ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 4, с. 3-12
УДК 550.31
О ДИАПАЗОНЕ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАССЫ И МОМЕНТА
ИНЕРЦИИ ЖИДКОГО ЯДРА. I. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ О НУТАЦИИ И СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗЕМЛИ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПО ОРТОГОНАЛИЗОВАННОМУ БАЗИСУ
© 2013 г. С. М. Молоденский, М. С. Молоденский
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 11.10.2012 г.
Приведены результаты решения обратной задачи о вынужденной нутации и собственных колебаниях Земли, основанные на разложениях распределений добротности и малых вариаций плотности с глубиной по системе ортогональных функций, определяемых методом ортогонализации функциональных производных от наблюдаемых параметров по распределениям искомых параметров с глубиной (при условиях неизменности распределений скоростей объемных сейсмических волн Ур и с глубиной, а также полных массы М и моментов инерции Земли I). Приведены примеры численного решения обратной задачи определения распределений плотности в мантии и ядре Земли, основанные на ортогонализации интегральных ограничений на возможные распределения плотности с глубиной, описывающих условия неизменности значений М, I, а также условий, накладываемых данными о периодах собственных колебаний Земли низких порядков.
БО1: 10.7868/80002333713030095
1. ВВЕДЕНИЕ
Современные модели внутреннего строения Земли построены на основе решения обратных задач, существенно различающихся как по относительной точности используемых в них исходных данных, так и по характеру неоднозначности получаемых решений.
Наибольшей относительной точностью обладают сейчас данные об амплитудах вынужденной нутации Земли (порядка 10-3—10-5), данные об амплитудах главных приливных волн (по внутренней сходимости — порядка 10-5), данные о периодах радиальных собственных колебаний (порядка 10-5—10-4) и данные о сфероидальных и крутильных колебаний всех остальных типов (порядка 10-4—10-3). Как было показано в работах [Молоденский, 2010; 2011а; 2011б; 2012], совместный анализ этих данных открывает принципиально новые возможности исследования внутреннего строения Земли в низкочастотном диапазоне периодов порядка суток, года и сотен миллионов лет (что соответствует периодам приливов, вынужденной нутации, чандлеровского движения полюса и времени, характеризующего вековое замедление скорости суточного вращения Земли и связанного с ним изменения динамического сжатия жидкого ядра).
При анализе новых радиоинтерферометриче-ских данных оказалось возможным не только уточнить те параметры, которые уже исследова-
лись ранее сейсмическими методами, но и исследовать неизвестные ранее свойства Земли (сюда можно отнести данные об эллиптичности границы жидкого ядра с мантией и твердого внутреннего ядра, о функции крипа мантии и параметрах механической добротности мантии в диапазоне сверхнизких частот, о вязкости жидкого ядра, о величине электромагнитной связи жидкого ядра с мантией и о возможных значениях электропроводности нижней мантии, о возможных распределениях частоты Брунта—Вяйсяля в мантии и ядре, о горизонтальных неоднородностях нижней мантии [Молоденский, 2010]).
В работах [Молоденский, 2011а; 2011б] были представлены результаты решения обратной задачи построения радиально симметричных частотно зависимых моделей внутреннего строения Земли, наилучшим образом согласующихся со всей совокупностью современных данных об амплитудах и фазах приливов и вынужденной нутации, а также о периодах и декрементах затуханий собственных колебаний.
Минимизация невязок осуществлялась методом градиентного спуска в пространстве параметров, определяющих плотность (при условиях неизменности скоростей сейсмических волн, полной массы и полного момента инерции) и функции крипа на разных глубинах. Допустимые вариации плотности определялись комбинациями двадцати параметров, а вариации реологических свойств мантии — значениями сорока параметров. Кроме
того, независимо варьируемыми считались комплексные параметры эффективного динамического сжатия твердого внутреннего ядра и внешнего жидкого ядра (мнимые части которых определяются диссипативной связью твердое ядро—жидкое ядро—мантия; об их определении см. [Молоден-ский, 2010]. Таким образом, общее количество независимо варьируемых параметров составляло 40 + 20 + 2 х 2 = 64. В качестве исходной использовались модели PREM для периодов колебаний 1 с и 200 с и трехпараметрическая модель, наилучшим образом согласующаяся с данными о приливах и нутации Земли в близсуточном диапазоне [Моло-денский, 2010] для периода колебаний 24 часа.
Были построены модели, значительно лучше согласующиеся с данными наблюдений не только во всем диапазоне периодов от одной секунды до 14 месяцев, но и в более узких диапазонах. Так например, в диапазоне периодов собственных колебаний (от ~1 минуты до 54 минут) средне-квадратические ошибки частот радиальных колебаний уменьшаются в 12 раз, основных тонов сфероидальных колебаний (n = 2, ..., 15) уменьшается в 4 раза, крутильных колебаний — в 2 раза, амплитуд главных компонент вынужденной нутации — в 2.5 раза. При этом относящаяся к периоду колебания 1 с модель PREM остается практически неизменной (в пределах ошибок наблюдений времена прохождения объемных продольных и поперечных волн совпадают с теми же временами для модели PREM).
