научная статья по теме НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ КХД И ОБЪЕМНАЯ ВЯЗКОСТЬ ПРИ КОНЕЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ И БАРИОННОЙ ПЛОТНОСТИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Физика

Текст научной статьи на тему «НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ КХД И ОБЪЕМНАЯ ВЯЗКОСТЬ ПРИ КОНЕЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ И БАРИОННОЙ ПЛОТНОСТИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ»

Письма в ЖЭТФ, том 95, вып. 4, с. 187-191

© 2012 г. 25 февраля

Низкоэнергетические теоремы КХД и объемная вязкость при конечной температуре и барионной плотности в магнитном поле

Н. О. АгасянV

Институт теоретической и экспериментальной физики им. Алиханова, 117218 Москва, Россия Поступила в редакцию 25 января 2012 г.

Изучается непертурбативный КХД-вакуум при конечной температуре и барионной плотности во внешнем магнитном поле. Получены соотношения, связывающие непертурбативные конденсаты с термодинамическим давлением при Т ф 0, / 0 и Я ^ 0, и выведены низкоэнергетические теоремы. Объемная вязкость £(Т, ц, Н) описана на языке основных термодинамических величин, характеризующих кварк-глюонную материю при Т ф 0, ¡л,ч ф 0 и Н ф 0. Рассмотрены различные предельные случаи.

1. В последние годы, важным объектом исследований стало изучение фазовой структуры сильно взаимодействующей материи под влиянием внешнего магнитного поля Н. Недавно было показано, что при столкновении тяжелых ионов могут рождаться сильные магнитные поля с напряженностью еН ~ ~ (102—104) МэВ2 [1, 2]. Данные магнитные поля могут приводить к наблюдаемым в экспериментах на ШПС и ЬНС явлениям (так называемому кирально-му магнитному эффекту) [3-5]. Также в ранней Вселенной на энергетической шкале сильных взаимодействий могли существовать сильные магнитные поля еН ~ АдСЕ). Такие напряженности магнитных полей могут приводить к новым интересным явлениям на стадии кварк-адронного фазового перехода [6-19].

В квантово-полевых теориях важную роль играют соотношения, которые являются следствиями сим-метрийных свойств теории. Поиски симметрии и ограничений, которые эти симметрии накладывают на физические характеристики системы, приобретают особое значение в КХД-теории с конфайнментом, где "наблюдаемыми" величинами являются составные состояния - адроны. В понимании непертур-бативных вакуумных свойств КХД принципиальную роль играют низкоэнергетические теоремы, или тождества Уорда (масштабные и киральные). В КХД низкоэнергетические теоремы были получены в начале 80-х гг. прошлого века [20]. Низкоэнергетические теоремы КХД, следующие из общих симмет-рийных свойств и не зависящие от деталей механизма конфайнмента, позволяют получить информацию, которую иногда невозможно получить каким-либо другим путем. Они могут быть использованы и как "физически разумные" ограничения при построении эффективных теорий и различных моделей КХД-

вакуума. В КХД низкоэнергетические теоремы при Т ф 0, ф 0 были получены в [21, 22]. Важное применение низкоэнергетических теорем в горячей КХД было получено в [23, 24]. На основе уравнения Ку-бо и низкоэнергетических теорем было показано, что объемная вязкость кварк-глюонной среды прямо связана с билокальным коррелятором тензора энергии-импульса. Вычислено его значение для случая горячей КХД.

В настоящей работе развит метод, который позволяет обобщить низкоэнергетические теоремы КХД на случай конечной температуры, конечного барион-ного химического потенциала и внешнего магнитного поля. С помощью этого метода исследован непертурбативный вакуум и получено выражение для би-локального коррелятора тензора энергии-импульса и объемной вязкости в КХД при Т ф 0, ф 0 и Н ф 0.

