ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 40, № 9, с. 627-637
УДК 524.354.4
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ ВРАЩЕНИИ ПОЛЯРНЫХ ШАПОК
НЕЙТРОННЫХ ЗВЕЗД
© 2014 г. А. И. Цыган1*, Д.П.Барсуков1'2, О. А. Гогличидзе3, Д. А. Шалыбков3
1 Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, Санкт-Петербург 2Санкт-Петербургский государственный политехнический университет 3Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе, Санкт-Петербург
Поступила в редакцию 31.03. 2014 г.
Рассмотрена модель замагниченной вращающейся нейтронной звезды с электрическим током в области жидких полярных магнитных шапок. Наличие электрического тока приводит к диффенци-альному вращению магнитных шапок. Структура вращения определяется распределением плотности электрического тока по поверхности. В простейшей осесимметричной конфигурации ток течет в одном направлении вблизи центра полярной шапки и в противоположном направлении во внешнем кольце (полный ток равен нулю для сохранения заряда нейтронной звезды). В этом случае на поверхности нейтронной звезды возникают два кольца с противоположным направлением вращения, причем внутреннее кольцо всегда отстает от основного вращения звезды. Величина скорости дифференциального вращения прямо пропорциональна градиенту плотности электрического тока вдоль радиуса полярной шапки. При ширине области изменения электрического тока от 1 см до 102 см и типичных для радиопульсаров периоде си магнитном поле В ~ 1012 Гс линейная скорость дифференциального вращения составляет величину порядка 10~2 — 10~4 см/с (что соответствует времени оборота порядка 0.1-10 лет).
Ключевые слова: пульсары, нейтронные звезды. 001: 10.7868/80320010814090046
ВВЕДЕНИЕ
Для вращающихся замагниченных нейтронных звезд существующие модели магнитосферы (Гол-драйх, Джулиан, 1969; Бескин, 2006; Бескин и др., 2013) предсказывают существование электрического тока в области открытых силовых линий магнитного поля. В частности, в модели свободного истечения зарядов (например, электронов) (Шарлеманн, 1978; Аронс, 1979), а также в модели внутреннего зазора (Старрок, 1971; Рудерман, Сазерленд, 1975) плотность электрического тока равна
3 =
О.В сов % 2тг '
(1)
где % — угол между угловой скоростью П и магнитным полем В на поверхности звезды. Согласно токовой модели торможения радиопульсара (Джонс, 1976; Бескин и др., 1983), по боковой поверхности пульсарной трубки течет ток противоположного направления такой, что полный электрический ток
Электронный адрес: tsygan@astro.ioffe.ru
равен нулю и заряд системы остается неизменным. В настоящей работе будем считать, что поверхностный слой нейтронной звезды представляет собой электропроводящую жидкость. Для этого температура поверхности должна быть больше 106 K (Хансель и др., 2007). Отметим, что при таких температурах, как раз, и реализуется режим свободного истечения зарядов с поверхности (Кантор, Цыган, 2003).
При прохождении через жидкий проводящий слой электрический ток частично течет поперек силовых линий магнитного поля. При этом на жидкую проводящую среду действует сила Лоренца, которая вызывает дифференциальное вращение жидкости. Целью работы является расчет скорости этого дифференциального вращения в рамках маг-нитогидродинамического подхода.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Будем считать, что верхний слой полярной шапки толщиной й представляет собой несжимаемую проводящую жидкость с постоянными плот-
ностью р, электрической проводимостью а и кинематической вязкостью v. Полярная шапка имеет радиус R = Rm ^/f2.Rns /с, где Q = 2п/Р — угловая скорость вращения нейтронной звезды, Rns ~ ~ 106 см — ее радиус. При периоде пульсара порядка 1 с радиус полярной шапки составляет ~104 см. Глубина жидкого слоя равна d ~ 3 х х 103 см (Хансель и др., 2007). Так как и глубина жидкого слоя, и радиус полярной шапки много меньше радиуса нейтронной звезды, то слой можно считать плоским и дипольное магнитное поле B однородным и перпендикулярным поверхности.
Стационарное течение проводящей несжимаемой жидкости описывается уравнениями магнитной гидродинамики (Ландау, Лифшиц, 1992):
(U-V)U = --VP+ (2)
р
+ z/AU - —(В х rot В) + g, 4пр
rot (U х B) + nAB = 0, (3)
divU = 0, (4)
divB = 0, (5)
где U — скорость течения жидкости, P — давление, B — напряженность магнитного поля, n = = с2/(4па) — коэффициент магнитной диффузии, g — ускорение свободного падения (считается постоянным ввиду тонкости слоя по сравнению с радиусом нейтронной звезды). В дальнейшем, будем считать, что вектора магнитного поля и угловой скорости соосны и направлены поперек слоя. В этом случае плотность тока на поверхности нейтронной звезды является осесимметричной и поэтому удобно использовать цилиндрическую систему координат (r, ф, z) с осью z, направленной по внешней нормали к слою. Для простоты рассмотрим только осесимметричные течения.
Магнитное поле, соответствующее токам в пульсарной трубке (см. (1)), мало по сравнению с полем нейтронной звезды B, что позволяет использовать теорию возмущений. В нулевом приближении жидкий слой находится в постоянном осевом магнитном поле B и вращается твердотель-но с угловой скоростью Q. В этом приближении к слою не подводится никакого электрического тока и решение уравнений (2)—(5) имеет вид
U = Птвф, B = Be^, j = 0, (6)
/ Q2r2'
Р = P(r, z) = p[ —gz +
2
Заметим, что в лабораторной системе отсчета в замагниченной нейтронной звезде существует отличная от нуля плотность электрического заряда (Голдрайх, Джулиан, 1969) и связанная с ней плотность азимутального электрического тока. Однако легко оценить, что эта плотность азимутального электрического тока чрезвычайно мала и составляет величину порядка ия/е ~ 10_6 от плотности тока, текущего по пульсарной трубке. Соответственно, наличием как плотности заряда, так и соответствующей ей плотности азимутального тока можно пренебречь.
В первом приближении перпендикулярно к поверхности слоя (г = 0) падает электрический ток. В этом случае решение уравнений (2)—(5) будем искать в виде
и = Птеф + и, В = В + Ь, (7)
Р = Р(г, г) + р,
где и, Ь и р являются величинами первого порядка малости, что позволяет линеаризовать систему (2)—(5) по этим величинам. Для обезраз-меривания линеаризованной системы используем величину й как единицу длины, В как единицу магнитного поля, п/й как единицу скорости, рип/й2 как единицу давления. Используя для безразмерных величин те же символы, что и для размерных, получим
др
д2иг
-2Яеиф = -— + Ь1(иг)+ [jz2
(8)
"На2(тг
V дг
дЪг dz
где Lo
а
где g = -gez, g = const.
2Reur Т ! \ , д2и,ф 2 дЬф = Ыиф)+ dz2 +Нг dz, (9)
dp d2uz dz = ЬоЫ + dz* ' (10)
диг , d2br ~dz = L^+dz*> (11)
диф д2Ъф ~ dz dz2> (12)
ди^ д2bz ~ dz = Loibz) + ' (13)
1 д , . дuz -— (rur) + — = 0, r дг дz (14)
1 д . , , ()bz ~7Г + 1Г = r дг дz (15)
&2 дг2 Id д2 Id 1 rp Qty' ^ QT^ Z1 (9/1 ' (16)
Re = Qd2 TT Bd =-, Ha = --—7 (17)
безразмерные числа Рейнольдса и Гартманна соответственно.
Операторы Ь0 и Ьг имееют в качестве собственных функций, конечных в нуле и ограниченных на бесконечности функции Бесселя Ш0(кт) и Шг(кт), Ьо(Шо(кт)) = -к2Шо(кт), Ьг(Шг(кт)) = -к2Шг(кт).
