научная статья по теме НОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ СИСТЕМА НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ Математика

Текст научной статьи на тему «НОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ СИСТЕМА НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 6, с. 657-659

= МЕХАНИКА

УДК 531.38+517.925

НОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ СИСТЕМА НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ © 2015 г. А. В. Борисов, И. С. Мамаев

Представлено академиком РАН В.В. Козловым 20.10.2014 г. Поступило 11.11.2014 г.

Б01: 10.7868/80869565215180097

В работе [10] С.А. Чаплыгин проинтегрировал в квадратурах задачу о качении без проскальзывания динамически несимметричного уравновешенного шара (шара Чаплыгина) по плоскости. Для этого он явно нашел инвариантную меру и первые интегралы. Он также дал геометрическую интерпретацию движения. Движение шара Чаплыгина при дополнительной связи, заставляющей точку контакта оставаться на прямой, было изучено А.П. Веселовым и Л.Е. Веселовой в [6]. Они привели инвариантную меру и первые интегралы, позволяющие проинтегрировать систему по теореме Эйлера — Якоби. Заметим, однако, что явные квадратуры для этой системы не получены до сих пор. В данной работе мы рассматриваем интегрируемое обобщение системы [6]. Также предложена новая механическая реализация возникающей неголономной связи.

Рассмотрим задачу о качении шара (шара Чаплыгина) по плоскости, на который дополнительно наложена неголономная связь (связь Веселовой) [7]

(ш, E) = 0,

где E — орт оси, неподвижной в пространстве.

Если E ± у, где у — нормаль к плоскости контакта, то шар движется по прямой и, как показано в [6], система является интегрируемой. Движение шара по прямой может быть реализовано с помощью абсолютно гладких стенок [6] (см. рис. 1).

Если Ж^ || у, то получаем модель качения без проскальзывания и верчения. Как известно [4], возникающая система оказывается эквивалентной задаче Веселовой и является интегрируемой.

Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва

Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Московской обл. E-mail: borisov@rcd.ru

Удмуртский государственный университет, Ижевск

Рассмотрим более общую ситуацию, предполагая, что Е — произвольный орт, неподвижный в пространстве. Для описания реализации этой связи введем сначала понятие шарового подвеса и неголономного шарнира.

Шаровой подвес (введенный в [9]) описывает движение твердого тела с неподвижной точкой О, заключенного в сферическую оболочку, к которой примыкает произвольное количество массивных динамически симметричных шаров. Предполагается, что проскальзывание в точках контакта шаров с оболочкой отсутствует, а центры шаров неподвижны в пространстве. Как показано в [9], эта система интегрируема при произвольном количестве шаров; в случае, когда имеется лишь один периферийный шар, получаем задачу, эквивалентную задаче о шаре Чаплыгина, катящемся по плоскости.

Первоначальный вариант конструкции н е -голономного шарнира был предложен В. Вагнером в работе [5] для реализации связи задачи Суслова (ш, а) = 0, где а — неподвижный в теле вектор (см. рис. 2). В этом случае к телу с неподвижной точкой прикреплены плоские колесики (диски), которые катятся без проскальзывания по внутренней поверхности неподвижной сферической оболочки; предполагается, что колесико настолько острое, что его скорость в направлении, перпендикулярном его плоскости, равна нулю.

Л.Е. Веселова).

658

БОРИСОВ, МАМАЕВ

Рис. 2. Связь Суслова в реализации Вагнера.

Рис. 3. Реализация связи Веселовой.

сируем сферическую оболочку — связь Суслова. Если оба тела являются подвижными, то задача также является интегрируемой и рассмотрена в [1].

Рассмотрим теперь комбинацию шарового подвеса и неголономного шарнира, когда тело с неподвижной точкой заключено в сферическую оболочку, к которой примыкает один шар и один диск (рис. 4).

В системе координат, связанной с главными осями тела, уравнения связей представляются в форме

Дю х у + Я1ю1 х у = 0, (ю, Е) = 0, (1) где ю — угловая скорость тела, Я — радиус сферической оболочки, ю1, Я1 — угловая скорость и радиус примыкающего шара, у — единичный вектор оси, соединяющей центры шаров, Е — вектор нормали плоскости, содержащей центр шара и ось диска.

Уравнения движения с неопределенными множителями имеют вид

I ю = 1ю х ю + Яу х N + цЕ + Ме, А (0! = Л1ю1 х ю + Я1у х N (2)

у = у х ю, Е = Е х ю,

где I = (ё1а§/1, 12, 13) — тензор инерции тела, Б1 — тензор инерции примыкающего шара, N = Ы2, N3), ц — неопределенные множители, отвечающие реакциям связей (1), Ме — момент внешних сил. Используя второе уравнение, находим, что (ю1, у)' = 0, таким образом

(юь у) = -(ю1, у) = -(ю1, у х ю).

