ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 3, 2004
УДК 539.3
© 2004 г. Л. М. Зубов
О БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Предложена точная нелинейная теория пространственного изгиба цилиндрических (призматических) упругих тел. При пространственном изгибе каждая материальная прямая, параллельная оси призматического бруса, после деформации превращается в винтовую линию. Все эти винтовые линии имеют общую ось, ортогональную первоначальной оси стержня. Данная пространственная задача нелинейной теории упругости сведена к двумерной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения бруса. Решение полученной двумерной задачи позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия в объеме цилиндрического тела и граничным условиям на боковой поверхности призмы. Краевые условия на торцах бруса выполняются в интегральном смысле. Система сил, действующих в концевом сечении цилиндра, статически эквивалентна силе и моменту, которые приложены в точке оси указанных выше винтовых линий и направлены вдоль этой оси. Даны вариационные постановки нелинейной краевой задачи на сечении бруса, испытывающего пространственный изгиб.
1. Двупараметрические семейства конечных деформаций призматического бруса.
Система уравнений эластостатики упругого тела при отсутствии массовых сил состоит [1] из уравнений равновесия
Шу Б = 0 (1.1)
уравнений состояния
Б = <Ш!йС = Р • С, Р = 2dW/dG (1.2)
и геометрических соотношений
О = С • СТ, С = К, К = Хк\к (1.3)
Здесь С - градиент деформации, Хк (к = 1, 2, 3) - декартовы координаты частиц деформированного тела (эйлеровы координаты), О - мера деформации Коши, 1к - координатные орты, Б - несимметричный тензор напряжений Пиолы, Р - симметричный тензор напряжений Кирхгофа, W(G) - удельная потенциальная энергия деформации упругого материала, Шу и - операторы дивергенции и градиента в лагранжевых координатах. В качестве последних в дальнейшем будем использовать декартовы координаты отсчетной конфигурации тела х/^ = 1, 2, 3). В случае изотропного материала удельная энергия W выражается через инварианты тензора О
11 = й-0, 12 = 2 (О"2 О -О-О2), 13 = det О
Система (1.1)—(1.3) легко сводится к системе трех скалярных нелинейных уравнений с неизвестными функциями Хх, Х2, Х3 и независимыми переменными х1, х2, х3.
Далее приводятся частные решения системы уравнений (1.1)—(1.3), содержащие неизвестные функции только двух лагранжевых координат. Каждое из этих решений представляет собой двупараметрическое семейство деформаций, которые описываются при помощи функций
Xk = Xk(xi, Х2, Хз), k = 1, 2, 3
Предположим, что упругое тело в отсчетной конфигурации имеет форму цилиндра (призмы) произвольного поперечного сечения. Образующие цилиндра параллельны оси x3, а координаты x1, x2 отсчитываются в плоскости поперечного сечения. Рассмотрим следующее двупараметрическое семейство деформаций цилиндрического тела
Xi = Mj(x^, ) + lx3
X2 = M2(xi, x2)cosюx3- M3(x1; x2)sinюx3
(1.4)
X3 = u2(x1; x2) sinюx3 + u3(x1; x2)cosrax3
ю, l = const
Нетрудно видеть, что при деформации вида (1.4) каждая материальная прямая x1 = = const, x2 = const, параллельная в отсчетной конфигурации оси цилиндра, после деформации превращается в простую винтовую линию, осью которой является прямая X2 = X3 = 0. При l = u3 = 0 формулы (1.4) описывают исследованный ранее [2] чистый изгиб призматического бруса в плоcкости x2x3. На основании соотношений (1.2)-(1.4) находим (uk, а = duk/dxa)
С(xj, x2, x3) = CSk(xi, x2)is ® jk, G = CsmCkJs ® ik
j1 = i1, j2 = i2cos ю x3 + i3sin ю x3, j3 = - i2sin ю x3 + i3cos ю x3 (1.5)
Cak = uk, а> а = 1> 2 k = 1> 2 3 C31 = l, C32 = -юи3» C33 = юи2
Видно, что мера деформации Коши G не зависит от координаты x3. Если упругое тело однородно по координате x3, то тензор напряжений Кирхгофа P согласно уравнению (1.2) будет функцией только координат x1, x2. Однородность тела по координате x3 означает, что удельная упругая энергия W может явно зависеть от координат x1, x2, но не зависит явно от x3: W = W(G, x1, x2). При этом материал может быть анизотропным.
Из соотношений (1.2), (1.5) для тела, однородного по координате x3, имеем
D(x1, x2, x3) = Dsk(x1, x2)is ® jk (1.6)
С учетом равенства (1.6) уравнения равновесия (1.1) запишем в виде
D11,1+ D21,2 = 0, D12,1+ D22,2-юDзз = 0, D13,1+ D23,2 + ю D32 = 0 (1.7)
Учитывая соотношения (1.2), (1.5), видим, что уравнения (1.7) представляют собой систему трех скалярных уравнений относительно трех функций двух переменных uk(xx, x2) (k = 1, 2, 3). Если на боковой поверхности призмы с единичной нормалью n = n1i1 + n2i2 задана распределенная внешняя нагрузка f, то граничные условия на этой поверхности имеют вид
n• D = f (1.8)
Предположим, что вектор распределенной нагрузки f может быть представлен в форме f = f*- С, где вектор f* не зависит от координаты x3. Тогда краевые условия
(1.8) для деформации вида (1.4) ие будут содержать переменной x3 и вместе с уравнениями (1.7) образуют двумерную краевую задачу для плоской области в форме поперечного сечения призмы. Примером поверхностной нагрузки, для которой вектор f* не зависит от x3, может служить гидростатическое давление, равномерно распределенное по боковой поверхности.
