ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 6, ¡>004
УДК 539.3
© 2004 г. Д. В. Георгиевский, Б. Е. Победря
О ЧИСЛЕ НЕЗАВИСИМЫХ УРАВНЕНИЙ СОВМЕСТНОСТИ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА
Число независимых уравнений совместности в напряжениях, которые включаются в постановку задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях в Rn, совпадает с числом уравнений совместности Сен-Вена-на в R" и с числом независимых компонент тензоров Крёнера и Римана-Кристоффеля. Наличие тождеств Бьянки не уменьшает это число. Приводятся некоторые контрпримеры, показывающие невозможность сокращения числа уравнений Бельтрами-Мичелла с шести до трех в классической и новой постановках задачи в напряжениях для трехмерного тела.
1. Число независимых уравнений совместности Сен-Венана. Для записи уравнений совместности Сен-Венана [1] в компактном виде обычно вводят в рассмотрение тензор несовместности Крёнера [2]. В R" это объект h{2n - 4} = Inke{2} ранга 2n - 4 с декартовыми компонентами
-2j1-Jn-2 = %-in-2kl€Jl ■■■ Jn-2mP£lm. kP (1.1)
где €; i - символ Леви-Чивиты в Rn, e{2} - тензор деформаций. Действительно, обращение в нуль всех компонент n^ i j j представляет собой необходимое, а для односвязной области V и достаточное условие интегрируемости системы Коши u, J + Hjt i = 2i, j = 1, . . . , n (1.2)
Таким образом, число Nn независимых компонент (1.1) совпадает с искомым числом независимых уравнений совместности деформаций.
Для n = 2 тензор Крёнера является скаляром (N2 = 1), для n = 3 - симметричным тензором второго ранга (N3 = 6). Из определения (1.1) видно, что для любого n тензор h{2n - 4} антисимметричен по всем парам из своих первых n - 2 индексов, а также из n - 2 последних. Умножая обе части равенства (1.1) на А qs€j j tr и суммируя по повторяющимся 2n - 4 индексам, нетрудно прийти к эквивалентным (1.1) соотношениям
2Rsqtr = £st, qr + £qr, st — £sr, qt — £qt, sr = 0 (1.3)
где R{4} - тензор кривизны или тензор Римана-Кристоффеля, ранг которого равен четырем для любого n. Для его компонент имеют место классические виды симметрии
Rsqtr = Rqstr = Rsqrt = Rtrsq (1.4)
и тождества Риччи
Rsqtr + Rstrq + Rsrqt = 0 (1.5)
Таким образом, тензор несовместности h{2n - 4} и тензор кривизны R{4} - двойственные (дуальные) тензоры, а следовательно, имеют одинаковое число независимых компонент. Геометрический смысл уравнений совместности (1.3) состоит в том, что сплошная среда в недеформированном и деформированном состояниях принадлежит евклидову пространству, для которого Rsqtr = 0.
В трехмерном случае шесть уравнений (1.3) были получены Сен-Венаном (1860 г.), а позже Буссинеск (1871), Бельтрами (1889) и Чезаро (1906) [3] доказали их достаточность для односвязной области V.
Видно, что в R" равенства (1.3) могут быть разделены на три группы.
1°. Все свободные индексы s, q, t and r различны (этот случай реализуется, начиная с n = 4). Не будем выписывать получающиеся соотношения, а подсчитаем лишь их число Nn1. С учетом симметрий (1.4) и тождеств Риччи (1.5) имеем
Nn1 = 3СП - C4n = n(n -1)(n -2)(n -3)/12
2°. Только один из пары свободных индексов s, q совпадает с одним из пары t, r (n > 3). Тогда
Nn2 = 3C3 = n(n -1)(n -2)/2
3°. Пары индексов s, q и t, r совпадают и
Nn3 = bn = n(n -1)/2
В итоге имеем
Nn = Nn 1 + Nn2 + Nnз = n (n2 - 1)/12 (1.6)
Почти с момента вывода равенств (1.3) [4] периодически возобновляются дискуссии о выделении среди всех группы независимых уравнений и выражении остальных через эти независимые [5, 6] (см. также список литературы в [7]). Кажущимся аргументом служит то, что Nn при n > 2 больше степени переопределенности bn системы Коши (1.2) (N2 = b2 = 1). Более того, Nn ~ n4 с ростом n, в то время как bn ~ n2. На помощь часто привлекаются тождества Бьянки
Rsqtr, p + Rsqrp, t + Rsqpt, r = 0 (1.7)
которые нетрудно переписать в терминах третьих производных от компонент еу. Для n = 3 независимых тождеств (1.7) как раз три, что вроде бы устраняет невязку N3 - b3 = 3, поэтому их наличие отождествляется с зависимостью шести уравнений совместности деформаций.
Необходимо заметить, что с ростом n число тождеств Бьянки (1.7) растет как
С2пСЪп ~ n5, что даже формально не разрешает невязку Nn - bn ~ n4. К тому же тождества (1.7) являются дифференциальными связями третьего порядка, наложенными на еу, а не дополнительными уравнениями совместности.
Приведем иллюстрирующий пример. Пусть функцияf(xt, ..., xn) удовлетворяет системе n дифференциальных уравнений
Ф1 = df/d Х1 = 0,...,ф„ = df / д xn = 0 (1.8)
которая совместна и имеет решение f = const. Кроме того, все уравнения (1.8), очевидно, независимы (в том смысле, что вычеркивание хотя бы одного из них приводит к неэквивалентной системе). Степень переопределенности данной системы равна n - 1. При этом существуют n(n - 1)/2 независимых тождеств ф; у - фу ; = 0, играющих роль тождеств (1.7), наличие которых не устраняет невязку n - 1 и не делает какие-либо из уравнений (1.8) зависимыми от других.
2. Постановка задачи теории упругости в напряжениях. С изложенным выше тесно связаны вопросы о различных постановках задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях. Положим ниже п = 3 и не будем писать вверху ранги тензоров е{2}, ст{2) и "{2).
Как известно [8], классическая постановка статической задачи изотропной теории упругости в напряжениях заключается в решении в трехмерной области тела V трех уравнений равновесия, записанных в векторном виде
8 = Б1Уст + рР = 0, г е V (2.1) шести уравнений совместности Сен-Венана
^(ст) = 0, г е V (2.2) где "Л - тензор несовместности Крёнера с декартовыми компонентами
= еШе]шр£1ш, кр (2.3)
следующими из соотношений (1.1), а также удовлетворении на границе X = V трем статическим граничным условиям
ст • п = Р(0), г еХ (2.4)
Здесь рР и Р(0) - заданные объемные и поверхностные нагрузки, ст и е - тензоры напряжений и малых деформаций, связанные между собой законом Гука
е = 1 [ ^о1 + (1+ V) ст ], о = ^ ст (2.5)
Е 3
Система (2.1), (2.2) эквивалентна системе трех уравнений (2.1) и шести уравнений Бельтрами-Мичелла, записанных в тензорном виде
Н = Аст + 1+^Огаё(§гаёо) + 2рБеГР + (&уР)I = 0, г е V (2.6)
Решение краевой задачи (2.1), (2.2), (2.4) (или (2.1), (2.6), (2.4)) единственно, если Е > 0 и -1 < V < 1/2. Классической постановке (2.1), (2.6), (2.4) ставится в соответствие вариационная постановка для функционала Кастильяно. На этом вариационном принципе основан метод Филоненко-Бородича приближенного решения статической задачи теории упругости в напряжениях [9].
Со времени вывода Мичеллом (1900 г.) уравнений (2.6), а еще ранее Бельтрами (1892) этих же уравнений в случае отсутствия объемных сил, многие исследователи задавались вопросом о переопределенности классической постановки, так как число уравнений (2.1), (2.6) в области V на три больше числа неизвестных компонент тензора ст. Вместе с тем граничных условий (2.4) на три меньше числа неизвестных функций. В связи с этим из девяти уравнений (2.1), (2.6) три (в различном сочетании) предлагалось снести на границу X.
Эти вопросы, разумеется, созвучны с обсуждавшимся в разд. 1 вопросом о числе независимых уравнений совместности Сен-Венана. Кажущуюся переопределенность устраняет новая постановка задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях, предложенная одним из авторов [10, 11]. Применительно к изотропной теории упругости она заключается в нахождении шести компонент симметричного тензора ст из решения шести уравнений (2.6) в области V при удовлетворении на X трем граничным условиям (2.4) и трем условиям
8 = 0, г е X (2.7)
От классической данная постановка отличается тем, что выполнение уравнений равновесия требуется только на границе тела (в том числе на бесконечности, если тело неограниченно). Впервые доказана теорема существования решения задачи теории упругости в напряжениях, ее эллиптичность и сформулирован новый вариационный принцип для некоторого скалярного оператора, зависящего от градиента напряжений.
Однако существуют работы, в которых предпринимаются попытки из девяти уравнений (2.1), (2.6) в области V снести на границу вместо (2.7) другие тройки, составленные из уравнений Бельтрами-Мичелла (2.6). Среди них чаще всего встречаются тройки, соответствующие трем диагональным компонентам тензора H либо трем недиагональным.
3. Некоторые контрпримеры. Приведем примеры, иллюстрирующие неэквивалентность получающихся в таком случае постановок и классической постановки задачи теории упругости в напряжениях. Для определенности положим F = 0, выберем сферическую систему координат (г; 0; ф) и ограничимся случаем, когда поле напряжений не зависит от меридионального угла ф. Тогда
Sr = °гг, г +Г °г0,0 +Г (2°гг - G00 - °фф + °г0 ctg 0)
S0 = Пг0, г +гп00,0 + г((ö00 - °фф) ctg 0 + 3°г0)
Бф = °гф, г +г°0ф,0 + г(3пгф + 2°0фctg 0)
1 2 1
A°aß = -2 ( г G«ß, г ),г + "-- (ОаМ Sin 0),0, a,ß = Г,0,ф
г г sin 0
Пример 1. Пусть задача заключается в решении шести уравнений в области тела
Бг = S0 = Sp = 0, Нг0 = Н0ф = Нгф = 0, r е V (3.1)
при удовлетворении шести условиям на границе: трем статическим (2.4), а также условиям
Нгг = Н00 = Н фф = 0, r е! (3.2)
Предъявим поле напряжений, которое будет решением задачи (3.1), (2.1), (3.2), но не будет решением задачи (2.1), (2.6), (2.4) (или (2.6), (2.4), (2.7)). Выберем
V = {r: г < R}, ! = {r: г = R} (3.3)
P0r = 3R4, P°o = Рф = 0, r е ! (3.4)
и положим, например,
10 R2 г2
(3.5)
п = 3г4 - 10 R? + 10 R2 г2
°ее = °фф = 9 г" - 25 Rr3 + 20 R2 г'' s 0
Непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнения (3.1) всюду в V и граничные условия (2.4) с нагрузками (3.4) на поверхности сферы (3.3) выполнены. Кроме того,
Hrr = 60(r-Rf + l+Ov(r-R)(7r-5R) Ф 0
Нее = Нфф = 60(r-R)(3r-2R) Ф 0
что говорит о выполнении условий (3.2) и невыполнении условий (2.6).
(3.7)
(3.8)
Пример 2. Пусть задача заключается в решении шести уравнений в области тела Sr = Se = = 0, Hrr = Hee = Яфф = 0, r e V (3.6)
при удовлетворении трем статическим условиям (2.4), а также условиям Hre = неф = Нгф = 0, r e X Hre = неф = нгф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.