научная статья по теме НОВЫЕ КЛАССЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ И КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА Химическая технология. Химическая промышленность

Текст научной статьи на тему «НОВЫЕ КЛАССЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ И КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 5, с. 580-588

УДК 532+574+517

НОВЫЕ КЛАССЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ И КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА

© 2007 г. Е. А. Вязьмина, П. Г. Бедриковецкий*, А. Д. Полянин

Институт проблем механики РАН, Москва * Университет Северного Флюминензе, Рио-де-Жанейро (Бразилия)

^агтта@Шг ги Поступила в редакцию 12.12.2007 г.

Описаны новые классы точных решений нелинейных систем уравнений, встречающихся в теориях фильтрации и конвективного массопереноса реагирующих сред. Основное внимание уделено системам первого порядка общего вида, когда скорости химических реакций зависят от произвольных функций. Найдены общие решения некоторых систем первого порядка со степенными нелинейно-стями. Построен ряд новых точных решений с функциональным разделением переменных, содержащих произвольные функции. Полученные результаты использованы для решения задач теории фильтрации для однокомпонентной и многокомпонентной суспензии при произвольной кинетике накопления частиц.

ПРИВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА И ФИЛЬТРАЦИИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Некоторые точные решения нелинейных систем уравнений первого и второго порядков, встречающиеся в теориях фильтрации и массопереноса реагирующих сред, описаны в работах [1-17].

Рассмотрим простейшую нелинейную модель конвективного переноса в двухкомпонентной системе с объемной химической реакцией, которая описывается нелинейной системой уравнений первого порядка с частными производными

ди . ди дw . дw

Эг+ аЩ = и, w), а2д| = ^(и, w), (1)

где т - время, $ - пространственная координата, а1 и а2 - скорости конвективного переноса, Г и Г2 -скорости химических реакций. При записи системы (1) предполагалось, что диффузией обоих компонентов можно пренебречь. Если первая (вторая) среда неподвижна, то а1 = 0 (а2 = 0).

Система уравнений (1) при а2 = 0 для кинетических функций степенного вида

-т^/ \ п т т^ / \ о п т

г1 (и, w) = аи w , г 2(и, w) = ри w

используется в математическом моделировании двухфазного барботажного реактора [10, 11]. Аналогичная система п = 1 встречается в задачах теории фильтрации о рассолении почвы грунтовыми водами [1, 3].

Система (1) при

Г1(и, w) = Г2(и, w) = и + /(w),

является одним из основных объектов исследования математической теории динамики сорбции и хроматографии [18-20].

Отметим, что система (1) используются для описания устойчивости химического трубчатого реактора идеального вытеснения [21] (диффузия протекает медленно, поэтому наличие членов, содержащих вторую производную, не вызовет большой неустойчивости) и проточного реактора с перемешиванием. Подобные системы встречаются также в простейших моделях неизотермических химических реакторов, где одна из искомых величин обозначает концентрацию, а другая -температуру [21, 22]. Путем перехода к характеристическим переменным

^-а^г $- а11 )

х = -, г = -, (аг Ф а2)

а1 - а2 а2- а1

нелинейная система (1) приводится к каноническому виду

ди ^ / \ дw .

— = Г\(и, w), д- = Е2(и, w). (2)

Точные решения некоторых систем вида (2), приведены далее.

Глубокая фильтрация суспензии частиц в пористой среде происходит при закачке морской воды, добываемой с нефтью, при проникновении бурового раствора в резервуары продуктивной зоны, при фильтрации песка в гравийном филь-

тре, при производственной фильтрации, при перемещении мелких частиц на нефтяных месторождениях, при переносе примеси в грунтовых водах, при перемещении бактерий, вирусов и др. Основная особенность процесса заключается в захвате частиц пористой средой и последовательном уменьшении проницаемости этой среды. Частицы захватываются вследствие превышения размера пор среды, поверхностной сорбции, седиментации, диффузии, действия электрических сил и т. д.

Для однокомпонентной суспензии система, описывающая процесс, состоит из уравнения баланса массы для накапливаемых частиц и суспензии и уравнения, описывающего кинетику накопления [2, 7, 23]:

Э(и + ^) . ди „ дw г, ч

■ эГ2 + Тх = 0' э7 = /(w)и' (3)

где один из компонентов и - суспензия, а второй w -накапливаемое вещество (осадок),/а) - коэффициент фильтрации.

Заменив в первом уравнении системы (3) д t

на правую часть второго уравнения и перейдя от переменных х и t к новым характеристическим переменным г = -х, п = х - t, получим систему уравнений (2) специального вида:

ди г, ч дw г. . _ = uf( w), _ = -uf( w).

(4)

Решение граничной задачи о закачке суспензии в резервуар свободный от частиц, описываемый системой (3), рассматривается также далее.

Любая система уравнений специального вида

dU = fi (и )gi (w), = /г( и )gi( w) (6)

с помощью преобразования

rf2 (и) - ,fgi (w) 1I 7Т7 "и, w = b I ——-Jfl (u) g2 ( w )

и = a

dw

(7)

приводится к частному случаю системы уравнений (5):

Эи = а/(и)8(w), ^ = ь/(и)§(w),

где приняты обозначения /(и) = /2[и(и)], g(W ) = = g1[w(W )], функции и(и), w(W) определяют путем обращения зависимостей (7).

Система уравнений (6) преобразованием

г ёи г dw

I ТТ-^ w = I —- (8)

и =

g2 ( w )

приводится к каноническому виду

дх = ф( ww)' "дУ = и),

(9)

где приняты обозначения Ф( W) = g1[w( W)], ¥( и) = =/2[и(и)], функции и(и), w(IV) определяют путем обращения зависимостей (8).

