рованной системы "Мираж" и датчика угловой скорости штатной системы управления движением. Ниже описываются результаты, полученные при обработке показаний магнитометров. Основное внимание уделено определению фактического вращательного движения. Раздел 2 носит вспомогательный характер и посвящен реконструкции орбитального движения.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ФОТОНА М-2
Построение аппроксимации орбитального движения Фотона М-2 необходимо по нескольким причинам. Во-первых, эта аппроксимация существенно используется при определении вращательного движения спутника по данным измерений напряженности магнитного поля Земли. Во-вторых, она необходима для расчета векторов R и v в формуле микроускорения. В-третьих, последний член этой формулы, описывающий аэродинамическую составляющую микроускорения, содержит баллистический коэффициент спутника с. Определение баллистического коэффициента можно выполнить при построении аппроксимации орбитального движения на достаточно продолжительных интервалах времени. В этой задаче баллистический коэффициент служит одним из параметров согласования. Поскольку выражение cpa|v|v входит в обычно используемые уравнения движения центра масс спутника, аэродинамическую составляющую микроускорения можно найти из обработки траек-торных измерений.
Измерения орбиты Фотона М-2, проводившиеся российскими средствами, были редкими - один раз в несколько суток, поэтому ниже в качестве таких измерений использованы значения фазового вектора этого спутника, вычисленные по американским двухстрочным элементам (two line elements). Эти элементы определялись несколько раз в сутки, их значения доступны через Интернет. Задача состояла в построении решений уравнений движения спутника, аппроксимирующих указанные измерения на достаточно продолжительных интервалах времени и оценке баллистического коэффициента с.
Математическая модель орбитального движения спутника представляла собой дифференциальные уравнения движения его центра масс, записанные в гринвичской системе координат CY1Y2Y3. Начало этой системы находится в центре масс Земли, плоскость CY1Y2 совпадает с плоскостью экватора, ось CY1 пересекает гринвичский меридиан, ось CY3 направлена в Северный полюс. Неизвестные функции уравнений движения объединим
в векторы R = (Y1, Y2, Y3) и v = (7Ь Y2, Y3), где Y1, Y2, Y3 - гринвичские координаты спутника. В этих уравнениях учитывались нецентральность грави-
тационного поля Земли и сопротивление атмосферы. В разложении гравитационного потенциала Земли в ряд по шаровым функциям сохранялись члены до порядка (16, 16) включительно, плотность атмосферы рассчитывалась согласно модели [6]. Эта модель содержит три параметра: среднесуточное значение F индекса солнечной активности F10.7, среднее взвешенное значение индекса F10.7 за предшествующие 81 сутки и среднесуточный индекс геомагнитной возмущенности Кр. Значения этих параметров относятся к суткам, для которых вычисляется искомая плотность. В расчетах, не требующих повышенной точности, параметры F, F81 и Кр можно считать постоянными, равными средним значениям соответствующих индексов на рассматриваемом интервале времени (вместо индекса Кр усредняется связанный с ним функциональной зависимостью индекс Ар). Этот подход принят в данной работе.
Аппроксимации данных измерений. Посредством численного интегрирования уравнений движения спутника можно найти его фазовый вектор (Я, у) в функции времени. Решение уравнений движения с начальными условиями Н(*0) = Я0, у(*0) = у0, вычисленное при значении баллистического коэффициента с, обозначим = ф(*, а), у(*) = у(*, а), где а = (Не, У0, с).
Как уже говорилось, исходной информацией для определения движения спутника служили двухстрочные элементы. По значениям этих элементов, относящимся к моментам времени ¿к (к = 1, 2, ..., N ¿1 < *2 < • • • < в гринвичской системе координат на те же моменты рассчитывались радиусы-векторы спутника Як и его скорости ук относительно этой системы. Задача отыскания решения уравнений движения, аппроксимирующего (сглаживающего) точки (к Нк, ук) решалась как задача обработки данных измерений. Предполагалось, что ошибки в измерениях координат и компонент скорости независимы и имеют нормальные распределения с нулевыми средними значениями. Стандартные отклонения ошибок координат (компонент скорости) одинаковы, но неизвестны. Стандартные отклонения ошибок координат обозначим а, компонент скорости - а^, где w = 1000 с. Отыскание функций ф(*, а), у(*, а), аппроксимирующих эти измерения, выполнялось методом наименьших квадратов и состояло в минимизации выражения
Ф( а) =
N
'V™1 2 2 2
= Нк - ^ (¿к, а)] + V [ у к - У( *к, а)] }
к = 1
методом Гаусса-Ньютона. Оценка а* = argminФ( а)
при сделанных допущениях имеет приблизительно нормальное распределение. Среднее значение этой оценки равно истинному значению а, ее ковариа-
ционная матрица и оценка а* дисперсии а2 ошибок в измерениях координат находились по формулам
К
тг, ] = 1
2 п-1
= а*В ,
а2 = Ф( а*) а=
6 N-7'
Здесь В - вычисленная в точке а* матрица системы нормальных уравнений, возникающей при минимизации Ф методом Гаусса-Ньютона, 2В ~ Э2Ф(а*)/Эа2. Точность построенной аппроксимации будем характеризовать стандартным отклонением ошибок измерений а*, стандартными отклонениями а1 =
= „¡Ки компонент вектора а* и покомпонентными средними квадратическими значениями рядов остатков = Кк - ф(к а*), 5Ук = ук - у(к а*) + ыЕ х (к = 1, 2, ..., АО, где юЕ - угловая скорость вращения Земли. Величины 5Ук представляют собой ошибки аппроксимации абсолютной геоцентрической скорости спутника.
