М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2009
УДК 532.529
© 2009 г. Е. С. АСМОЛОВ, С. В. МАНУЙЛОВИЧ
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННОЙ СУСПЕНЗИИ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ
Теоретически исследована устойчивость течения разреженной суспензии в плоском горизонтальном канале. Показано, что механизм воздействия осаждающихся частиц на характеристики устойчивости течения эквивалентен эффекту распределенной стратификации течения и обусловлен вертикальной неоднородностью объемной силы, вызванной избыточным весом осаждающихся частиц. Выявлена сильная зависимость скорости роста возмущений от положения границы раздела суспензии и чистой жидкости.
Ключевые слова: плоское течение Пуазейля, осаждение частиц, неустойчивость.
Исследование горизонтальных течений суспензий, переносящих осаждающиеся частицы, представляет значительный интерес, поскольку такие течения встречаются во многих природных явлениях и практических приложениях (например, перенос песка в реках, РБР-технологии разделения частиц по размеру и плотности [1, 2] и т.п.). Характер процессов переноса существенно зависит от устойчивости течения, так как преждевременная турбулизация потока может замедлить осаждение частиц и нарушить процесс их сортировки. Многочисленные исследования показали, что характеристики устойчивости запыленных течений должны рассчитываться с учетом влияния динамики твердой фазы.
Одной из возможных причин изменения характеристик устойчивости течений плотных суспензий может быть изменение эффективной плотности и вязкости среды. Неоднородность вязкости приводит к неустойчивости границы раздела суспензии и чистой жидкости [3—5] аналогичной неустойчивости течения двухслойной жидкости [6]. При плавном изменении эффективной вязкости в придонном слое суспензии мелких броуновских частиц такой тип неустойчивости также приводит к сильной дестабилизации горизонтального течения Пуазейля [7].
Другим фактором, влияющим на устойчивость, является инерция переносимых частиц. Воздейстие инерции частиц на характеристики устойчивости сдвиговых течений существенно, когда плотность материала частиц значительно превышает плотность несущей фазы (запыленный газ). В этом случае демпфирование волн неустойчивости обусловлено нестационарным межфазным обменом импульсом — взаимным трением газа и пылевой фазы, причем частицы стабилизируют течение даже при малом их массовом содержании [8—10].
Наконец, для течений, в которых существенна роль силы тяжести, обмен импульсом может происходить вследствие неоднородности концентрации осаждающихся частиц. Наиболее простой механизм неустойчивости такого типа связан с инверсной нагруженностью течения со стороны осаждающейся фазы [5, 11] (неустойчивость Рэлея—Тейлора).
В данной работе исследуется воздействие осаждения разреженной суспензии на устойчивость плоского течения Пуазейля. Частицы предполагаются достаточно мелкими с тем, чтобы осаждение суспензии считалось медленным по сравнению со скоростью течения, но достаточно крупными для пренебрежения эффектом броуновской
диффузии. В этом случае единственным фактором, приводящим к изменению характеристик устойчивости, является вертикальная неоднородность объемных сил, вызванных гравитацией. Основное внимание уделено изучению влияния параметров границы суспензии (положения и толщины переходного слоя) на характеристики устойчивости течения.
1. Выбор характерных масштабов параметров суспензии. Цель работы — изучение влияния медленно осаждающейся разреженной суспензии мелких частиц на характеристики устойчивости вязких течений. В качестве основного течения будем использовать установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными плоскими стенками под действием постоянного продольного градиента давления (плоское течение Пуазейля). Плотность жидкости обозначим р°, максимальную скорость потока U°, полуширину канала l°, коэффициент вязкости (значком градуса помечены размерные величины). Как и в классической постановке задачи устойчивости, число Рейнольдса будем предполагать конечным
о °IJ°l °
R = р U = 0(1)
и °
ц (1.1)
Будем считать, что течение содержит мелкодисперсную примесь из материала плотности
р° >р°, р° / р° = 0(1)
осаждающуюся под действием силы тяжести, направленной перпендикулярно стенкам (ускорение свободного падения g°). Будем считать, что частицы имеют сферическую форму. Обозначим характерный радиус частиц a°, их средний объем и°, максимальную числовую концентрацию N°. Будем предполагать, что среднее расстояние между соседними частицами мало по сравнению с шириной канала, но велико по сравнению с радиусом частиц:
a° « N°(-1/3) « l° (1.3)
Предположения (1.2), (1.3) позволяют пренебрегать относительным объемным содержанием частиц ф = u°N° ^ 1 и их массовой концентрацией р° u°N° ^ р°, поэтому
при исследовании движения суспензии можно не учитывать изменение эффективной вязкости и влияние инерции мелкодисперсной фазы.
Для учета роли силы тяжести необходимо потребовать выполнения условия
G = ^ -Р°)U°f = 0(1)
P°U°2 ( ) (1.4)
Гравитационный параметр (1.4) имеет смысл обратного числа Фруда.
