ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 6, 2004
УДК 621.225
© 2004 г. Ивашенцев Г.А., Хохлов A.B.
НОВЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ФОРМЫ ПОРШНЕВОГО КОЛЬЦА
Предлагаемый метод расчета основан на использовании модели стержневой конструкции и представлении кольца в виде цепи абсолютно жестких стержней, шар-нирно соединенных между собой в узлах. Определение опорных реакций в шарнирах позволяет рассчитать изгибающий момент и форму кольца в свободном состоянии. Заданная эпюра радиального давления и эпюра, рассчитанная по форме кольца в свободном состоянии, определенной этим методом, практически совпадают.
Качество поршневых колец определяется свойствами материала, конструкцией, геометрическими размерами и многими другими параметрами. Одним из важных параметров, влияющих на эксплуатационные показатели двигателей внутреннего сгорания, является форма в свободном состоянии. В большинстве методик [1-3] форма поршневого кольца в свободном состоянии определяется при решении уравнения изгиба бруса малой кривизны, связанного с многочисленными допущениями, снижающими точность расчета. Кроме этого, методики не предусматривают учет сил, сжимающих поршневое кольцо при его нахождении в рабочем состоянии. Предлагается метод реализации уравнения изгиба бруса с использованием модели стержневой конструкции, позволяющей учесть данную особенность.
Уравнение изгиба кривого бруса связывает между собой изменение кривизны, изгибающий момент и изгибную жесткость кольца (1/г) - (1/R) = M/EI, где r - радиус кольца, сжатого в цилиндре; R - радиус кривизны кольца, находящегося в свободном состоянии; M - изгибающий момент в произвольном сечении; E - модуль упругости материала кольца; I - момент инерции сечения кольца. Метод решения основан на представлении кольца в виде цепи абсолютно жестких стержней длиной а, шарнирно соединенных в узлах. Узлы подпружинены и являются опорами. Реакции опор направлены перпендикулярно поверхности гильзы цилиндра.
В соответствии с принятой моделью форма кольца в свободном состоянии задается последовательностью половинных углов между стержнями, начиная с центрального узла (рис. 1, а; k = 3). Верхняя и нижняя половины кольца считаются симметричными относительно оси, проходящей через спинку и замок кольца. После помещения кольца в гильзу цилиндра оно деформируется и все углы между стержнями и радиусами становятся равными у = arccos(a/2r). В опорных шарнирах поршневого кольца возникают следующие силы (реакции): F¡ - нормальная сила, действующая на узел со стороны гильзы цилиндров; N¡ - сила, сжимающая стержень; Q¡ - сила, приложенная в конце звена и направленная перпендикулярно к стержню.
Рассмотрим силы, действующие на стержни, в случае k = 1 (рис. 1, б). Из уравнения статики методом вырезания узлов определяем силы в 0 и 1 узлах: F0 = -2N: cos у, N = = -F1 cos у, Q0 = F1 sin у. Отсюда находим F0 = 2Q0 cos2 у/sin у, F1 = Q0/sin у, или в матричной форме:
2 , .
Qo
Fo
Fi
2 cos2 у /sin у
1/sin у
Qo
Q2 3
Qo
Рис. 1
На рис. 1, в приведены силы, действующие иа узлы при k = 3. Каждый узел за исключением последнего испытывает тангенциальное давление со стороны двух прилегающих стержней и оказывает нормальное давление на два соседних узла. Рассмотрим проекцию сил в нормальном к гильзе цилиндров направлении F0 = -2 cos ^N1 + 2 sin F1 = -cosy(N1 + N2) + siny(Q0 + Q2), F2 = -cosy(N2 + N3) + sinyQ1, или в матричной форме
Fo 2 0 0 N1 0 2 0 Qo
F1 = -cosу 1 1 0 N2 + sin у 1 0 1 Q1
F2 0 1 1 N3 0 1 0 Q2
Для определения сжимающих сил воспользуемся равенством нулю сумм проекций сил в касательном к гильзе цилиндров направлении siny(N1 - N2) = cosy(Q0 - Q2), sin y(N2 - N3) = cos sin yN3 = cos yQ2
или
1 -1 0 0 1 -1 0 0 1
cosy sin у
1 -1 0 0 1 0 0 0 1
В случае произвольного к левый сомножитель представляет собой двухдиагональ-ную матрицу с 1 на главной диагонали и -1 на первой наддиагонали. Можно убедиться в том, что обратная к ней матрица - верхняя треугольная с ненулевыми элементами, равными 1.
