ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 6, с. 696-701
УДК 533+532+517.9
НОВЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И ЭЙЛЕРА
© 2011 г. А. Д. Полянин, С. Н. Аристов*
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва polyanin@ipmnet.ru *Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь asn@icmm.ru Поступила в редакцию 10.05.2011 г.
Получены формулы, позволяющие строить новые точные решения трехмерных стационарных и нестационарных уравнений Навье—Стокса и уравнений Эйлера с помощью более простых решений соответствующих двумерных уравнений. Указанные формулы содержат от двух до пяти дополнительных свободных параметров, которых нет в исходных решениях двумерных уравнений. Важно отметить, что в стационарном случае эти формулы не содержат квадратур. Рассмотрен ряд примеров построения новых трехмерных точных решений уравнений Навье—Стокса с помощью данных формул. Полученные результаты используются для решения некоторых задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. Приведены примеры неединственности решений стационарных задач. Построены некоторые трехмерные решения уравнений Навье—Стокса, исходя из невязких решений уравнений Эйлера. Указаны два класса новых точных решенией уравнения Грэда—Шафранова, содержащих функциональный произвол. Важно отметить, что для построения точных решений в статье применен новый метод, который может быть полезен для анализа других нелинейных физических моделей и явлений. Рассмотрено несколько физических и физико-химических систем, где может быть использован данный метод.
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1—4] были приведены примеры построения новых точных решений уравнений Навье—Стокса, исходя из других более простых решений. В частности, было показано, что несколько классов точных решений трехмерных уравнений Навье—Стокса с линейной зависимостью компонент скорости жидкости от двух пространственных переменных сводятся к системе двух уравнений
дtдz дг2
д™ дг
2 = + *^)д™ + ,^), (1)
дг дг
дt д г дг дг2
(2)
а «) + Ь (( + с ^) &,
дг дг
(3)
Характерные черты этой системы: уравнение (1) является изолированным нелинейным уравнением для третьей компоненты скорости w, а пассивное . Уравнение (2) для вспомогательной функции 9 зависит от решения w первого уравнения, линейно относительно 9 и имеет тривиальное решение 9 = 0. В цитируемых работах были описаны семейства точных решений, в которых функция 9 представляется в виде линейной комбинации производных от w по пространственной координате г следующего вида:
" В том смысле, что оно не влияет на решение уравнения (1).
где функциональные коэффициенты а(0, Ъ^), с^) зависят от времени t и описываются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, решения которых содержат три свободных параметра (константы интегрирования). Формула (3) позволяет по любому точному решению нелинейного уравнения для функции w автоматически строить точные решения для функции 9, что приводит к новым точным решениям уравнений На-вье—Стокса.
В данной работе описаны некоторые другие системы гидродинамического (физико-химического) типа, которые состоят из изолированной нелинейной системы уравнений и пассивного линейного уравнения относительно дополнительной искомой функции, коэффициенты которого зависят от решений изолированной нелинейной системы. Метод построения точного решения дополнительного уравнения основан на представлении решения (по аналогии с формулой (3)) в виде линейной комбинации функций и их производных, которые входят в изолированную нелинейную систему.
Получены новые формулы, позволяющие строить новые точные решения трехмерных стационарных и нестационарных уравнений Навье—
НОВЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ
697
Стокса и уравнений Эйлера с помощью более простых решений соответствующих двумерных уравнений. Указанные формулы содержат от двух до пяти дополнительных свободных параметров, которых нет в исходных решениях двумерных уравнений. Рассмотрен ряд примеров построения новых точных решений трехмерных уравнений На-вье—Стокса и некоторых задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. Приведены также примеры физико-химических систем, где аналогичным способом можно получить точные решения.
КВАЗИПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
Существуют точные решения уравнений На-вье—Стокса вида
и = и (х, у, ?), V = V (х, у, ?), Ы = Ы (х, у, ?),
Р = Р (х, у, ?) + Я
где все компоненты скорости жидкости не зависят от г и описываются системой уравнений [5]
ди + иди + vdu = -др + + (4)
dt дх ду дх ~
дх2 дуу
+ и ^ + = -§Ё + Vi5!v + 5V j, (5) dt дх ду ду удх ду
ди + 5v = о, дх ду
(6)
w = -Jq (t) dt
+ C.
и допускает принцип суперпозиции: его точные решения, умноженные на произвольные постоянные, можно складывать.
Ниже рассмотрены некоторые случаи, когда точные решения уравнения (7) можно явно выразить через решение уравнений (4)—(6).
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
Точные решения уравнения (7) ищем в виде w = А (?) и + В (?) V + С (?) + а (?) иу + Ь (?) V. (8)
Здесь и далее часто будем использовать краткие обозначения частных производных типа иу и vx.
Для дальнейшего понадобятся два следствия уравнений (4) и (5), продифференцированных соответственно по у и по х с учетом уравнения неразрывности (6):
bt + ииху + vUyy = v(Au)у - Рху, v х^ + и^хх + ™ху = v(A v)х - pу
(9)
Подставим (8) в уравнение (7) и используем уравнения (4), (5) и соотношения (9). В результате получим
Аи + B'tv + ац.у + b\vx - Apх - Вру -- (а + Ь)Рху + C + q = 0
(10)
дЕ + и — + vd-W = —q (t) + vfe ^^. (7)
dt дх ду {дх ду J
Здесь v — кинематическая вязкость жидкости.