2. В евклидовой формулировке статистическая сумма КХД при наличии внешнего абелева поля Ам может быть записана в виде (Т = 1//3 - температура)

Г 1 ГР

Z = ехр ■

4е2

/ «¿Ж 4 /

Зо оу

йъх¥1, \ х

¡1V

х 1[ВВ][Вд][Вд}ехр^ 1^X4 I (I3ж£| , (1) где лагранжиан КХД в фоновом поле имеет вид

С ~ 4д20

£ §

да

7м ( ) +Шо,+/х,7о

Че-таП: agasianeitep.ru

о=и

Здесь Qq - зарядовая матрица кварков с ароматом q = (и, d, s,...) и затравочной массой тщ, - химический потенциал кварков. Для простоты "духовые" и фиксирующие калибровку слагаемые явно не выписаны. Давление системы (минус термодинамический потенциал) определяется выражением 0VPo(T, Hq, Н,ТПоя) = ln Z. Из (1) можно получить следующее выражение для глюонного конденсата, (G2) = <(G«J2):

(G2)(T,N,H,m0q) = ^ 4

дРп

d(l¡9l)

(3)

Система, описываемая статистической суммой (1), характеризуется набором размерных параметров Ао, nq,T, Н, nioq(Ao) и безразмерным зарядом <?q(Ao), где затравочные массы кварков тоoq и константа взаимодействия определены на массе ультрафиолетового обрезания Ао- С другой стороны, мы можем перейти к перенормированному (физическому) давлению Р и, используя свойства ренорм-инвариантности Р,переписать (3)в виде, содержащем производные по физическим параметрам Т,ця,Н и перенормированным массам mq.

Явление размерной трансмутации приводит к появлению непертурбативного размерного параметра

А = А0 ехр

I/а.(Ло)

das (3(as

(4)

где ав = дЦАж, (3(а„) = das(A0)/dlnA0 - функция Гелл-Манна-Лоу, Ао - масса ультрафиолетового обрезания. Масса кварка тод имеет аномальную размерность 7ГОа и зависит от шкалы Ао- Ренорм-групповое уравнение для бегущей массы тщ(Ао) имеет вид dlnmoq/dlnAo = Мы используем МБ-схему,

для которой ¡3 и 7ГОа не зависят от массы кварка. Тогда выражение для ренорм-инвариантной массы есть

mq = то0<г (А0) ехр

а'(Ло) 7т,(«.

f3(as

-da.

(5)

Поскольку физическое (перенормированное) давление является ренорм-инвариантной величиной, его аномальная размерность равна нулю. Таким образом, Р имеет только нормальную (каноническую) размерность, равную 4. Используя ренорм-инвариантность величины А, мы можем записать Р в наиболее общем виде:

Р = А4/

то.

1 ь. К. _

А' А ' А2' А

(6)

где / есть некоторая функция безразмерных отношений Т/А и т.д. Из (4), (5) и (6) находим

эр

д(1/92о)

ЭР дА

дАдЩ)

дт„

= —iirasmq-

дР dmq

^ dmq 3(1 ¡g2)

2 7 mq(as)

3(1 ¡gl) (3(as

(7)

(8)

Далее, аномалия в следе тензора энергии-импульса в КХД связана с глюонным конденсатом соотношением

09 \ _ (Г2\ 1б7га2

(9)

Учитывая (3), для глюонной части следа тензора энергии-импульса имеем выражение

9s \ = мм

Х^1 + 7m,)mg

дта

(10)

Здесь и ниже тензор энергии-импульса кон-

денсаты (С2), (ад) и термодинамическое давление Р

ЯВЛЯЮТСЯ ФУНКЦИЯМИ Т,ЦЯ,Н, ТПд.

В однопетлевом приближении (3(ав) —^ ^Ьа2я/2тг, 1 + 7™, ^ 1, где Ъ = (1 Шс - 2ЛГ/)/3. Таким образом, имеем следующие выражения для глюонной и кварковой частей следа тензора энергии-импульса в горячей и плотной КХД в магнитном поле, выраженном через физическое давление, в однопетлевом приближении:

b

32тг2

(G2) =

= Т

дт

д_ 'дЦд

д_ дн

£

7П„

дтп„

9" ,

ММ'

) = Y^mq{qq) = ^Y.

mn

эр

dma

4 Р,

(И)

(12)

В вакууме, т.е. при Т = 0, ця = 0, Н = 0, получим хорошо известное выражение для непертурба-тивной плотности энергии вакуума, которое в однопетлевом приближении имеет вид

- -/09

мм

>0 =

vac 4 ^ММ

128тг2

(С2)о

(13)

