задачи решается для сравнения двумя методами: сопряженным градиентным методом с начальными условиями без применения виртуальной памяти (вызов из библиотеки AN-SYS командой EQSLV, PCG, 1e-6, 0) и с помощью специального метода решения систем алгебраических уравнений с разреженной матрицей (команда EQSLV, SPARSE, 0, 0). Оба метода дают практически совпадающие результаты.

В качестве тестового примера для оценки качества конечно-элементного представления задачи и точности принятой методики вычислений используется нагруженная внешним давлением сферическая оболочка без кругового выреза. Критическое давление определяется посредством пошагового увеличения значения внешнего давления на оболочку до тех пор, пока не будет достигнута особая точка решения типа предельной точки или точки бифуркации. Давление, соответствующее такой точке, считается критическим.

Аналогично была решена серия задач для нагруженной внешним давлением сферической оболочки с боковым отверстием разного радиуса. Для них получена таблица (2), по результатам которой построены кривые, показанные на рис. 2.

Представленный численный вариант теоретико-экспериментального метода не является альтернативой известного теоретико-экспериментального подхода для расчета тонкостенных конструкций на устойчивость и не исключает необходимости проведения экспериментальных исследований. Однако он имеет перед ним явное достоинство, которое заключается в возможности существенного уменьшения объема этих экспериментальных исследований.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука. Физматгиз, 1978. 360 с.

2. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. М.: Изд-во МГУ, 1983. 114 с.

3. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981. 191 с.

4. Сухинин С.Н. Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек. М.: Физматлит, 2010. 248 с.

5. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. VI—VII. Казань: Изд-во КГУ, 1970. С. 391-433.

6. Коноплев Ю.Г. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. VI-VII. Казань: Изд-во КГУ, 1970. С. 500-503.

7. Мамай В.И. Численный вариант теоретико-экспериментального метода // Избранные проблемы прочности современного машиностроения. М.: Физматлит, 2008. С. 190-193.

8. Алексан

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком