ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
НЕЗАВИСИМОЕ РОЖДЕНИЕ -МЕЗОНОВ В рр-ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ
© 2004 г. А. И. Голохвастов*
Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия Поступила в редакцию 22.04.2003 г.; после доработки 01.09.2003 г.
Показано, что экспериментальные данные по множественному рождению п--мезонов в до-взаимодействиях при л/в < 30 ГэВ не содержат значимых указаний на существование каких-либо корреляций между п--мезонами, кроме связанных с сохранением импульса и интерференционных. Распределения по множественности в быстротных интервалах, корреляции вперед-назад, двухчастичные корреляции по быстротам и поперечным импульсам не противоречат независимому рождению п--мезонов. Из независимого рождения частиц не следует каких-либо ограничений на их распределения по множественности.
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
В физике множественных процессов часто встречается утверждение, что при независимом рождении частиц или других объектов множественного рождения (кланов, кластеров, струй и т.д.) распределение по их числу должно быть пуассоновым (например, [1, 2]).
Это утверждение "доказывается" с помощью факторизации инклюзивных сечений. Если все частицы рождаются независимо друг от друга, то их двух-, трех- и многочастичные спектры можно представить в виде произведений одночастичных спектров [3, 4]:
Р(У1,У2, ...,у%)= рЫр(У2 )... рЫ,
где
P(V) = p(Vi,V2 ,---,Vi) =
1 da din dy' 1
(1)
(2)
dia
СТ1П dyldy2 ...йуг А поскольку интегралы от этих величин равны
соответственно
P(V)dV = (п),
(3)
J р(У1,У2, •••, У^У^У2 •.. dyi = = (и(и — 1) ...(и — г + 1)),
то интегрирование системы равенств (1) приводит к системе уравнений, эквивалентной распределению Пуассона [5—7]:
(п(п - 1) ...(п - i + 1)) = (n)i.
(4)
E-mail: golokhv@sunhe.jinr.ru
Этот результат не зависит от того, какая переменная обозначена буквой у. Это может быть быстрота частицы, ее импульс, угол или просто случайное число, приписанное каждой частице.
Однако соотношения (4) уже не получится, если, например, в правые части (1) ввести какие-либо множители (одинаковые, или зависящие от г, или от Уг), хотя на факторизуемость это не повлияет. Получится система уравнений, эквивалентная какому-то другому распределению.
На самом же деле независимость событий в теории вероятностей определяется факторизацией не каких-либо произвольно выбранных величин, а именно плотностей вероятности [8, 9]. Плотность вероятности совместного события равна произведению плотностей вероятности составляющих его частных событий, если они независимы.
Величины (2) не являются плотностями вероятности хотя бы потому, что интегралы от них не равны единице [8, 9]. Если их отнормировать к единице, т.е. поделить на (3), а потом уже подставить в (1), то система уравнений (4) сведется к тождеству 1 = 1 и распределение Пуассона исчезнет. Более того, равенства (1) не смогут служить определением независимости частиц даже после нормировки [8, 9] — сомножители в правой части (1) не являются проекциями левой части (см. разд. 7).
Дело в том, что правая и левая части (1) строятся на разных статистических ансамблях. Например, в левую совсем не входят взаимодействия с числом частиц и < г. События си > г тоже входят в правую и левую части (1) в разных пропорциях (см. также разд. 7, пункт б)).
2252
Таким образом, система равенств (1), а значит, и распределение Пуассона никак не связаны с независимостью частиц.
При интегрировании величины р(у) по любому интервалу у получается (3) — средняя множественность в этом интервале, т.е. р(у) — это плотность множественности частиц. Аналогично р(у1,у2) — это двумерная плотность множественности пар частиц, когда первая частица попадает в у1,а вторая — в у2, р(у1,у2,уз) — трехмерная плотность множественности троек и т.д. [10]. При интегрировании этих плотностей множественности получается (3) — множественность пар, троек и т.д.
Таким образом, равенства (1) означают факторизацию плотностей средней множественности, а не вероятности [11].
Можно смоделировать ансамбль событий с заведомо независимыми кинематическими характеристиками частиц, задав какое-либо распределение по множественности и разыграв каждую частицу случайным образом по какому-то спектру. При этом, очевидно, останутся тривиальные причины для скоррелированности множественности в разных точках фазового объема (см. также разд. 5). Если мы имеем дело с широким распределением по множественности, то, отбирая из полного ансамбля событий подансамбль с большой множественностью в у1 ± Ду, мы тем самым отбираем события с большой полной множественностью и, значит, увеличиваем множественность в у2 ± Ду.
С другой стороны, если у нас полная множественность фиксирована, то, отбирая события с большой множественностью в у1, мы оставляем меньшую множественность для у2. Таким образом, при очень узком распределении по множественности корреляция плотностей множественности отрицательна, а при очень широком — положительна. При (и(и — 1)) = (и)2 (см. (4)) эти противоположные тенденции компенсируются и двухчастичная корреляция множественностей зануляется.
Пуассоново распределение по множественности можно, однако, получить стандартным способом — как предел биномиального [8, 9]. В событиях с фиксированной множественностью при независимом рождении частиц их распределение в ограниченной части фазового объема биномиальное (см. также разд. 3). Если эта часть мала, т.е. если для случайно выбранной частицы вероятность попасть в эту часть объема очень мала, то распределение там становится пуассоновым. Известный пример — распределение по числу распадов радиоактивного источника за некоторый интервал времени, если этот интервал гораздо меньше времени жизни источника.
Конечно, какие-то интуитивные или модельные соображения могут привести к связи независимого
рождения с каким-либо конкретным распределением по множественности, хотя бы и с распределением Пуассона (см., например, [12—15]). Но непосредственно из теории вероятностей, как ожидалось в (1)—(4), ничего подобного не следует [16].
2. НЕЗАВИСИМОЕ РОЖДЕНИЕ
В рамках стандартного в теории вероятностей определения независимости событий рассмотрим независимое рождение частиц, когда кинематические характеристики (например, быстрота) каждой из них не зависят от характеристик остальных частиц этого же сорта [11].
Плотность вероятности того, что частица, случайным образом выбранная из случайного события, содержащего ровно n вторичных частиц этого сорта, имеет быстроту y, равна:
1 dan
Pn{y) =
пап dy '
(5)
Pn (y)dy = 1,
где оп — сечение рождения и частиц. Тильдой над рп(у) отмечена нормированность спектра на единицу [17, 18]. Выбрать случайное событие и номер трека в событии можно, например, с помощью генератора случайных чисел. В эксперименте этот спектр получается по всем измеренным трекам.
Плотность вероятности того, что две случайные частицы, последовательно выбранные из случайного события, содержащего и частиц (и > 2), имеют соответственно быстроты у1 и у2, равна:
~ / ч 1 & Оп /Г\
Рп{У1,У2) = —1-ТТ— , , , (о)
и (и — 1)Оп ^1^2
J Рп(у 1,у2)(1у1(1у2 = 1
(вторая частица выбирается из и — 1 частицы, оставшейся в событии).
Если быстроты частиц в одном событии попарно независимы, т.е. если быстротный спектр второй случайно выбранной частицы рп(у2) не зависит от значения быстроты первой, то двухчастичная плотность вероятности равна произведению одно-частичных [11]:
рп (у1,у2) = рп(у1)рп Ы, (7)
являющихся проекциями двухчастичной плотности вероятности (необходимое условие независимости [8, 9]):
Pn(yi) = J Pn(yi,y2)dy2, РпШ = J Pn(yi,y2)dyi.
Плотность вероятности, что г случайных частиц, последовательно выбранных из события с п частицами (п > г), имеют быстро ты у1,у2,...,уг, равна:
Рп(У1,У2,...,Уг) = (9)
1
п(п — 1) . ..(п — г + 1)ап йга„.
YG = I — I°'64 + 0.26,
Рп (У) =
1
(11)
' ~(У-Уд)2 , ~{У + Уй)2 ехр-—--Ь ехр
2YG
2YG
Рп(У) =
2YF
у-Ур , 1
ехр ^т^—I-1
0.37
-1
(12)
(13)
dyldy2 ...йУг
Если быстроты всех частиц в событии независимы, т.е. если в подансамбле событий, в котором первая случайно выбранная частица имеет быстроту У1, вторая — у2 и т.д. до уг-1, распределение г-й частицы по у такое же, как в полном ансамбле событий, то
Рп(У1 ,У2,...,Уг) = Рп(У1)Рп(У2) ...рп(Уг). (10)
В следующих разделах мы проверим, противоречит ли предположение о независимом излучении частиц экспериментальным данным по рождению отрицательных частиц (практически п--мезонов) в рр-взаимодействиях. Частично такое сравнение приведено в [19].
Исследование корреляций отрицательных частиц (по сравнению со всеми заряженными) в рр-взаимодействиях существенно "чище" в отношении "динамических" корреляций. Здесь гораздо меньше вклад тривиальных, но трудно учитываемых корреляций и фона, связанных с распадами резо-нансов и долгоживущих частиц; парами Далитца и конверсиями 7-квантов; законами сохранения импульса (его могут компенсировать как нейтральные, так и положительные частицы) и заряда (в событии всегда только четное число заряженных частиц); первичными частицами (они и после столкновения продолжают лететь в противоположных направлениях) и их неправильной идентификацией по массе (например, при Елс. = 400 ГэВ отношение п+-мезонов и протонов ^3 : 1).
Для сравнения с экспериментом используем две аппроксимации полуинклюзивных одночастичных быстротных спектров п- [20]:
= I + 10Лд - 1.60, I = 1п(лД/л/пМрС2)
(Мр — масса протона). Аппроксимация (11) при больших YG представляет собой двугорбое распределение, а (12) при больших YF — плоское, но обе они неплохо описывают спектры при рассматриваемых здесь энергиях [20]. Обе аппроксимации сужаются с ростом множественности. В разд. 9 будет также использована стандартная аппроксимация для поперечных импульсов п--мезонов.
3. МНОЖЕСТВЕННОСТЬ В ИНТЕРВАЛАХ
Вероятность того, что один п--мезон, случайным образом выбранный из события с N п-, попадет в заданный интервал у, равна (см. (5)):
У2
р = У Рм (у)йу (14)
У1
(р зависит от N). Если все п--мезоны независимы (10), то вероятность для каждого следующего п- , выбранного из того же события, п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.