ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. А. А. Зевин
НОВЫЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Основным элементом предлагаемого подхода к построению теории устойчивости канонических систем служит определенная ниже индексная функция, которая содержит всю необходимую информацию о системе. Основные результаты существующей теории, в частности, необходимое и достаточное условие сильной устойчивости, выражены в новых терминах. Соответствующие доказательства используют лишь простые математические средства; кроме того, они намного короче известных доказательств. Установлен ряд новых утверждений, в частности, получено простое достаточное условие сильной устойчивости, существенно обобщена известная теорема Якубовича [1] о направленной широте областей устойчивости, найдено необходимое и достаточное условие их направленной выпуклости. С их помощью установлены некоторые нелокальные качественные результаты об областях устойчивости параметрических колебаний канонических систем (позволяющие, в частности, обосновать существующую практику построения областей устойчивости по их границам) и найдены условия высокочастотной параметрической стабилизации неустойчивых систем.
Теория устойчивости линейных канонических систем с периодическими коэффициентами, ведущая начало от работ Ляпунова [2] и Пуанкаре [3], находит многочисленные приложения в механике, теории автоматического регулирования, задачах динамической устойчивости упругих систем и других областях науки и техники. В основе современной теории лежат введенное Крейном деление мультипликаторов на роды [4] и теорема Гельфанда - Лидского о структуре областей устойчивости [5]. К сожалению, доказательства многих теорем весьма трудоемки и используют достаточно сложный математический аппарат, что делает ее труднодоступной для исследователей-прикладников. В результате при анализе конкретных систем обычно используются лишь конструктивные (численные либо асимптотические) методы, а замечательные качественные результаты теории остаются невостребованными. Между тем именно качественные результаты обеспечивают наиболее глубокое понимание проблемы; зачастую они позволяют делать содержательные выводы об устойчивости системы даже в тех случаях, когда ее параметры известны лишь приближенно (и когда конструктивные методы практически бессильны).
1. Основные понятия и определения. Рассматривается система 2п линейных дифференциальных уравнений вида
3х = Н(?)х, х б Я2п
Н (I) = Н (I + Т) = \\Н;к( I )|| = 1, 3 =
где 1п - единичная матрица порядка п, Нф - симметрическая действительная кусочно-непрерывная Т-периодическая матрица.
0 - 1п
4 0
(1.1)
Прежде чем перейти к изложению результатов, напомним некоторые основные понятия и определения, относящиеся к уравнению (1.1).
Система (1.1) называется устойчивой, если все ее решения ограничены при t ^ Для приложений представляют интерес сильно устойчивые системы, сохраняющие устойчивость при малых возмущениях гамильтониана H(t). В математической формулировке это означает, что в сильно устойчивой системе существует такое е > 0, что уравнение (1.1) с любой симметрической матрицей H1(t) также сильно устойчиво, коль скоро |Hj(t) - H(t)| < е, где |A| - норма матрицы A.
Пусть X(t) - матрица, столбцами которой служат 2n линейно независимых решений уравнения (1.1). Собственные значения pk(k = 1, ..., 2n) матрицы X(T) называются мультипликаторами системы. Каждому простому мультипликатору pk отвечает решение вида
Xk (t) = exp {akt) fk (t); ak = (ln Pk) / T, fk (t + T) = fk (t) (1.2)
где ak - характеристические показатели системы.
Если все мультипликаторы простые, то система (1.1) имеет 2n линейно независимых решений вида (1.2). То же самое имеет место и в случае кратных мультипликаторов, если элементарные делители матрицы X(T) простые (т.е. число собственных векторов матрицы X(T), отвечающих каждому мультипликатору pk, равно его кратности rk как корня характеристического уравнения det||X(T) - p/2n|| = 0). В случае кратного мультипликатора pk с непростыми элементарными делителями наряду с решением вида (1.2) существуют решения вида
Xk (t) = exp (akt) Pk( t) (1.3)
где Pk(t) - полиномы с T-периодическими коэффициентами.
Так как уравнение (1.1) действительно, то наряду с комплексным мультипликатором р; имеется сопряженный мультипликатор р*. Если |р;| ф 1, то имеется также мультипликатор 1/р; (теорема Ляпунова - Пуанкаре). Из выражений (1.2), (1.3) и теоремы Ляпунова - Пуанкаре следует, что все решения ограничены при t ^ ^ (т.е. система устойчива), если только все мультипликаторы лежат на единичной окружности и все элементарные делители матрицы X(T) простые.
Для любых решений x;(t) и xk(t) уравнения (1.1) имеет место тождество
(X;(t), JXk(t)) = Cik = const (1.4)
где (a, b) - скалярное произведение векторов a и b.
В силу выражений (1.2) и (1.3) левая часть тождества (1.4) содержит множитель
exp[(a; + a* )t], поэтому оно возможно, если только
(x;(t), Jxk(t)) = 0 при a; + a* ф 0 (1.5)
Как следует из тождества (1.4), любая матрица решений канонического уравнения удовлетворяет соотношению
X (t)' JX( t) = с = llcjfk = ! (1.6)
где штрих означает транспонирование.
Для действительной неособой матрицы X(t) справедливо обратное утверждение [5]: если матрица X(t) удовлетворяет соотношению (1.6), то она является решением некоторой канонической системы (1.1) с гамильтонианом
A (t) = JX( t) X^1 (t) (1.7)
\ 1
Ф1
ф2
фз
Ф4
П Ф
Фиг. 1
Покажем, что этот вывод справедлив и для матрицы Х(г), содержащей также попарно сопряженные комплексные столбцы хк(г) = х*+: (г) = ик(г) +тк(г). На самом деле, составив матрицу Х^г) из действительных столбцов хг(г) и функций ик(г) и ик(г), найдем, что она удовлетворяет соотношению (1.6) и является поэтому решением канонического уравнения с гамильтонианом А:(г) = JXl (г)ХЦ1 (г). Но матрица Х(г), будучи линейной комбинацией столбцов Х1(Г), также служит решением этого уравнения,
поэтому А:(0 = JX (г)Хл(г).