Исключив из (9) переменную и, приходим к нелинейному гиперболическому уравнению

= ф( w юГ^

дхдt Kw ^Ut

(10)

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

В задачах химической технологии обычно рассматривают системы (2), в которых кинетические функции пропорциональны

ди = а^(и, w), ^ = Ь^(и, w), (аЬ < 0). (5) Эх дt

Введение аналога функции тока ф = ф(х, t) по формулам

дф дф

и = а^-1, w = Ь

Э t дх

приводит систему (5) к нелинейному гиперболическому уравнению второго порядка

^Ф = р(а¿ф, Ь ^.

ЭхЭt V д^ дх)

Некоторые уравнения этого вида рассмотрены в [24].

ГДе ®(z) = ^и ( и )| z - ¥( и) = 0-

Если ¥(и) = aii + b, то Q(z) = const, и уравнение (10) может быть проинтегрировано полностью в четырех случаях: Ф^) = k1w + к2 (линейное уравнение), Ф^) = keXw (уравнение Лиувилля), Ф(w) = = ksin(Xw + а) (уравнение синус-Гордона), Ф^) = = к sh (X w) (уравнение sh-Гордона) [24, 25].

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА

В этом разделе приводятся точные решения некоторых классов нелинейных систем уравнений первого порядка вида (2), к которым сводятся уравнения конвективного переноса в двухкомпо-нентных системах с объемной химической реакцией без диффузии.

Очевидно, что система (2) в общем случае допускает точные решения типа бегущей волны

и = и(z), w = w (z), z = kx - Xt,

где к, X - произвольные постоянные, а функции и(^) и w(z) описывают автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений

ки\ - и, w) = 0, Xw'z + Г2(и, w) = 0.

Система 1. Рассмотрим специальный случай системы (2), когда скорости химических реакций имеют степенную зависимость от концентрации по одному из реагирующих веществ:

ди г, ч dw k , ч

д- = uf( w), д- = ug (w) -

(11)

Система (11) при к = 1, g(w) = -f(w) переходит (после очевидных переобозначений) в систему (4), встречающуюся в теории фильтрации. При к = 1, g(w) = const xf w) система (11) является специальным видом системы (5).

В частных случаях, когда к = 0 или fw) = const, одно из уравнений системы решается независимо от другого и система (11) легко интегрируется. Далее считаем, что кФ 0 и fw) Ф const.

Преобразование зависимых переменных

U = и , W =

dw

'g (w)

приводит к более простой системе

f = w ) и - ? = U.

(12)

(13)

Ф = kf( w), W = J

dw

g (w) '

(14)

Заменив и в первом уравнении системы (13) на левую часть второго уравнения этой системы, приходим к уравнению второго порядка для функции Ж:

д2Ж дЖ

т =ф( Ж) -ж-

Интегрируя его по г, имеем

dW = JФ( W) dW + 0( x) -

(15)

дХ = kg( w)J gw dw + 0( x) g (w )'

(16)

Частному случаю 0(х) = const в (16) соответствуют специальные решения системы (11):

w = w (z), и = [у '(0 ]Ш V (z),

z = x ■

t),

где штрих обозначает производную, функции w(z) и описываются автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений

vZ = f(w)V, w'z = g(w)V '

(17)

Общее решение этой системы можно записать неявной форме

J

dw

g (w)[ kF( w) + Q ]

=z

C

v = [kF(w) + Ci]1/k, F(w) = f--Щdw -

J g(w)

(18)

Ниже приведены примеры построения общих решений некоторых нелинейных систем уравнений вида (11), исходя из уравнения (16).

Пример 1. Рассмотрим системы со степенными нелинейностями:

s ди n

а) т— = auw , x

w k -=-— = bu w t

(19)

где функция Ф(W) задается параметрически (w -параметр):

является частным случаем системы (11) при fw) = = awn, g(w) = bw и согласно (16) сводится к уравнению Бернулли

i ak n+1 , А , .

wx = — w + bw$( x). Его общее решение описывается формулами

u =

t) - akf"% dx

н

, £ = exp(bnf0( x)dx),

Поскольку в решение входит произвольная функция 0(х), удобно сделать переобозначение ф(х) =

= ёх. В результате получим общее решение системы (19)в виде

( - ¥ г (г)

и = -

Vbny(t) - акф(x),

9x (x)

Уравнение (15) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка по переменной х. Получив его общее решение, надо заменить в нем постоянную интегрирования С на произвольную функцию времени ¥(г) (поскольку w зависит от х и г).

Вернувшись в (15) по формулам (12), (14) к исходной переменной w, получим

w = ,

уЬпу(г) - акф(х),

(здесь сделано переобозначение ¥ —- Ъпу).

Распространенный случай реакции второго порядка соответствует значениям п = к = 1. Решение некоторых начально-краевых задач теории фильтрации и теории химических реакторов, основанных на системе уравнений (19) при п = к = 1, получено в [1, 3, 10, 11].

, ч du n

b) -г— = auw x

дw . k i-n -=-- = bu w t

(20)

Для более сложной системы

является частным случаем системы (11) при /!) = = awn, g(w) = Ь!1-". Подставляя эти функции в (16), получим

, ак п + 1 I 1 / Ч 1- п

wx = — w + ЬУ( х) w .

Подстановка и = wn приводит это уравнение к уравнению Риккати

Ux = I akU2 + bn0( х).

1

(21)

Обозначая Ьп0 = фх - 2. акф2 имеем частное решение и = ф(х) уравнения (21). Общее решение уравнения

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком