М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2015
УДК 532.59
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И РАЗРУШЕНИЕ СТРУИ ГАЗА В МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ
© 2015 г. О. А. РУНОВА, Н. Г. ТАКТАРОВ
Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева, Саранск e-mail: colonnt@mail.ru, runova.olga@list.ru
Поступила в редакцию 20.02.2015 г.
Сформулирована и исследована математическая модель неустойчивости и разрушения струи газа в магнитной жидкости во внешнем магнитном поле, направленном вдоль оси струи. Найдены условия, при которых возмущения поверхности струи становятся неустойчивыми и приводят к ее разрушению на отдельные пузыри газа. Показано, что с увеличением магнитного поля размер образующихся пузырей возрастает, а скорость их роста и частота возникновения уменьшаются. Задача представляет интерес в связи с изучением кипения магнитных жидкостей.
Ключевые слова: магнитная жидкость, магнитное поле, струя газа, неустойчивость, пузыри газа.
Магнитные жидкости синтезируют искусственно путем коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости. Обладая способностью к намагничиванию, такие жидкости взаимодействуют с приложенным магнитным полем, которое способно влиять на их движение. На этом основаны разнообразные практические применения магнитных жидкостей в различных областях техники и технологии [1].
В связи с исследованием процессов кипения магнитных жидкостей [1] представляет интерес изучение неустойчивости и разрушения струи газа (пара) в таких жидкостях в приложенном магнитном поле. Результаты изучения неустойчивости струи газа в обычной (немагнитной) идеальной жидкости приведены в [2, 3]. Задача о распаде струи магнитной жидкости решена в [4].
1. Постановка задачи. Рассматриваются неустойчивость и распад струи газа в несжимаемой неэлектропроводной магнитной жидкости с постоянной магнитной проницаемостью. Предполагается, что струя газа имеет форму круглого бесконечно длинного цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Силой тяжести пре-небрегается. Однородное приложенное магнитное поле с напряженностью H0 в невозмущенном состоянии направлено вдоль оси струи с радиусом а. Задача решается в неподвижной цилиндрической системе (r, 9, z) координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. Ось z направлена по оси струи. Плотность газа пренебрежимо мала по сравнению с плотностью жидкости и принимается равной нулю. Величины, относящиеся к струе, обозначаются в необходимых случаях индексом 1, а к жидкости — 2. Пусть X — длина поверхностной волны и ю — ее частота. Предполагается выполненным неравенство юХ2/v > 1, где v — кинематическая вязкость. Используется модель идеальной жидкости [5, § 116].
Уравнения движения магнитной жидкости при сделанных предположениях имеют вид [1]
р— = - grad p, div v = 0 (1.1)
dt
Здесь p, v, p — плотность, скорость, давление. Влияние магнитного поля на движение жидкости здесь связано с механическими максвелловскими напряжениями на поверхности струи, возникающими вследствие скачка магнитного поля.
Предполагая, что амплитуда поверхностной волны много меньше ее длины [5, § 123], линеаризуем первое уравнение (1.1) и введем потенциал скорости ф(у = grad ф), удовлетворяющий уравнению Лапласа в цилиндрических координатах
Дф = Щг ¿ф) + + ^ = 0 (1.2)
r аЛ дг) r2 DQ2 dz2
Потенциал скорости ищем в виде Ф = ф(г)exp[i(kz + «0 - юt)]
где к = 2nfk — продольное волновое число; n = 0, 1, 2,... — азимутальное волновое число.
Подставляя ф в (1.2), получим дифференциальное уравнение Бесселя Ф ''(г) +1Ф '(г) к2 + 4^Ф(г) = 0 общее решение которого имеет вид
Ф(г) = аддкг) + с2кп{кг)
где I« и К« — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка n. Следует принять Cl = 0, так как I«(кг) ^ ж при г ^ да.
2. Вывод дисперсионного уравнения. Уравнение деформированной поверхности струи запишем в виде
г = a + £(9, z, t)
где Е = Ео exp^'^z + «0 - rot)], — малая по сравнению с X величина.
