ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 4, с. 367-373
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.951
неустойчивости циркулярно поляризованном волны
с захваченными частицами в изотропной плазме
© 2013 г. В. Л. Красовский
Институт космических исследований РАН, Москва, Россия e-mail: vkrasov@iki.rssi.ru Поступила в редакцию 04.06.2012 г. Окончательный вариант получен 06.08.2012 г.
Рассмотрены строение и устойчивость поперечной электромагнитной волны, распространяющейся со скоростью меньшей скорости света в плазме без внешнего магнитного поля. Стационарная волна конечной амплитуды описывается точными решениями уравнений Власова—Максвелла. Однако, в отличие от хорошо известного электростатического аналога, волны Бернштейна—Грина—Крускала, структура волны тесно связана с наличием захваченных частиц с широм поперечных скоростей, без которых существование волн с показателем преломления большим единицы невозможно. Показано, что главной причиной неустойчивости волны является продольное движение захваченных частиц относительно фоновой плазмы. При определеннных ограничениях на параметры волны найдены выражения для инкрементов в основных режимах неустойчивости.
БО1: 10.7868/80367292113040057
1. ВВЕДЕНИЕ
Среди нелинейных явлений, сопровождающих распространение электромагнитных волн в плазме, влияние заряженных частиц, захваченных в потенциальные ямы волны, занимает особое место. Если проявление нелинейности плазмы, как среды распространения волн, обычно учитывается во втором и более высоких порядках теории возмущений, то нелинейность, связанная с наличием захваченных частиц, не описывается в рамках теории возмущений. Применительно к волнам пространственного заряда важная роль процессов захвата была замечена довольно давно [1—3]. Разнообразные эффекты воздействия захваченных частиц на динамику продольных плазменных волн описаны, в частности, в статьях [4— 10]. Наличие захваченных частиц оказывает существенное влияние и на свойства поперечных электромагнитных волн, в частности, при распространении волновых сигналов на ветви свистящих атмосфериков в магнитосфере [11—13].
Если внешнее магнитное поле отсутствует, принято считать, что резонансное взаимодействие поперечной электромагнитной волны с заряженными частицами, а следовательно и захват частиц, невозможны, так как, согласно известным положениям линейной теории, фазовая скорость волны превышает скорость света. В приборах плазменной электроники для уменьшения скорости волны и обеспечения условий черен-ковского резонанса используют специальные замедляющие структуры, так что захват электронов волной становится возможен. При этом наличие
захваченных электронов, подобно замедляющей структуре, также способствует уменьшению скорости поперечной волны, как показано в статье [14]. Результаты этой работы наводят на мысль, что существование подобных замедленных волн с захваченными частицами возможно и в свободной плазме без специальных замедляющих устройств, применяемых в лабораторных условиях.
Для построения моделей стационарной циркулярно поляризованной поперечной волны, распространяющейся с фазовой скоростью меньшей скорости света Ур < с, проще всего перейти в систему отсчета, движущуюся с фазовой скоростью, коль скоро такая система по предположению существует [15]. В этой системе отсчета электрическое поле исчезает, а магнитное поле представляет собой статическую конфигурацию с однородным широм, соответсвующим длине волны [16, 17]. Уравнения движения заряженных частиц в магнитостатическом поле с однородным широм сводятся к хорошо изученному уравнению колебаний физического маятника [14, 15]. Далее, постулируя вид функции распределения частиц как некоторой функции интегралов движения, можно построить множество самосогласованных равновесных магнитоплазменных конфигураций, представляющих собой модели бессилового равновесия. Некоторые частные примеры можно найти в упомянутых статьях [16, 17], хотя авторов этих работ, по-видимому, в большей мере интересовала структура равновесных конфигураций сама по себе, чем возможные приложения к вол-
новым процессам. Возврат в систему покоя фоновой плазмы переводит магнитостатическую конфигурацию в циркулярно поляризованную волну, бегущую со скоростью Ур < с [15, 17].
Множественность кинетических моделей подобных волн имеет такое же происхождение как и широкое разнообразие волн Бернштейна—Гри-на—Крускала (мод БГК) [2], поскольку в рамках поиска решений уравнений Власова—Максвелла, описывающих возможные равновесные конфигурации, функция распределения захваченных частиц остается довольно произвольной. По этой причине, касаясь вопросов устойчивости, целесообразно отдать предпочтение простейшей модели волны, предполагающей, что все захваченные частицы сгруппированы на дне эффективных потенциальных ям [15]. В этом случае отсутствие теплового разброса частиц по скоростям как в фоновой плазме, так и захваченных волной, позволяет использовать уравнения холодной гидродинамики, не прибегая к более сложному кинетическому описанию. В некотором смысле, модель волны [15] может служить удобным эталоном, подобно простой модели моноэнергетического пучка электронов, движущегося в холодной плазме, при изучении обширного класса потоковых не-устойчивостей (см., например, [18]).
Естественно ожидать, что такая существенно нелинейная волна будет неустойчива, как и другие плазменные волны с выходом за рамки линейного приближения. В данной статье дан вывод дисперсионного уравнения для анализа устойчивости волны и рассмотрены основные режимы неустойчивостей.