Множитель при Q¡ представляет собой трехдиагональную матрицу с 0 на первой наддиагонали и -1 на второй. Путем умножения убеждаемся в том, что для к = 3
N1 1 1 0 Qo
N2 COS\|/ sin у 0 1 1 Q1
N3 0 0 1 Q2
В общем случае зависимость дается соответствующей двухдиагональной матрицей вида
2
cos у
sin у
2 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1 0 0 1
Qo Q1 Q2
+ sin у
0 2 0 1 1 0 0 1 0
Qg Q1 Qg
2
3
o
2
cos Y
sin Y
2 2 0 1 2 1 0 1 2
+ sin y
0 2 0 1 0 1 0 1 0
Qn
sin y
-2cos y -2cos2y 0
2
-2cos2y -2cos y -cosy
2
0 -cos2y -2cos y
Qn.
Вектор сил давления выражается через вектор сил упругости с помощью соответствующей трехдиагональной матрицы. К этому необходимо присоединить выражение
силы давления в последнем узле Fk = Qk - :/sin y. В матричной форме
F0 г
Q
F1
= D Q
F2
Q
F3
, где
D - трехдиагональная матрица с последней дополнительной строкой 0, ..., 0(1/siny).
Для определения формы кольца в свободном состоянии воспользуемся геометрическими зависимостями, полученными при переходе стержня CB (рис. 2) длиной а в положение CB'. Для этого необходимо определить угол ф0. Из уравнения изгиба кривого бруса определим радиус кривизны кольца в свободном состоянии R = r/[1 - (Mr/EI)]. Из соотношения ф = рв0 [3] определим в0 = ф/R.
Положение стержня СВ', определяющего форму поршневого кольца в свободном состоянии, рассчитываем из треугольников ABC и A'B'C' (рис. 2) ф0 = ф + 2(а - а0) = = ф + 2(Р0 - в). Форма кольца в свободном состоянии по заданной эпюре давления определяется следующим образом.
Предположим, что выбрано число стержней k, по которому найден угол кривизны а = п/k поршневого кольца, стягивающий звенья. Получается ломаная, состоящая из k стержней, вписанных в полуокружность с углом ф = (п - а)/2. Считаем, что поршневое кольцо изготовлено с эпюрой, описанной полиномом. В узловых точках задан вектор q {q0, qx, ..., qk} погонного давления кольца на гильзу цилиндра в точках с углами i0, i = 0, k. Для обеспечения требуемого давления (k + 1 значений) необходимо определить k значений силы упругости Q {Q0, Q1, ..., Qk - 1}, что приводит к решению переопределенной системы линейных уравнений с матрицей D.
Стандартным методом ее решения является метод наименьших квадратов. При этом от переопределенной системы DQ = F переходят к системе размерности k, дом-ножая исходную матрицу на D' (транспонированную к D) D'DQ = D'F, решение которой дается равенством Q = (D'D)- D'F.
Таким образом, для определения формы кольца в свободном состоянии по эпюре давления q необходимо найти силу упругости Q = (D'D)-1D'aq и углы между звеньями в свободном состоянии ф0 по ранее приведенной зависимости. По этим данным определяется положение узлов кольца в свободном состоянии.
В качестве примера проведен расчет формы верхнего компрессионного поршневого кольца в свободном состоянии двигателя КАМАЗ по методу [3] и предлагаемом методу. Кольцо имеет следующие исходные данные: номинальный радиус r = 60 мм, материал кольца - высокопрочный чугун, модуль упругости материала E = 15,15 ■ 1010 Па, момент инерции сечения кольца I = 24,52 ■ 10- м , среднее давление на погонный метр q = 637,08 Н/м, характер распределения давления по периметру кольца - равномерный. Вначале выявим влияние количества стержней в полукольце на точность расчета формы. Для этого при различных количествах стержней поочередно определяем его форму в свободном состоянии, а по ней рассчитываем среднее давление на погонный мер. С ростом числа стержней происходит повышение точности расчета. Результаты расчета стабилизируются при k более 150. Это количество стержней использовали при дальнейших расчетах.
0
2
4 ПМ и НМ, < 6
97
Рис. 2 Рис. 3
Анализируя результаты расчета, можно отметить, что приращения радиус-векторов формы поршневого кольца в свободном состоянии, полученные предлагаемым методом (кривая 1), меньше, чем при расчете по (кривая 2) [3]. Максимальные отличия составляют 9 мкм или 0,2% при 100° кольца (рис. 3): АЯа - по [3], АК - по предлагаемому методу.
Таким образом, предложенный метод определения формы поршневых колец в свободном состоянии, основанный на использовании модели стержневой конструкции, позволяет упростить расчет и учесть силы, сжимающие поршневое кольцо при его нахождении в рабочем состоянии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гинцбург Б.Я. Теория поршневого кольца. М.: Машиностроение. 1970. 272 с.
2. Энглиш К. Поршневые кольца. Т. 1. М.: Машгиз, 1962. 584 с.
3. Александров А.Я. О расчетном построении формы поршневых колец в свободном состоянии // Вестник машиностроения. 1965. < 4. С. 18-20.
Саратов Поступила в редакцию 21.1.2004
После доработки 26.VII.2004
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.