Будем предполагать, что характерная скорость осаждения частиц мала по сравнению со скоростью потока жидкости V° ^ U°. В этом случае в силу (1.1) число Рей-нольдса, вычисленное по скорости осаждения и размеру частиц, мало
p°V°a° / ^ 1, и добавочная сила, действующая на осаждающуюся частицу со стороны жидкости, описывается законом Стокса. С учетом (1.1), (1.4) имеем
Vо = (Рр -РР) u°g° = RG U° ^ U° s блц°а° бп a°N°lо2
у
а
У
б
1
1 F
1
Фиг. 1. Схема течения: а — система координат; б — распределение массовой концентрации частиц (2.3) (у0 = 0.4, Ь = 0.1)
откуда следует дополнительное неравенство, налагаемое на концентрацию и размер частиц:
Заметим, что в силу (1.1)—(1.3) характерное время релаксации относительного движения жидкой и мелкодисперсной фаз мало по сравнению с характерным гидродинамическим временем
поэтому при описании нестационарных возмущений течения суспензии можно считать, что движение жидкой и мелкодисперсной фаз характеризуется одним и тем же полем возмущения скорости.
В дальнейшем все величины для удобства будем считать безразмерными, используя в качестве основных единиц р°, Ц°, Р. Исключение сделаем для весовой концентрации частиц, которую будем нормировать на ее максимальное значение р° . В безразмерной форме неравенства (1.3), (1.5) и условие (1.4) приобретают вид
а ^ ф1/3 ^ 1, а2 ^ ф, g ~ 1/ ф .
2. Математическая формулировка задачи устойчивости. Будем изучать малые двумерные возмущения течения суспензии в плоском канале. Введем декартову прямоугольную систему координат с началом в некоторой точке O в центре канала, горизонтальной осью x вдоль потока и вертикальной осью у, направленной против силы тяжести (фиг. 1, а). Из-за относительной малости объемного и массового содержания дисперсной фазы профиль скорости основного течения не отличается от профиля течения Пуазейля в отсутствие осаждающейся фазы: Щу) = 1 — у2.
Опишем в главном приближении движение мелкодисперсной фазы. Будем считать, что в начальный момент времени t частицы занимали весь объем канала и были распределены равномерно. Под действием силы тяжести частицы начинают оседать; скорость осаждения быстро выходит на предельное значение К!. Характерное время осаждения велико по сравнению с характерным гидродинамическим временем, поэтому при исследовании устойчивости течения суспензии будем использовать квазистационарное распределение весовой концентрации мелкодисперсной фазы. Это распределение однородно по продольной переменной и характеризуется функцией F(y), мед-
а°N° 1°2 » 1
(1.5)
(1.6)
ленно меняющейся со временем. Будем предполагать, что достигшие дна частицы не оказывают влияния на динамику течения суспензии.
Типичный вид функции Г показан на фиг. 1, б. В верхней части канала течет практически чистая жидкость (Г = 0), в нижней — суспензия с почти постоянной весовой концентрацией осаждающихся частиц (Г = 1). Граница между чистой жидкостью и суспензией "размыта", поскольку частицы, имеющие различные размеры, оседают с различными скоростями.
Таким образом, основное течение суспензии характеризуется профилем горизонтальной скорости и, одинаковым в силу (1.6) для жидкости и частиц, квазистационарным распределением весовой концентрации мелкодисперсной фазы Г, а также числом Рейнольдса Я и гравитационным параметром О. При исследовании устойчивости такого течения будем пренебрегать скоростью осаждения частиц V ^ 1 аналогично тому, как пренебрегается вертикальной компонентой скорости основного течения в классической теории устойчивости пограничного слоя.
Введем обозначения вд(?, х, у) для возмущений компонент вектора скорости, давления жидкости и весового содержания дисперсной фазы (б ^ 1, q = их, иу р,/). Напомним, что на временах порядка характерного периода неустойчивых колебаний частицы можно считать "вмороженными" в жидкость, поэтому функции их, иу одновременно характеризуют возмущения скорости жидкой и твердой фаз.
Выпишем уравнения, описывающие в линейном приближении законы сохранения массы каждой из фаз. В силу ф ^ 1 возмущенное движение жидкой фазы удовлетворяет обычному уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости:
дЦх + = о (2.1)
дх ду
Возмущение весовой концентрации мелкодисперсной фазы удовлетворяет линеаризованному уравнению неразрывности:
£+и £+йи,
д1 дх йу
Я. + иУ- + иу = 0 (2.2)
Несмотря на несжимаемость жидкой фазы и "вмороженность" частиц в жидкость возмущение весовой концентрации не равно 0 из-за неоднородности вертикального распределения концентрации частиц в невозмущенном течении суспензии. Форма этого распределения и его основные параметры (положение у0 верхней границы суспензии и ширина Ь ее размытости) зависят от вида распределения частиц по радиусу и от времени, прошедшего с начала процесса осаждения. В данном исследовании будем использовать модельное вертикальное распределение весовой концентрации частиц
йу 4Ль р
У - Уо'2
(2.3)
считая параметры у0, Ь независимыми.
Поскольку массовое содержание мелкодисперсной фазы мало по с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.