Остатки 5Як, 5Ук рассчитываются в гринвичской системе координат, и чтобы соотнести их с орбитой, будем рассматривать их компоненты в специальных локальных базисах. Пусть К(г) и У(0 = у(0 + юЕ х К(0 - геоцентрические радиус-вектор спутника и его абсолютная скорость в аппроксимирующем решении. Введем ортонормиро-ванные векторы
е1( о =
_ У( г)
|У( г)|' ез (г) = е1 (г)х е2( г)
е2 (г) = К (г )х У (г)
(г )х У (г Г
_ к( О
г )1
и каждую пару 5Як, 5Ук будем рассматривать в ее собственном базисе с ортами е1(гк), е2(гк), е3(гк). Последовательности ег(гк) • 5Як и ег(гк) • 5Ук (к = 1, 2, ..., N) будем характеризовать их средними квадратическими значениями Бт и соответственно (г = 1, 2, 3).
Используемый способ сглаживания точек (гк, Кь у к) и оценки качества сглаживания относится к идеализированной модели ошибок в значениях Як и ук. Однако среди этих величин могут находиться грубые выбросы. Чтобы исключить выбросы из процедуры сглаживания, проводилась отбраковка подозрительных точек. Она выполнялась следующим образом. Для сглаживающего решения, построенного по всем точкам, вычислялись модули остатков |Кк| и их медиана т. Считались подозрительными и отбрасывались те точки (гк, Кь ук), для которых имело место неравенство |Кк| > 3т. При сделанных выше предположениях относительно ошибок измерений т ~ 1.54а, и вероятность появления остатка с указанным значением модуля - менее 0.001 (модули остатков имеют распределение Максвелла с параметром а). Затем процедура
сглаживания повторялась для модифицированного набора точек. Полученная при этом оценка а* считалась окончательной.
При минимизации Ф(а) варьировался не баллистический коэффициент с, а безразмерное отношение кс = с/с0, где с0 = 0.001632 м2 /кг - фиксированное номинальное значение этого коэффициента. Ниже всюду под а7 понимается стандартное отклонение параметра кс.
Результаты построения аппроксимации. Полет Фотона М-2 проходил 31.V-16.VI.2005, причем в период с 14.50 иТС 31^ до 15.30 иТС 15М на спутник не действовали никакие управляющие силы и моменты. По двухстрочным элементам, относящимся к отрезку неуправляемого движения Фотона М-2, была рассчитана последовательность значений фазового вектора этого спутника, которая содержала 50 членов. Из этой последовательности путем отбрасывания нескольких крайних членов были выделены 8 пересекающихся подпоследовательностей, обозначенных как интервалы 1, 2, ..., 8. Каждый из этих коротких интервалов охватывает отрезок времени длиной около 3 сут. Характеристики выбранных для сглаживания последовательностей данных (интервалов) приведены в табл. 1. Здесь N- начальное число сглаживаемых точек на данном интервале, г1 и tN моменты времени начальной и конечной точки по шкале времени иТС. В скобках рядом со значением N указано число точек, признанных подозрительными и отброшенными на заключительном этапе сглаживания. Все отброшенные точки лежали внутри интервалов. В таблице также указаны использованные на данном интервале значения параметров ¥, и Ар. Во всех случаях начальные условия решений задавались в момент г0 = г1. Характеристики точности найденных решений и оценки параметра кс приведены в табл. 2, 3.
На интервалы 7, 8 пришлась сильная магнитная буря (12.06 было зарегистрировано ар = 154), которая сопровождалась резким, хотя и незначительным изменением индекса ^107. Поэтому точность аппроксимации данных на этих интервалах оказалась хуже, чем на остальных.
Величины и «^з в табл. 3 испытывают более значительные вариации, нежели величины «Д2, и «п,«у2. Именно за счет увеличения и происходит увеличение а* и ухудшение точности аппроксимации данных измерений. Напомним, величина
характеризует ошибки аппроксимации положения спутника вдоль орбиты, величина характеризуют ошибки аппроксимации его абсолютной скорости в направлении радиуса-вектора. По-видимому, реальные ошибки сглаживаемых значений координат и скоростей имеют стандартные отклонения, близкие значениям «Д2, и
Точность построенной аппроксимации можно оценить, сравнив ее с данными радиоконтроля ор-
7
Таблица 1. Интервалы аппроксимации орбитального движения Фотона М-2
Интервал ¿1 Ы Ы - ¿1, 103 с N F F81
Дата 2005 г. иТС, Дата 2005 г. иТС, И.ш^
1 31.У 14.51.39 3.У1 16.39.24 265.7 14 94.6 93.0 8.4
2 2.У1 00.15.00 5.У1 07.58.36 287.0 12 94.6 92.8 7.2
3 4.У1 02.11.25 7.У1 10.50.18 290.3 10 95.2 92.6 14.6
4 6.У1 03.25.51 9.У1 06.25.41 270.0 10(1) 102.8 92.7 10.9
5 8.У1 03.27.00 11.У1 21.11.36 323.1 11 111.7 93.3 4.1
6 10
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.