Уравнения (4)—(6) описывают плоские течения жидкости. Уравнение (7) для третьей компоненты скорости жидкости не влияет на распределение двух других компонент скорости жидкости, но зависит от этих компонент и произвольной функции q(t). Это уравнение определяет дополнительную компоненту скорости жидкости по оси г, которая одинакова для всех сечений г = const, но зависит от координат х и у. Подобные течения жидкости будем называть квазиплоскими.
Отметим, что уравнение (7) всегда допускает простое точное решение, однородное по пространству
Удовлетворить соотношению (10) можно, например, в следующих трех случаях.
1. Для произвольной зависимости функции давления p = p (х, у, t) при A = B = 0, b = —a = const имеем двухпараметрическое точное решение уравнения (7):
w = аиу - avх -
У л
Jq (t) dt
+ C,
(11)
где а, С — произвольные постоянные. В стационарном случае должно выполняться условие q = 0.
В цилиндрической системе координат решение (11) принимает вид
w = а\1-ди-«¡t]- L(t)dt + C. (12)
\ r dm dr r J J
Далее будем искать точные решения уравнения (7), считая, что известны решения уравнений (4)—(6). В уравнении (7) можно исключить
функцию q(t) с помощью замены w = Ж - (?) сI?.
Уравнение для Ж будет линейным и однородным
1 и JUt - Ul
vr дф dr r 2. Пусть функция давления имеет вид
p = у (t) ху + f (х, t) + g (у, t), (13)
где f (х, t), g (у, t), у (t) — произвольные функции. В этом случае полагая в (10) A = B = 0, a = const, b = = const, получаем трехпараметрическое семейство решений уравнения (7):
w
= аиу + bv х + J [(а + Ь) у (t) - q (t)]dt + Cb (14)
где а, Ъ, С1 — произвольные постоянные. В стационарном случае должно выполняться условие (а + + Ъ)у - q = 0.
Пример 1 . Для функции давления (13) частного вида
В 2
р = у (t) ху- — у (t) х + а (7) х -2А
- 2в у ^) у2 + в ^) у + Ро ^)
(15)
где а (t), р (t), у (V), р0 (t) — произвольные функции, имеем пятипараметрическое семейство решений уравнения (7):
+
™ = Аи + Bv + аиу + Ьух +
У л
Аа ^) + Вр (t) + (а + Ь) у ^) - * (t)] М + Сь
(16)
™ = Аи + Bv + аиу + Ьух + |[[а ^) + Вр (t) - * ^)] + Сь
(18)
зуя известные двумерные плоские решения (см. например [5—8]). Ограничимся здесь некоторыми простыми примерами.
Пример 2. В качестве исходного решения с двумя компонентами скорости жидкости возьмем стационарное решение [7, 9]:
» , „ = А + вгк+\
->2
V2 к2 + А2 ~АВ к В2 2(к+1) , п
Р =--5-+ 2—г +—-- гу '+ С,
2г2 к 2 (к +1)
где А, В, С, к — произвольные постоян-ные(к Ф -1, -2). Для построения более сложного решения с тремя ненулевыми компонентами скорости используем формулу (14) при *() = 0. Учитывая, что w = иг, в итоге получим
где А, В, С1, а, Ъ — произвольные постоянные (если у ^) Ф 0, то А ф 0 и В ф 0). Для стационарных задач должно выполняться условие Аа + Вр + + (а + Ь) у - * = 0.
3. Пусть градиент давления плоской задачи (4)— (6) является постоянным или зависит только от времени, т.е.
р = а (0 х + р (0 у + Р0 (0, (17)
где а^), Р(7) , р0 ) — произвольные функции. Подобные соотношения для давления нередко встречаются в приложениях (течения в трубах, струи, обтекание плоской пластинки и т.д.). В этом случае пятипараметрическое семейство решений уравнения (7) имеет вид
Vk А п к+1 ^ ^ к
Иг =—, иф = - + Вг , Иг = С + С2г , г г
V2к2 + А2 , 2АВ к , В2 2(к+1) , п р =--;--+-г + —-т г + С
(19)
2г2 к 2 (к +1)
где А, В, С1, С2, С3, к — произвольные постоянные (к Ф -1, -2); исходному двумерному решению соответствуют значения С1 = С2 = 0. Для удобства было сделано переобозначение С2 = -аВ (к + 2). Рассмотрим подробнее несколько частных случаев. 1. При
А = а2юа - Вак+2, С2 = -С1а—, к < -1,
где В — произвольная постоянная, решение (19) удовлетворяет граничным условиям
где А, В, С1, а, Ъ — произвольные постоянные. Формулы (17) и (18) получаются из (15) и (16) при у = 0; при этом снимаются ограничения на постоянные А и В. Для стационарных задач в уравнении (7) и формуле (18) надо положить * = Аа + Вр.
Замечание 1. Формулы (12), (13), (15), (19) применимы как к уравнениям Навье—Стокса, так и к уравнениям Эйлера, соответствующим невязкой жидкости при V = 0.
Замечание 2. Для некоторых решений плоской системы (4)—(6) специального вида, соотношение (10) позволяет получать и другие точные решения уравнения (7).
ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ПОЛУЧЕННЫХ ФОРМУЛ
Общие формулы (12), (13), (15) позволяют автоматически строить стационарные и неста
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.