ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2011, том 74, № 8, с. 1259-1263
= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ГОРЯЧЕЙ И ПЛОТНОЙ КХД В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
©2011г. Н. О. Агасян*
Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия Поступила в редакцию 07.12.2010 г.
Изучается непертурбативный КХД-вакуум при конечной температуре и барионной плотности во внешнем магнитном поле. Получены соотношения, связывающие непертурбативные конденсаты с термодинамическим давлением при Т = 0, ¡лч = 0 и Н = 0, и выведены низкоэнергетические теоремы.
1. Физика сильных взаимодействий, квантовая хромодинамика (КХД), переживает постоянный бурный процесс развития. На протяжении нескольких десятилетий особенно актуальными продолжают оставаться исследования поведения сильнодействующей материи под влиянием различных внешних взаимодействий. В реальном мире такими внешними воздействиями являются в первую очередь температура и барион-ная плотность. Интерес к поведению материи в экстремальных условиях (высокие температуры, сравнимые с характерной шкалой в КХД, T ~ 200 МэВ, и большие барионные плотности n > n0 — 0.17 Фм_3, n0 — нормальная ядерная плотность) связан в первую очередь с увеличением энергии в экспериментах по столкновениям тяжелых ионов. Тем самым, как ожидается, в этих экспериментах достигаются плотности и температуры, при которых возможен фазовый переход в новое состояние сильновзаимодействующей материи — кварк-глюонную плазму.
В последние годы другим важным объектом исследований стало изучение фазовой структуры вакуума под влиянием внешнего магнитного поля H. Недавно было показано, что при столкновении тяжелых ионов могут рождаться сильные магнитные поля с напряженностью eH ~ 102—104 МэВ2. Данные магнитные поля могут приводить к наблюдаемым явлениям (так называемому киральному магнитному эффекту) [1—5] в экспериментах на RHIC и LHC. Также в ранней Вселенной, на энергетической шкале сильных взаимодействий, могли существовать сильные магнитные поля eH ~ ЛQCD. Такие напряженности магнитных полей могут приводить к новым интересным явлениям на стадии кварк-адронного фазового перехода [6—8].
E-mail: agasian@itep.ru
В конечно-температурной КХД важной проблемой является изучение поведения параметра порядка (кваркового конденсата {(¡д)) с увеличением температуры. В приближении идеального газа (од-нопетлевой уровень киральной теории возмущений (КТВ)) вклад безмассовых ^-мезонов в кварковый конденсат пропорционален Т2 [9—11]. В рамках КТВ двух- (~Т4) и трехпетлевые (~Т6) вклады в {¡д) были вычислены в [10—12] и [13, 14] соответственно. Учет конечной массы и вклад горячего массивного газа ^-мезонов в кварковый и глюон-ный конденсаты был выполнен в [15, 16].
Исследование зависимости кваркового конденсата от величины магнитного поля в модели Намбу—Йона-Лазинио было проведено в работе [17]. В КХД однопетлевой результат для зависимости {¡д) от Н был получен в [18]. В обоих случаях был обнаружен рост конденсата при увеличении Н, из чего следует неприменимость наивной аналогии с теорией сверхпроводимости, где конденсат куперовских пар разрушается магнитным полем. Поведение глюонного конденсата {С2) в абелевом магнитном поле, строго говоря, также есть нетривиальный эффект. Глюоны не несут электрического заряда, однако порождаемые ими виртуальные кварки, взаимодействуя с Н, приводят к сдвигу величины {С2). Данное явление изучалось в [19] на основе метода низкоэнергетических теорем. Фазовая структура вакуума КХД в абелевом магнитном поле при конечной температуре исследовалась в [20]. Также следует отметить, что длинноволновые хромомагнитные поля играют важную роль в непе-пертурбативной динамике КХД-вакуума [21—27]. Различные непертубативные явления в абелевых магнитных полях изучались в [28—38].
В квантово-полевых теориях важную роль играют соотношения, которые являются следствиями симметрийных свойств теории. Поиски симмет-рий и ограничений, которые эти симметрии на-
1260
АГАСЯН
кладывают на физические характеристики системы, приобретают особое значение в КХД-теории с конфайнментом, где "наблюдаемыми" величинами являются составные состояния — адроны. В понимании непертурбативных вакуумных свойств КХД принципиально важную роль играют низкоэнергетические теоремы или тождества Уорда (масштабные и киральные). В КХД низкоэнергетические теоремы были получены в начале 1980-х гг. [39]. Низкоэнергетические теоремы КХД, следующие из общих симметрийных свойств и не зависящие от деталей механизма конфайнмента, позволяют получить информацию, которую иногда невозможно получить каким-либо другим путем. Также они могут быть использованы как "физически разумные" ограничения при построении эффективных теорий и различных моделей КХД-вакуума. В КХД низкоэнергетические теоремы при Т = 0, ц.д = 0 были получены в [40, 41]. В настоящей работе развит метод, который позволяет обобщить низкоэнергетические теоремы КХД на случай конечной температуры, конечного барионного химического потенциала и внешнего магнитного поля. С использованием этого метода исследован непертурбативный вакуум и получено выражение для билокального коррелятора тензора энергии-импульса в КХД при Т = 0, /лд = 0 и Н = 0.
2. В евклидовой формулировке статистическая сумма КХД при наличии внешнего абелева поля Ац может быть записана в виде (Т = 1/в — температура)
2 = ехр < —
1
(1хл
(I
У
х J[££][£$] [£д]ехр < — ^ (х^ (3хС
V
где лагранжиан КХД в фоновом поле имеет вид
+ ^ $ тЛ д» — гЯдА„ —
„—„, я I- \
д=п,й,,...
ха \
д,
термодинамический потенциал) определяется выражением /ЗУР0(Т, ц,д, Н, ш0д) = 1п 2. Из (1) можно получить следующее выражение для глюонного конденсата (С2) = ((Са )2):
(С2)(Т,^ ,Н,шод) = —4
дРо
9(1/91)
2
(3)
Система, описываемая статистической суммой (1), характеризуется набором размерных параметров М,ц.д,Т,Н,ш0д(М) и безразмерным зарядом 92(М), где затравочные массы кварков ш0д и константа взаимодействия 902 определены на массе ультрафиолетового обрезания М. С другой стороны, мы можем перейти к перенормированному (физическому) давлению Р и, используя свойства ренорм-инвариантности Р, переписать (3) в виде, содержащем производные по физическим параметрам Т, Цд, Н и перенормированным массам шд.
Явление размерной трансмутации приводит к появлению непертурбативного размерного параметра
Л = М ехр
1<о>(м)
(1а3
РЫ
(4)
(1)
где М — масса ультрафиолетового обрезания; а3 = = 92/4п и /3(а8) = йа3(М)/й 1п М есть функция Гелл-Манна—Лоу. Масса кварка ш0д имеет аномальную размеренность и зависит от шкалы М. Ренорм-групповое уравнение для бегущей массы ш0д(М) имеет вид (1п ш0д/(1п М = , и мы используем МБ-схему, для которой ¡3 и 7т<? не зависят от массы кварка. Тогда выражение для ренорм-инвариантной массы есть
а.,(Ы)
Г 1тч (аз )
шд = ш0д (М) ехр
в а)
-йач
(5)
(2)
Поскольку физическое (перенормированное) давление является ренорм-инвариантной величиной, его аномальная размерность равна нулю. Таким образом, Р имеет только нормальную (каноническую) размерность, равную 4. Используя ренорм-инвариантность величины Л, мы можем записать Р в наиболее общем виде:
Р
д4 * Е. Ик
'л' л'л2' л
здесь Qд — зарядовая матрица кварков с ароматом д = (и, (,з,...) и затравочной массой ш0д; цд — химический потенциал кварков, и для простоты явно не выписаны "духовые" и фиксирующие калибровку слагаемые. Давление системы (минус
(6)
где f есть некоторая функция безразмерных отношений Т/Л,... Из (4), (5) и (6) находим
дР _ дР дк
в
X
0
0
НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ГОРЯЧЕН И ПЛОТНОЙ КХД
1261
+ £
дР дшд дтд д(1/д%)'
дтч _Атгсх2 тп
9(1 /сД) /ЗЫ '
(8)
Далее, аномалия в следе тензора энергии-импульса в КХД связана с глюонным конденсатом соотношением
16па2
(9)
Учитывая (3), для глюонной части следа тензора энергии-импульса имеем выражение
(10)
д
д
4/771,1 дт0
Р.
3. Используя приведенные выше соотношения, можно получить низкоэнергетические теоремы КХД при конечной температуре и плотности в присутствии магнитного поля. Строго говоря, в-функция зависит от Н, и низкоэнергетические теоремы могли бы содержать электромагнитные поправки «е4. Но поскольку физическое давление не зависит от масштаба М, на котором регуляризуются ультрафиолетовые расходимости, можно выбрать ультрафиолетовый масштаб М ^ Н,Т,^д, Л. Тогда мы можем взять низший порядок разложения в-функции, и электромагнитные поправки исчезают. Учитывая последнее, рассмотрим след тензора энергии-импульса в горячей и плотной КХД в однопетлевом приближении в»» (т = Ж4, х):
+ Е
Шд
(т, х),
Здесь и ниже тензор энергии-импульса {в»»), конденсаты {С2), {¡д) и термодинамическое давление Р являются функциями Т, Ц,д, Н, Шд.
В однопетлевом приближении в(аз) ^ ^ -Ъа2/2п, 1 + ^ 1, где Ъ = (1ШС - )/3. Таким образом, имеем следующие выражения для глюонной и кварковой частей следа тензора энергии-импульса в горячей и плотной КХД в магнитном поле, определяемых через физическое давление в однопетлевом приближении:
99 ) =--— .
32тг2
{С2) = - 4 + Т
д
+ >
д д^д
д_
дТ
дд
+
(11
Р,
{в»») = Е тд ш = -Е
Шд
дР
дшд
В вакууме, т.е. при Т = 0, ц.д = 0, Н = 0, получим хорошо известное выражение для непертур-бативной плотности энергии вакуума, которое в однопетлевом приближении имеет вид
1
£уас - + -
= -Р (Т = 0,^д =0,Н = 0,Шд) =
Ъ
1
128п2
Л+ Е
Шд
0.
и введем оператор 1Э: д
1 = -4 + Т
дТ
+ Е »д
д
+ 2Н
д
дН
(15)
Из соотношений (11) и (12) получаем для полного вакуумного среднего следа тензора энергии-импульса, включая массивные кварки:
{в»») = {в9» + в»») =
{С2) + £ Шд {¡д) = 1 Р.
(16)
32п2
Дифференцируя (3) п раз по (1/д0) и учитывая (6), (14), (15) и (16), находим
1 и+1Р = 1п{в»»(0, 0)) =
(17)
= / йТпЛ3X,
(1т\( XI X
(12)
X {в»»(Тп, Хп) ... в»»(Т1, Х1 )в»»(0, 0))с.
Индекс "в" в (17) означает, что в вакуумное среднее включены только связанные диаграммы. Аналогичные рассуждения могут быть проведены для
произвольного оператора О(х), построенного из полей кварков и/или глюонов:
(13)
дд
+
(18)
д
д
д
+ 2Я-) (0) =
йтпй3хп ... I йт1й3х1 X »» (тп, Хп) ... в»»(т1, Х1)0(0, 0))с,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.