2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ниже рассмотрим строение и устойчивость плоской циркулярно поляризованной волны конечной амплитуды в бесстолкновительной плазме, состоящей из двух компонент — фоновой плазмы и захваченных частиц. Захват заряженных частиц возможен, если фазовая скорость волны меньше скорости света, У0 < с. В свою очередь, предположение о существовании такой волны допускает переход в систему отсчета, движущуюся со скоростью ¥0. В этой системе электрическое поле обращается в нуль согласно преобразованию Лоренца, и волна представляет собой равновесную магнитоплазменную конфигурацию с некоторым пространственным периодом X 0 = 2п/к0. Используя этот пространственный масштаб в совокупности с характерными значениями частоты
ю0 = к0с и концентрации N = т®0/4пе2, где т и е — масса и заряд электрона по абсолютной величине, ниже для краткости будем записывать уравне-
ния в безразмерном виде с единицами измерения физических величин
[г] = к-1, [г] = ю-1, [V] = с, [р] = тс, [Е] = [В] = тсю0/е, [ф] = [А] = тс2 /е, (1) [п] = N0, Ц] = еИ0с, [к] = к), [ю] = Ю0.
Здесь используются стандартные обозначения, т.е. р — импульс частицы, ф и А — скалярный и векторный потенциалы, к — волновой вектор, ю — любая частота и т.д.
Набор необходимых уравнений состоит из уравнений Максвелла и уравнений холодной гидродинамики для описания движения каждой из двух компонент плазмы. В плоской геометрии (д / дх = д/ ду = 0) уравнения Максвелла принимают вид
(д2/дг2 -52/дг 2)А ± + ] ± = 0, (2)
л + 5 е,/дг = 0, (3)
дЕг/дг = п - пе, (4)
где А ± = (Ах, Ау, 0) и ] ± = О'х, ]у, 0) - поперечный векторный потенциал и плотность поперечного тока. Полные концентрация и плотность тока в этих уравнениях определяются как суммы п = пр + пТ и ] = ]р + ^ соответственно, где индексом "р" отмечены вклады частиц плазмы, а индексом "Т" — захваченных частиц. Так как скорость волны в лабораторной системе отсчета, в которой фоновая плазма покоится, может быть близка к скорости света, гидродинамические уравнения выпишем в релятивистской форме
Кп + nдv г/дг = 0, (5)
К(р- А±) = 0, (6)
Кр1 + Ег + VхдАх /дг + vyдAy /дг = 0, (7) где дифференциальный оператор по определению равен К = д/дг + Vгд/дг. Связь импульса и скорости имеет вид р = ■/V с релятивистским фактором у = (1 - V2)-1/2 = (1 + р2)12. Для простоты полагаем, что более массивные положительные ионы образуют нейтрализующий фон. Тогда структура волны и ее устойчивость определяются динамикой двух, более подвижных, электронных компонент — электронами фоновой плазмы и компонентой электронов, захваченных в самосогласованное поле волны.
3. СТРУКТУРА РАВНОВЕСНОЙ ВОЛНЫ
Структуру стационарной периодической волны рассмотрим в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью ¥0 вдоль оси г. Тогда в уравнениях (2)—(7) исчезают все частные производные по времени (д/дг = 0) и электрическое поле (Е = 0). При этом уравнения описывают равновесную магнитостатическую плазменную конфи-
гурацию. Пусть, для определенности, векторный потенциал равен
A о± = (Ao cos z, Ao sin z, 0). (8)
Соответствующее магнитное поле Б01 = = (—A0sinz, —A0cosz, 0) часто называют полем с однородным широм [16, 17].
Из линеаризованных уравнений (5), (6) обычным путем находится плотность токов, наведенных в фоновой плазме
j pl = -q.pa
о±>
(9)
и ю p =
где tip = ю2 /у о, Y о = (1 - V2)
2 2 1/2
= (4ne np/тш0) — безразмерная плазменная частота. Для компоненты захваченных электронов, в предположении, что все они сгруппированы на дне эффективных потенциальных ям [15], имеем
vz = 0, K = 0. Таким образом, уравнения (5)—(7) удовлетворяются, если
v o±(dA oJdz) = о. (10)
Для электростатических волн БГК [2] фази-ровка частиц в поле волны приводит к модуляции концентрации плазмы. В случае же поперечной волны круговой поляризации фаза электрона относительно волны в системе отсчета, движущейся с волной, не совпадает с обезразмеренной координатой z [15]. Поэтому концентрация сфазиро-ванных захваченных частиц остается постоянной nT = const. Тогда плотность поперечного тока захваченных электронов равна jT = (unT/A0)A 01, где и = const — модуль поперечной скорости захваченных электронов v 01. Подстановка этого выражения в совокупности с (9) в уравнение (2) дает простую связь между параметрами, необходимую для существования самосогласованного ранове-сия
ипт = 4,(1 + Ф . (11)
Это уравнение играет такую же роль как дисперсионное соотношение, полученное в [1] для волны пространственного заряда с захваченными частицами (см. также [3]). Существенное отличие состоит в то
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.