С помощью этого соотношения и второго уравнения в (2) исключаем у х N из оставшихся уравнений. В итоге получим

I ю + Бу х (ю х у) = 1ю х ю + ц Е + Ме,

Л = ^ Л!,

я2.

у = у х ю, Е = Е х ю.

(3)

Рис. 4. Новая реализация связей.

Аналогично можно рассмотреть движение тела с неподвижной точкой, заключенного в сферическую оболочку, которой касаются колесики (диски), оси которых неподвижны в пространстве (рис. 3). Ясно, что в простейшем случае получим связь задачи Веселовой (ю, у) = 0, где у — вектор, перпендикулярный плоскости диска (этот результат отмечен в работе [3]).

Если зафиксируем в пространстве ось с колесиком, то получим связь Веселовой, а если зафик-

Из вида системы (3) легко заключить, что эти уравнения совпадают с уравнениями для качения шара Чаплыгина с дополнительной связью Веселовой, причем в данном случае направление вектора Е может быть произвольным. Неопределенный множитель ц находится из условия (Е, ю)' = 0:

( I ю х ю + М6, I - 1 Е )

ц=

( Е, I-1Е)

1е = J - Пу ® у, J = I + П.

Непосредственной проверкой можно показать, что если Ме не зависит от ю, уравнения (3) обладают инвариантной мерой рю^3ю^3у с плотностью

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 462 № 6

2015

НОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ СИСТЕМА НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ

659

(5)

рю = ((E, I-1 E)detIG)1/2. (4)

Имеются также очевидные геометрические интегралы

у2 =1, E2 =1, (у, E) = const.

( dU д В потенциальном поле сил М0 = у х--+ E х -

V ду дЕ-

сохраняется также энергия

H = 2- (IGra, ш) + U(у, Е),

где U(y, E) — потенциальная энергия внешних сил. Если внешние силы отсутствуют U = 0 и E х у ф 0, то имеется еще два дополнительных интеграла

F = (K, Е х Y), F2 = (K, Е х (Е х у)),

K = IQш - (1еш, Е) Е,

и, следовательно, система (3) интегрируема (по теореме Эйлера—Якоби).

Для доказательства существования интегралов F1, F2 запишем уравнения эволюции вектора K:

K = K х ш.

Следовательно, вектор K неподвижен в пространстве и все его проекции на подвижные оси сохраняются, но поскольку (K, E) = 0, остаются лишь два независимых интеграла.

Таким образом, рассматриваемая система при E х у ф 0 практически полностью аналогична системе, рассматриваемой в работе [6], при дополнительном ограничении (E, у) ф 0. Пока неизвестны явные квадратуры для системы (3) даже при U = 0.

В частном случае E = у интегралы (5) тождественно обращаются в нуль, но из уравнения связи (ш, у) = 0 находим (ш, у)' = (ш, у) = 0, и, следовательно,

Iqш = Jw - D( w, у)у = Jw, Iq ш = J w - D ( to, y ) y = Jw, I w x w = J w x w.

Таким образом, рассматриваемая система эквивалентна системе Веселовой после замены I ^ J. Эта система интегрируема и может быть сведена к квадратурам с помощью сфероконических координат [7].

Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания вузам и поддержана грантом Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-2964.2014.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. // Regul. Chaotic Dyn. 2014. V. 19. № 2. P. 198-213.

2. Borisov A.V., Kilin A.A., Mamaev I.S. // Regul. Chaotic Dyn. 2011. V. 16. № 1/2. P. 104-116.

3. Борисов А.В., Мамаев И.С. В кн.: Неголономные динамические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы. М.; Ижевск: ИКИ, 2002. С. 118-130.

4. Borisov A.V., Mamaev I.S. // Regul. Chaotic Dyn. 2008. V. 13. № 5. P. 443-490.

5. Вагнер В.В. // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. 1941. В. 5. С. 301-327.

6. Веселое А.П., Веселова Л.Е. // Мат. заметки. 1988. Т. 44. № 5. С. 604-618.

7. Веселова Л.Е. В кн.: Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 64-68.

8. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Госте-хиздат, 1946. 671 с.

9. Федоров Ю.Н. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1988. № 5. С. 91-93.

10. Чаплыгин С.А. // Мат. сб. 1903. Т. 24. С. 76-101; Собр. соч. Т.1. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. 484 с.

11. Харламов А.П., Харламов М.П. // Механика твердого тела. 1995. № 27. С. 1-7.

12. Fuller F.B. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1971. V. 68. № 4. P. 815-819.

3 ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 462 № 6 2015

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»