На поверхности струи нормальная компонента скорости жидкости должна равняться нормальной скорости перемещения поверхности, т.е. и« = d^/dt, или в линейном приближении иг = d^/dt при г = a. Отсюда, с учетом равенства иг = <Эф/<Эг, определяется потенциал скорости
Ф = - 'го^К«(кг)expmz + «9 - rot)] кК«(ка)
Магнитное поле в области струи и жидкости определяется из уравнений Максвелла для неэлектропроводной среды в магнитостатическом приближении [6]
rot H; = 0, div ц H j = 0 (j = 1, 2)
Из этих уравнений следует, что магнитное поле имеет потенциал у j (H j = grad у j), удовлетворяющий уравнению Лапласа Ay j = 0. Потенциал у j запишем в виде у j = H0 z + у jw (j = 1, 2), где H0z — потенциал невозмущенного поля, а у jw — малое возмущение, связанное с деформацией поверхности струи. Функции у jw будем искать в виде
Vjw = ^у(г)exp[;'к + «9 - rot)]
Записывая уравнения Лапласа Ay jw = 0 в цилиндрических координатах в областях 1 и 2, получим два дифференциальных уравнения Бесселя для функций ¥ j (r). Решения этих двух уравнений имеют вид
= съ1п(кг) + C4 K„(kr), W 2 = C5In(kr) + C6Kn(kr)
Здесь следует принять C4 = 0, C5 = 0, так как Kn(kr) ^ да при r ^ 0, а In(kr) ^ ж при r ^ да, что приводит к бесконечно большим величинам соответствующих потенциалов.
Граничные условия для магнитного поля на поверхности струи r = a + Е, [6] (цЯп)1 = №)2, (Ht)i = (HT)2
где индексами n и т обозначены нормальная и тангенциальная компоненты вектора. Выражая поле через потенциал, эти условия можно записать в виде
(ц n • grad y)i = (ц n • grad yb, Vi = V2 (2.1)
Здесь n — нормаль к поверхности струи, направленная внутрь жидкости и имеющая вид
n = (nr, ne, nz) = f1,- 1^,
V a d0 dz. C помощью условий (2.1) находим
¥iw = oHo(^ - Ц2) Kn(ka)In(kr) exp[i(kz + n9 - ю?)] A
¥2w = oHo(^ - Ц2)in(ka)Kn(kr)exp[i(kz + n9 - ю?)] A
A = ^1l'„(ka)Kn(ka) - ^I n(ka)K'n(ka)
Дисперсионное уравнение, связывающее ю и k, находится с помощью условия баланса сил на поверхности струи r = a +
(Oik«k)1 - (^«kb = -2aCmni (2.2)
Здесь a — коэффициент поверхностного натяжения; aik — тензор механических напряжений [1]
~ _ л5 , Ц HiHk 5ik ц H2
vik _ -Р5ik + —---— Ц H
4п 8п
Cm — средняя кривизна поверхности
2Cm a [a2 a2502 dz2 Давления в областях 1 и 2 имеют вид P1 = P10 = const, P2 = P20 + Pw где Pw — возмущение давления в жидкости; P10, P20— невозмущенные давления.
Условие (2.2) в линейном приближении
Ц1Но _ p Ц2Н0 dy2w = _afA + _L+ (23)
4п "Pw _ 4п la2 a2 d02 + dz2 J (2.3)
Здесь возмущение давления в жидкости определяется равенством [5] pw = -рбф/St. Поскольку плотность газа принимается равной нулю, возмущение давления в газе будет равно нулю тоже.
Подставив выражения £,, ф, у2 и pw в (2.3), получим дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся на поверхности струи, которое, вводя безразмерные
2 2 3 —1 —1 —1
величины Q =га (а/рa ) и Л = (ka) = X(2na) , можно записать в виде
Q2 = 1 (1 - n2-Л-2) -
Л Кп(Л 1)
пУ ' (2.4) __Q&1 -ц 2)2 !„(Л ~1)К'п(Л-1)
4лл2[Щ/;(Л-1)Х„(Л-1) - Ц2/„(Л-1)К;(Л-1)]
2 -1
Здесь Q — безразмерная частота; Л — безразмерная длина волны; Q = H0(a/a) — безразмерный параметр, характеризующий отношение магнитных и капиллярных сил, действующих на поверхности струи. Если Q = 0 (или = ц 2), то получается результат, приведенный в [2, 3].
3. Анализ результатов. Из (2.4) следует, что все возмущения с n > 1 устойчивы, так как в силу свойств бесселевых функций (I'n > 0, K'n < 0) выполняется неравенство О > 0 при любых значениях Л и n > 1.
Рассмотрим случай n = 0, учитывая равенства I0(x) = I1(x), K0(x) = -K1(x). В этом случае возмущения поверхности струи не будут зависеть от угла 0, и она будет иметь осесимметричную форму, имеющую вид последовательных сжатий и расширений.
На фиг. 1 приведены графики зависимости квадрата безразмерной частоты Q2 от безразмерной длины волны Л для нескольких значений магнитной проницаемости ц 2 жидкости. При этом бралось значение Q = 20, которому соответствуют, например, следующие значения: a = 1 см, р = 1 г/см3, H0 = 20 Э1, а = 20 г/с2. Магнитная проницаемость газа во всех расчетах бралась равной 1 (ц1 = 1). Оси координат — асимптоты для всех графиков. При Л = Лс частота Q = 0. Длина волны Лс называется критической. Части графиков при Л < Лс лежат выше оси абсцисс и соответствуют устойчивости
2
струи, поскольку в этом случае О > 0, и частота Q имеет вещественные значения. Об-
2
ласть Л > Лс соответствует неустойчивости струи, так как при этом О < 0, и частота Q будет иметь два комплексно-сопряженных значения, что приводит к неустойчивости. Как известно [2], размер пузырей, образующихся при распаде струи, будет порядка длины волны Xm = Лm ■ (2na), соответствующей величине Лm, при которой Q2 достигает минимума Q2m, поскольку амплитуда волны растет в этом случае с наибольшей скоростью. В самом деле, рост амплитуды определяется множителем ~exp(|ro| t), при-
11 Э = (1/4 п) ■ 103 А/м и 79.6 А/м.
Фиг. 1. Зависимость П2 от Л: ц2 = 1. 1-5. 2. 2.5 (1-4); п = 0, Q = 20, ^ = 1 нимающим наибольшее значение при Л = Л т. при котором |ю| = |ют|. где
Ы = Рт ^а/Рд3 •
В табл. 1 приведены значения Лс. Лт и т\ при Q = 20. п = 0. ^ = 1 для различных значений ц2. Видно. что при увеличении ц2 критическая длина волны Лс увеличивается. размер образующихся пузырей Лт также увеличивается. Величина т| при этом уменьшается. Это означает. что с увеличением размера пузырей скорость их роста и частота возникновения уменьшаются.
На фиг. 2 приведены графики зависимости величины О2 от Л (0 < Л < 4) для различных значений Q. В табл. 2 даны значения Лс. Лт и т| при ^ = 1. ц2 = 2. п = 0 для различных значений Q. Видно. что при увеличении Q (а следовательно. при увеличении магнитного поля) значения Лси Лт возрастают. т| — уменьшаются. Это означает. что с ростом магнитного поля размер пузырей. образующихся при распаде струи. увеличивается. а скорость их роста и частота возникновения уменьшаются. Неустой-
Таблица 1
^2 Лс Д»!
1 1 2.067 0.820
1.5 1.079 2.311 0.788
2 1.260 2.877 0.738
2.5 1.493 3.622 0.696
1
О2
0
-1
0 2 Л
Фиг. 2. То же, что на фиг. 1: Q = 0, 20, 40, 80, 100 (1-5); п = 0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.