2. Предварительные результаты. Установим сначала несколько вспомогательных результатов. Рассмотрим краевую задачу
J Х + 2п тТ 1 х = ХЯ (г) х, х( Т) = ехр (г ф) х (0) Я (г) = Н( г) + 2 п тТ- 12п
(2.1)
где т - целое число, такое, что Я(г) > 0 при г е [0, Т]. Очевидно, что это неравенство выполняется, если т > -й(г)Т/(2л), где Н(г) - наименьшее собственное значение матрицы Н(г). Если Н(г) > 0, то Н(г) > 0, поэтому можно принять т = 0, тогда Я(г) = Н(г).
Так как матрица Я(г) симметрическая, то задача (2.1) самосопряженная; в силу Я(г) > 0 ее собственные значения Хг(г = 1, 2, ...) действительны, а соответствующие собственные функции удовлетворяют соотношению [1]
|( Я (г) х; (г), хк( г ))йг = 0 при Х; *Хк
(2.2)
Краевое условие (2.1) аналитически зависит от ф, поэтому Хг(ф) и собственные функции хг(г, ф) аналитичны по ф.
При Х = 1 уравнение (2.1) совпадает с (1.1). Поэтому, если Хг(фк) = 1 при некоторых г и фк, то уравнение (1.1) имеет мультипликатор р = ехр(гфк) (который может быть и кратным, даже если собственное значение Хг(фк) простое). Таким образом, точки, в которых графики функций Хг(ф) пересекают или касаются прямой Х = 1, указывают положение мультипликаторов уравнения (1.1) на единичной окружности. Так, в ситуации, представленной на фиг. 1, на верхней полуокружности лежат четыре мультипликатора (как следует из дальнейших результатов, мультипликаторы в точках и ф3 простые, в точках ф2 и ф4 - кратные).
Пусть рк = ехр( гфк) - мультипликатор кратности г > 1 с простыми элементарными делителями, тогда краевая задача (2.1) при ф = фк имеет г-кратное собственное значение Х = 1. Пусть Хр(ф) (р = 1, ..., г) - соответствующие аналитические функции (Хр(фк) = 1); обозначим Хрф(фк) = йХр(ф)/ й ф|ф = фк.
0
Т
0
Лемма 1. Справедливо неравенство
)* Р = г (2.3)
Доказательство. Собственному значению Хр(ф) (p = 1, ..., r) отвечает собственная функция xp(t, ф) = ехр(гфГ/Г)1р(Г, ф), где fp(t, ф) = tp(t + T, ф). Подставив xp(t, ф) в уравнение (2.1), получим
Jfp + 2nmT 1 fp = XpRfp - iфГ1 Jfp (2.4)
Дифференцируя соотношение (2.4) по ф и учитывая равенство А,р(фк) = 1, найдем, что f^(t) = = 3fp(t, ф)/Эф|ф _ ф удовлетворяет уравнению
Jfpф + 2nmT-'fpф = Rfрф - iфkT1 Jfpф + Р(t) (2.5)
где
p(t) = - iT-1Jfp(t, фк) + ХрфR(t)fp(t, фк)
Неоднородное уравнение (2.5) имеет T-периодическое решение, если только T
J(p(t), Zp(t))dt = 0, p = 1, 2, ... (2.6)
0
где Zp(t) - T-периодические решения однородного сопряженного уравнения
Z = -H(t) Jz - iфkT~1z (2.7)
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что уравнение (2.7) имеет решения zp = Jfp(t) (р = 1, ..., r), поэтому из условия (2.6) с учетом равенства (fp,iJfp) = const, найдем
T \-1
^РФ = (fр, iJfр)
J(Rfр, fp)dt
(2.8)
Заметим, что (1р, Шр) - действительное число, так как
({р, тр)* = (Шр, 1р) = ({р, Шр)
Так как функции хр^, ф) непрерывны по ф, то равенство (2.2) сохраняется и при Х;(ф) = = Хк(ф). Поэтому из соотношения (2.8) аналогично получим
(1р, шк) = о, к ф р, р = 1.....г (2.9)
Как следует из условия (1.5), (1р, г'Лк) = 0 при ар + а* Ф 0, поэтому равенство (2.9) справедливо при всех р Ф к. Так как функция не может быть ортогональной 2п линейно независимым функциям Лк, то (1р, Шр) Ф 0; следовательно, Хрф/ Ф 0.
Из доказанной леммы следует, например, что мультипликаторам в точках ф2 и ф4 (фиг. 1) отвечают непростые элементарные делители (соответствующие производные ^¿ф(ф«) = °).
Замечание. Как отмечалось выше, в основе существующей теории канонических систем лежит введенное Крейном деление мультипликаторов на роды [4]. Если при условии (2.9) (1р, Шр) > 0 ((1р, Шр) < 0) для всехр = 1, ..., г, то данный г-кратный мультипликатор называется мультипликатором первого (второго) рода [5]. Как видно из выражения (2.8), при этом все производные функций Ар(ф) (р = 1, ...,г, А,р(фк) = 1) в точке фк соответственно положительны либо отрицательны (Я^) > 0). Таким образом, лемма 1 придает делению мультипликаторов на роды наглядный геометрический смысл. Ниже, однако,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.