Вопрос об однозначности решений обратных задач в простейшей постановке анализировался в работах [Молоденский, 2011а; 2011б]. Для оценки неоднозначности решений сравнивались модели, получаемые на основе одного и того же алгоритма минимизации интегральных невязок, но при разных начальных условиях (которые получались путем малого варьирования моделей PREM при условиях неизменности распределений скоростей продольных и поперечных волн на всех глубинах, а также полных массы и момента инерции Земли).
По-видимому, наименьший произвол присутствует в решениях классических обратных задач сейсмологии (определения скоростей объемных продольных и поперечных волн по временах первых вступлений); вопрос о независимом определении тех же параметров по данным о частотах собственных колебаний и об амплитудах вынужденной нутации и о чандлеровском движении полюса вызывает интерес в связи с возможностью определения зависимости модулей сдвига от частоты в весьма широком диапазоне периодов от одной секунды до 14 месяцев [Молоденский, 2011б].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Одно из возможных решений задачи о зависимости модулей сдвига от частоты в значительно
более узком диапазоне периодов от 1 с до 200 с определяется моделями PREM1 (относящейся к периодам объемных сейсмических волн ~1 с) и PREM200 (относящейся к периоду 200с) [Mas-ters,Wildmer, 1995]. Значения разностей модулей сдвига для этих моделей удовлетворительно описываются гипотезой о логарифмических функциях крипа в мантии на всех глубинах (согласно которой параметры добротности мантии на всех глубинах не зависят от частоты). Обнаруженная в моделях PREM (1 с) и PREM (200 с) зависимость модулей сдвига от частоты в рамках этой гипотезы удовлетворительно согласуется почти со всей совокупностью данных о декрементах затуханий собственных колебаний Земли (исключение составляют данные о декрементах затуханий основного сфероидального колебания второго порядка, наблюденный декремент затухания которого заметно ниже теоретического).
Наименее исследованным нам представляется вопрос о неоднозначности определения распределений плотности. Получаемая сейсмическими методами информация о распределениях скоростей
продольных и поперечных волн Vp = д/(Х + 2|)/р и
VS = д/2ц/р с глубиной (где X, ц, р — параметры Ламе и плотность соответственно) накладывают лишь два условия на три неизвестных параметра X, ц, р. Варьирование р при условиях неизменности Vp, VS, а также полной массы и полных моментов инерции Земли приводит к заметным изменениям частот собственных колебаний низких порядков, амплитуд приливов и амплитуд вынужденной нутации Земли. Приравнивая эти изменения к имеющимся невязкам между данными наблюдений и результатами численных расчетов, нетрудно получить систему интегральных уравнений для искомых вариаций плотности. Однако, из-за малого изменения частот собственных колебаний высоких порядков, общее количество этих уравнений относительно невелико, и неоднозначность определения плотности остается весьма значительной. Как было показано в работах [Молоденский, 2011а; 2011б], эта неоднозначность значительно возрастает из-за неопределенности зависимости параметров добротности мантии от частоты (даже малые изменения реологических моделей приводят к большим изменениям в оптимальных распределениях плотности).
Следует отметить, что в общей постановке задача о неоднозначности построения моделей Земли во всем диапазоне периодов от 1 с до 14 месяцев чрезвычайно трудна и не получила еще своего решения не только при интерпретации всей совокупности астрометрических и сейсмических данных, но и в значительно менее сложных задачах интерпретации одних только данных о распределениях скоростей объемных сейсмических волн или
одних только данных о периодах и декрементах затуханий собственных колебаний Земли.
Поэтому в качестве первого шага нам представляется целесообразным рассмотреть решение задачи в несколько ограниченной постановке.
В работах [Молоденский, 2011а; 20116] содержатся примеры альтернативных по отношению к широко известным моделям PREM моделей Земли (с варьированными распределениями плотности и параметров добротности Qmu, зависящих от радиуса сферического слоя r и от частоты колебания f), которые с необходимой точностью удовлетворяют не только всем современным сейсмическим данным и данным о собственных колебаниях Земли, но и данным о вынужденной нутации Земли. Это свидетельствует о неоднозначности решения обратной задачи совместного определения распределений плотности и параметров добротности мантии с глубиной.
Для определения всех возможных решений обратной задачи сейсмологии, собственных колебаний и астрометрии следовало бы ортогонализо-вать функциональные производных всех наблюдаемых величин по искомым распределениям плотности и параметров доб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.