Если u3 = l = 0, то, как показано ранее [2], в случае изотропного материала выполняются равенства D13 = D31 = D23 = D32 = 0. Поэтому третье из уравнений (1.7) удовлетворяется тождественно. Если, кроме того, f ■ j3 = 0, то удовлетворяется тождественно также одно из трех краевых условий в (1.8).
Наряду с (1.4) существуют еще два семейства деформаций цилиндрического бруса, для которых исходная система уравнений эластостатики редуцируется в систему с двумя независимыми переменными Xj, x2. Эти семейства задаются соотношениями
X, = V,( Xj, x2 ) cos в x3- v3( Xj, x2) sin в x3
X2 = v2(x,, x2) + tx3
2 212 3 (1.9)
X 3 = x,, x2) sin в x3 + u3( x,, x2) cos в x3
в, t = const
X = w1 (x,, x2) cos^x3 - W2(x,, x2) sin^x3
X2 = w,(x,, x2)sinyx3 + w2(x,, x2)cosyx3
X3 = w3(x,, x2) + Xx3
у, X = const
Семейство (1.9) не имеет принципиальных отличий от семейства (1.4), так как описывает пространственный изгиб бруса, при котором его ось превращается в винтовую линию. Ось этой винтовой линии параллельна орту i2, в то время как для семейства (1.4) она параллельна орту i:. При и3 = t = 0 семейство (1.9) описывает чистый изгиб призматического стержня в плоскости x:x3.
Семейство (1.10), представленное ранее [3] в другой форме, существенно отличается от (1.4) и (1.9), так как описывает осевое растяжение-сжатие и кручение призматического бруса. Постановка и решение двумерной краевой задачи на сечении бруса, возникающей в нелинейной теории кручения, содержится в [3, 4].
2. Формулировка двумерной краевой задачи на сечении бруса. Рассмотрим более подробно формулировку двумерной краевой задачи для плоской области о в форме поперечного сечения призматического бруса, испытывающего пространственный изгиб, т.е. деформацию вида (1.4). Боковую поверхность бруса будем предполагать свободной от нагрузки. Краевая задача на сечении бруса состоит из граничных условий (1.8), в которых f = 0, и из уравнений равновесия (1.7), в которых величины Dsk предполагаются выраженными через неизвестные функции двух переменных uk(xx, x2) (k = 1, 2, 3) при помощи определяющих уравнений (1.2) и кинематических соотношений (1.5). Постоянные ю и l считаются заданными параметрами.
Пусть u° (x1, x2) - некоторое решение указанной краевой задачи. Тогда, как легко проверить, функции
U, = U° + L, U2 = u° cos K - u° sin K, U3 — U2 sin K + u3 cos K (2.1)
где K и L - произвольные действительные постоянные, также удовлетворяют уравнениям (1.7) и граничным условиям (1.8). Это означает, что положение упругого те-
ла после деформации определяется с точностью до поворота вокруг оси X1 и поступательного смещения вдоль той же оси. Отмеченную неоднозначность решения можно устранить, наложив на неизвестные функции дополнительные условия, исключающие возможность произвольного поворота вокруг орта i1 и произвольного смещения вдоль этого орта. В качестве таких условий можно использовать, например, следующие интегральные соотношения:
JJ(u1- X!) da = 0 (2.2)
а
JJ( cos 9 -1) da = 0, cos 9 = - 1 + 2 — (2.3)
а л/( u2,1 + u3,2 ) + ( u3,1 — u2,2 )
Краевую задачу (1.7), (1,8), (2.2), (2.3) на сечении призмы можно преобразовать, исключив функции uk и приняв за основные неизвестные другие величины. В результате исключения функций ык из выражений для Csk (1.5) получим уравнения совместности относительно компонент градиента деформации
C11,2 = C21,1, C33, а = ®Са2, C32, а = Са3; а = 1 2 (2.4)
Нетрудно проверить, что в односвязной области а функции u1, u2, u3 определяются однозначно заданными функциями Cak, C32, C33 (а = 1, 2; k = 1, 2, 3), удовлетворяющими уравнениям (2.4), при условии, что задано значение функции ux в некоторой точке области а.
Так как согласно уравнению (1.2) компоненты тензора напряжений Пиолы Dsk выражаются через величины Cmn, уравнения равновесия (1.7) вместе с уравнениями совместности (2.4) образуют систему восьми уравнений с восемью неизвестными. Число неизвестных функций Csk(x1, x2) (s, k = 1, 2, 3) равно восьми по той причине, что компонента C31 согласно (1.5) является известной постоянной. Краевые условия на контуре Эа поперечного сечения бруса
П1 D1k + П2D2k = о, k = 1, 2, 3 (2.5)
представляют собой нелинейные ограничения на значения функций Csk(x1, х2).
Краевая задача (1.7), (2.4), (2.5), описывающая пространственный изгиб упругого бруса и сформулированная через компоненты тензора С, как легко проверить, нечувствительна к следующей замене неизвестных функций (K = const):
C ^ C • [(E - i1 ® i1)cosK + i1 ® i1 - i1 x EsinK]
где E - единичный тензор. Указанная неоднозначность решения устраняется при помощи ограничения (2.3), в котором теперь cos 9 должен быть выражен в терминах Csk:
cos 9 = - C12 + C23 - (2.6)
Л/( C12 + C23 ) + ( C13 — C22 )
Надобность в условии (2.2), очевидно, пропадает, если за неизвестные принять компоненты тензора C.
Вместо компонент г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.