Решение системы (8)—(15) должно быть вещественным. Соответственно, и, Ь и р разлагаем в интегралы Ганкеля по переменной т с вещественным 0 < к < ж (Бейтмен, Эрдейи, 1966). Функции их, Ьх и р представим в виде интегралов Ганкеля 0-го рода:
/(т,г) = ! к/0(к, г).(кт)йк, (18) о
те
/°(к,г) = ! т/(т, г).1о(кт)йт, (19) о
а функции иг, иф, Ьг и Ьф — в виде интегралов Ганкеля 1-го рода
те
/(т, г) = ! к/г(к,г)Ш(кт)йк, о
те
/ Ъ,,) = ] т/(г, г Ш*)*.
Для Ганкель-образов система (8)—(15) мает вид
Я2и1
-2Яеи\ = кр° + ^г - к2и1 +
дг2
дЬ1
+ НаМ Щ + ^ ,
дг
1 д2иф 2 г 2дЬф 2Иег4 = -т-4- ~ к и\ + На2-^, дг2 ф дг
дро дг д2и°г дг2 - к2и0, (24)
ди1 дг д2Ь\ дг2 - к2 Ь1, (25)
диФ дг д% дг2 - к2Ьф, (26)
ди°2 дг д2ъ°х дг2 - к2Ь0, (27)
ки1 дь°х дг = 0, (28)
кЬ1 дЪ°х дг = 0. (29)
При выводе системы (22)—(29) использовались соотношения
1 д д -д^(гМг))=Мг), -Мг) = -Мг). (30)
Система (22)—(29) представляет собой систему десятого порядка по г (отметим, что из четырех уравнений (25)—(27) и (29) линейно независимыми являются только 3). Соответственно, чтобы найти решение системы, необходимо поставить десять граничных условий. Для свободной верхней границы (г = 0), неподвижной вдоль оси г, имеем
9и' П 9иФ П 0 п /о 1 \
0, = 0, щ = 0. (31)
дг дг
Для нижней твердой неподвижной границы (г = = -1) все компоненты скорости равны скорости на границе:
(32)
иг — иф — и о — 0.
(20)
(21) прини-(22)
Для магнитного поля граничное условие на верхней границе определяется наличием падающего тока, который фиксирует азимутальную компоненту магнитного поля, и непрерывностью магнитного поля
на границе проводник-диэлектрик(вакуум):
дЬо
Ь1ф(к,г = 0) = Ьо(к), -^+кЬ°2 = 0, (33)
где Ь0 (к) — функция переменной к, вид которой определяется плотностью электрического тока на поверхности. Действительно, плотность электрического тока (т, г) и азимутальная компонента магнитного поля Ьф(т, г) связаны через уравнение Максвелла (в качестве единицы для плотности тока мы используем величину сВ/(4лй))
(23)
что приводит к связи их Ганкель-образов
З0(к,г)
Ьф(к,г) =
к
(34)
(35)
где ^(к, г) — Ганкель-образ плотности электрического тока 0-рода (см. (19)). Соответственно, для Ь0(к) имеем
З0(к,0)
Ьо(к)= Ьф(к, 0) =
к
(36)
Будем считать, что на нижней границе слой покоится на полубесконечной твердой среде той же проводимости (в реальности толщина этого твердого слоя должна быть порядка или больше толщины жидкого слоя). При этом должно выполняться условие непрерывности магнитного поля
дг
- кЬо = 0,
(37)
о
Система (22)—(29) является системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что позволяет искать решение в виде / ~ ехр(—вг), где 8 удовлетворяет характере-стическому уравненинию десятого порядка:
(в2 — 1)[((в2 — к2)2 — На2в2)2 + (38)
+ 41^е2в2(в2 — к2)] = 0.
Если корни характеристического уравнения известны, то решение системы (22)—(29) совместно с граничными условиями (31)—(37) можно найти точно. Однако как пои
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.