ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 6, с. 854-860
УДК 536.423.15:536.423.45
НОВАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ НАСЫЩЕННОГО ВОДЯНОГО ПАРА В ДИАПАЗОНЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ОТ -25 ДО 220°С
© 2009 г. Н. П. Романов
Научно-проиводственное объединение "Тайфун" 249038 Обнинск, Калужская обл., ул. Победы, 4 E-mail: vemik@typhoon.obninsk.ru Поступила в редакцию 25.06.2008 г.
Для зависимости давления насыщенных паров жидкой воды Е от температуры вместо обычно используемой в настоящее время аппроксимационной формулы вида ln(E(t)/E(0)) = [(a - bt)t/(c + T)] предложена новая, значительно превосходящая по точности аппроксимационная формула вида ln(E(t)/E(0)) = [(А - Bt + Ct2)t/T], где t и T - температура в °С и К соответственно. Для этой формулы с параметрами А = 19.846, В = 8.97 х 10-3, С = 1.248 х 10-5 и Е(0) = 6.1121 гПа при температурной шкале ITS-90 для диапазона температур от 0 до 110°С относительная разность аппроксимации 6-ти параметрической формулой У. Вагнера (W. Wagner) и А. Пруса (A. Pruß) 2002 г., разработанной для положительных температур, не превышает 0.005%, что примерно в 15 раз меньше достижимой с использованием формулы первого вида. С увеличением диапазона температур относительная разность увеличивается, но и для диапазона температур от 0 до 220°С она не превышает 0.1%. Для отрицательных температур относительная разность нашей формулы с формулой Д.М. Мерфи (D.M. Murphy) и Т. Купа (T. Koop) 2005 г. не превышает 0.1% при температурах выше -25°С. В работе приводятся также значения коэффициентов для аппроксимации рекомендованной ВМО формулы Гоффа-Грача. Процедура получения точки росы Тр по известному значению давления паров воды еп на основании нашей формулы сводится к решению алгебраического уравнения третьей степени, коэффициенты которого приводятся в данной работе. Для упрощения этой процедуры в работе предложено аппроксимационное соотношение с использованием приве-
AT
денного выше коэффициента А, имеющее вид Tp(e„) = -- + 0.0866е2 + 0.0116е10/3, где е = ln(e„/E(T0)).
A — е
Это соотношение имеет погрешность восстановления точки росы не более 0.005 К в диапазоне температур от 0 до 50°С.
1. ВВЕДЕНИЕ
В метеорологии и других областях науки и техники необходимо знание зависимости давления насыщенных паров воды от температуры. В настоящее время официальными документами ВМО для расчета этой зависимости приняты формулы Гоффа-Грача, полученные в 1946 г. и скорректированные в 1957 г. Эти формулы были приняты в качестве официальных в протоколе ВМО [1] в 1975 г. для жидкой воды в следующем виде:
18 Е( гПа) = 10.79574(1 - Т) -5.0280018 (Т ) +
+ 1.50475 х 10-4(1 - 10(-82969(Г/Г1-1))) + (1)
+ 0.42873 х 10-3(10(476955( 1-Г 1/Г)) - 1) + 0.78614.
Здесь E - давление насыщенных паров воды, Т - температура воды в градусах Кельвина, Т1 = 273.16 К -температура тройной точки воды, в которой в равновесии находятся твердая, жидкая и газообразная фазы. В формуле (1) использовано известное на то время значение Е(Т1) = 6.1114 гПа. В дальнейшем в дан-
ной работе будут использоваться также температура плавления льда Т0 = 273.15 К и температура в градусах Цельсия ^ определяемая как t = T - Т0.
Используя новые экспериментальные данные, в частности, измеренное в работе [2] значение E(T1) = (6.11675 ± 0.0001) гПа, в работе [3] приводится следующая формула для давления насыщенных паров в диапазоне температур от 0 до 100°С, погрешность которой оценивается в несколько тысячных процента
ln E ( Па ) = —2991.2729 T2 — 6017.0128 T Ч + 18.87643854 —0.02835472T + 1.7838301 х х 10—5T2 — 8.4150417 х 10—10T3 + 4.4412543 х х 10—13 Г + 2.858487ln T.
(2)
В дальнейшей работе [4] приводится формула Е(Т) для диапазона температур от 0 до 200°С. В этой формуле уже использована шкала температур, которая официально была введена в 1990 г. и имеет аббревиатуру 1Т8-90 (МТШ-90). Описание этой шкалы, которая наиболее соответствует термодинамической
шкале температур, имеется в работах [5, 6]. Здесь отметим только, что в шкале 1Т8-90 температура тройной точки остается реперной точкой, равной 273.16 К. Однако температура кипения воды при нормальном давлении равна уже не 100, а 99.974°С. В дальнейшем использование 1Т8-90 будет отмечаться нижним индексом 90 у температуры или знаком /90 после указания градусов. С учетом этих обозначений приведенная в [4] формула записывается в виде
1п Е( Па) =
-5.8002206 х103
+ 1.3914993-
90
2 5 2 (3)
- 4.8640239 х 10 Т90 + 4.1764768 х 10 Т290 -
- 1.4452093 х 10-8т90 + 6.545961пТ90.
Для широкого диапазона температур от 273.16 до 647 К в работах [7, 8] приводится следующая формула:
Т-°1п ГЕЕГПг! = "7.85951783 в + Тс V Е (Тс) )
15 3 (4)
+ 1.84408259"» 5 - 11.7866497 в3 + + 22.6807411 в35 - 15.9618719»4 + 1.80122502 в75,
где » = 1 - -Т0, Тс = 647.096 К/90 - температура
Тс
критической точки, Е(Тс) = 220640 гПа - давление насыщенных паров в критической точке.
Отметим, что для положительных температур, для которых авторами соотношений (1)-(4) и определяется диапазон их использования, различие между этими соотношениями не превышает десятых процента, что будет показано ниже. Сложнее обстоит дело для отрицательных температур, что следует из обзора работ по давлению насыщенных паров переохлажденной жидкой воды [9]. В работе [9] подчеркивается, что сложность поведения давления насыщенных паров над переохлажденной водой определяется наличием максимума теплоемкости воды при Т = 235 К и поэтому утверждается, что нельзя ожидать простой зависимости давления насыщенных паров над переохлажденной водой. Полученная авторами [9] для диапазона температур от -100 до 59°С формула содержит 9 параметров и имеет вид:
1пЕ(Па) = 54.842763 - 6763.22Т91, - 4.211пТ90 + + 0.000367 + 1апЬ { 0.0415 (Т90 - 218.8)}(53.878 - (5)
- 1331.22Т 91 -9.445231п Т90 + 0.014025 Т90).
Из рассмотрения вышеприведенных соотношений (1)-(5), которые мы будем называть исходными, следует, что все они имеют достаточно сложную структуру, причем у разных авторов она сильно от-
личается одна от другой. Результаты вычисления по этим формулам получаются путем вычитания больших чисел, поэтому для достижения приемлемой точности коэффициенты разложения по температуре в различных степенях задаются с большим количеством значащих цифр, что требует применения двойной точности для вычисления по этим формулам. Появляется большая вероятность типографических и других ошибок, список которых для формулы (1) в различных изданиях ВМО приводится в [9]. Издательские ошибки присутствуют и в других официальных изданиях, в частности, в справочнике [10, с. 75], где во втором и третьем членах формулы (1) вместо отношения Т/Т1 напечатано Тх/Т, а в четвертом члене вместо множителя 4.76955 приведен множитель 4.79955. И, наконец, по виду выражений невозможно предугадать влияние отдельных членов, а также сравнивать одни выражения с другими. Вышеизложенные соображения стимулируют потребность разработки более простых и более универсальных соотношений, хотя бы и с некоторой потерей точности.
В большом обзоре [11] приведено чуть меньше 100 аппроксимационных формул разной сложности и проведено их численное сравнение с формулой (1). Имеющиеся в справочниках [10, 12] аппроксимаци-онные формулы также находятся в ряду исследованных в работе [11], и на них распространяются выводы, сделанные в ней. А выводы работы [11] свидетельствуют о том, что многие сложные выражения зачастую имеют меньшую точность, чем простые. И наиболее удачным из простых соотношений признается следующее трехпараметриче-ское соотношение, которое привлекает также возможностью построения аналитического выражения для обратной функции
Е (Т) = Е (Т 0) ехр
( а - Ь (Т - Т 0 ) ) ( Т - Т 0 ) с + (Т - Т0 )
(6)
Значение Е(Т0) определяется из эксперимента и не является параметром. Наиболее полно возможности использования выражения (6) для описания Е(Т) исследуются в статье [13], где методом наименьших квадратов подбираются параметры при использовании в качестве исходных данных формулы (2) с предложением использования ее и при отрицательных температурах. Для двухпараметрического соотношения (6) автор рекомендует использовать набор величин Е(Т0) = 6.1121 гПа, а = 17.502, Ь = 0, с = 240.97. При этом погрешность аппроксимации соотношения (3) достигает 0.2% в диапазоне температур от минус 20 до 50°С. На будущее в [13] предлагается использовать уже трехпараметрическую формулу с параметрами Е(Т0) = 6.1121 гПа, а = 18.678, Ь = 1/234.5, с = 257.14. В этом случае погрешность аппроксимации в диапазоне от -25 до 105°С находится в пределах 0.1%. Дальнейшее повышение точности аппроксимации с использованием
0.6 0.4 0.2
# л
В
о м
з о &
3 -0.2
и
3-0.4 ^-0.6 §-0.8 сэ -1.0
0.010 0.005 0
0.005 0.010
-20 0 20 40 60 80 100 120
-50
50 100 150 Температура, °С
Рис. 1. Относительная разность между формулой (1) и аппроксимацией (9) с набором параметров < 1.
соотношения (6) возможно только сужением диапазона температур с соответствующей корректировкой параметров или добавлением нового параметра. В настоящей работе мы показываем, что с использованием другой аппроксимирующей зависимости можно и при трех параметрах получить существенно меньшую погрешность аппроксимации исходных соотношений.
2. НОВАЯ ФОРМА АППРОКСИМАЦИИ ЗАВИСИМОСТИ ДАВЛЕНИЯ НАСЫЩЕННЫХ ПАРОВ ЖИДКОЙ ВОДЫ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Характер зависимости отношения давления насыщенных паров в двух точках от разности температур в этих точках получается из термодинамических соотношений, определяемых уравнением Кла-узиуса-Клапейрона, которое с учетом уравнения состояния пара и большой разности удельных объемов воды и пара записывается в виде [14]
йЕ _ ЦТ)йТ Е ~ К Т2'
(7)
где Ь - удельная теплота парообразования, - газовая постоянная водяного пара.
При условии ЦТ) = Ь(Т0) = Ь интеграл этого уравнения в пределах от Т0 до Т приобретает вид
Е (Т) _ Е (Т0) ехр
-А (Т - Т0)
(8)
А_
Кп Т 0
_ 19.83.
Соотношение (8) отражает качественный характер зависимости Е(Т), которая представляется экспоненциальной зависимостью от разности Т - Т0. Именно эта зависимость и является основой при построении аппр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.