Используя приведенные выше соотношения, можно получить низкоэнергетические теоремы КХД при конечных температурах и плотности в присутствии магнитного поля. Строго говоря, /3-функция зависит от Л и низкоэнергетические теоремы могли бы содержать электромагнитные поправки ос е4. Но поскольку физическое давление не зависит от масштаба Ао, на котором регуляризуются ультрафиолетовые расходимости, можно выбрать ультрафиолетовый масштаб Ао Н,Т,ця, А. Тогда мы можем взять низший порядок разложения /3-функции, и электромагнитные поправки исчезают. Учитывая последнее, рассмотрим след тензора энергии-импульса в горячей и плотной КХД в однопетлевом приближении:

ОМ = -«¿2 [££..(*)]2 +

32тг2

и оператор

Б = Т

дт

дцд

2 Я

дн'

(14)

(15)

Из соотношений (11) и (12) для вакуумного среднего следа тензора энергии-импульса, включая массивные кварки, получаем

= = (16)

Дифференцируя (3) п раз по 1 ¡д\ и учитывая (6), (14), (15) и (16), находим

ф — 4)П+1Р = ф — 4)П(0£Д(О)) =

= I ё4хп...1 ¿4х1(0^(хп)...0^(х1)0^(О)). (17)

В правую часть (17) включены, как обычно, только связанные диаграммы. Аналогичные рассуждения могут быть проведены для произвольного оператора О (ж), построенного из полей кварков или глюонов:

Т

д_ дт

д

2 Я

д

М

•«* ф) =

...../

жп...у ¿4«1<^(«в)...^(а!1)д(0)>, (18)

где й - каноническая размерность оператора О. Если оператор О имеет также аномальную размерность, то должна быть учтена соответствующая 7-функция.

Рассмотрим важный для физического применения случай п = 1, т.е. мы будем рассматривать двухточечный коррелятор тензоров плотности энергии-импульса в горячей и плотной КХД в магнитном поле. Через этот коррелятор можно выразить вязкость кварк-глюонной плазмы в магнитном поле. Тогда для глюонного и кваркового вкладов в билокальный коррелятор тензора энергии-импульса имеем

I й4х(в^(х)в^(0)) = ф- 4)<^>, (19)

Iй4ж(^(ж)^(0)) = ф- 3)<0«Д (20)

Следовательно, для билокального коррелятора тензора энергии-импульса

П = у <*4ж(^(ж)^(0)) = = I й4 х(9°М + 21 й'х(9вМ + (21)

В 0(то2) мы включили коррелятор кварковых слагаемых, который пропорционален квадрату массы кварка. Далее мы его учитывать не будем. Учитывая соотношения (19), (20) находим

П = (.0 — 4)(0ММ) + ф — (22)

3. Как было показано в [24], согласно общей формуле Кубо объемная вязкость £ связана с билокаль-ным коррелятором следа тензора энергии-импульса П соотношением

9Сш0 = I с1А х(9^(х)9^(0)) = П. (23)

где массовый параметр а>о обозначает шкалу, при которой становится справедливой теория возмущений. Таким образом, нахождение объемной вязкости £ сводится к вычислению билокального коррелятора П.

Выделим из коррелятора П вакуумное слагаемое. С этой целью представим полное давление в виде

Р= -£

час т Р* ,

(24)

где Р* есть чисто термодинамическая часть давления. Кварковый и глюонный вклады в след тензора энергии-импульса можно представить в виде

Ь

П

о\) =

Используя уравнение (16), находим

(¿W) = + = 4е-с + (-D - 4)Р*.

Учитывая термодинамическое соотношение

Т

д_ дт

дц,

4 Р = е - ЗР

(25)

(26)

(27)

'9

и вводя магнитный момент системы М = дР/дН, имеем

= 4етас + (е - ЗР)* + 2МН. (28)

Тогда коррелятор (21), (22) можно представить в виде

П = П0 + Щ + Щ, (29)

где вакуумный вклад в коррелятор

По = - 2<0«„)„ = -16е,ас - 2^т,<м>0.

(30)

Для кваркового вклада П* имеем следующее выражение:

Сд д д \ Т9Т + + 2Яая ~ 2

Я 4 /Я

(31)

Восполь

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком