научная статья по теме О ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЮ УПРУГИХ ТЕЛ Математика

Текст научной статьи на тему «О ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЮ УПРУГИХ ТЕЛ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 76. Вып. 1, 2012

УДК 539.3

© 2012 г. И. А. Солдатенков

О ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЮ УПРУГИХ ТЕЛ

Рассматривается плоская задача о подвижном контакте штампа с упругой полуплоскостью. Производится расчет деформационной силы сопротивления скольжению штампа, обусловленной несимметрией эпюры контактного давления. Установлено, что для соблюдения закона сохранения энергии необходимо учитывать дополнительные касательные силы, приложенные к угловым концам штампа.

Расчет сопротивления относительному движению контактирующих тел за счет их необратимого деформирования, по-видимому, впервые был выполнен [1] в связи с анализом метода определения твердости царапанием. Позже несимметрия эпюры контактного давления рассматривалась как причина возникновения силы трения качения [2, 3]. Имеется достаточно полный обзор исследований деформационной составляющей силы сопротивления движению тел (скольжению или качению) [4].

Кроме необратимого деформирования, причиной несимметрии эпюры контактного давления и, следовательно, деформационной силы сопротивления движению тел могут быть граничное трение и износ контактирующих тел [5, 6]. В связи с наличием такой силы при взаимодействии упругих тел встает вопрос о соблюдении баланса механической энергии, при том, что ее диссипация в упругом теле отсутствует. Этот вопрос изучался [7] применительно к скольжению гладкого штампа по упругому основанию с трением и износом. Было установлено, что равенство работы внешней силы по перемещению штампа потерям на трение и изменение формы основания за счет износа (закон сохранения энергии) соблюдается, если фрикционные потери определяются с учетом неравномерности распределений касательного контактного напряжения и скорости скольжения по области контакта.

1. Общая постановка задачи. Рассмотрим двумерную задачу для деформируемого основания с прямолинейной границей по которой скользит с постоянной скоростью V абсолютно жесткий гладкий штамп (фиг. 1). Возьмем некоторую точку О на границе штампа и свяжем с ней подвижную систему координат Оху, ось х которой параллельна недеформированной границе основания и направлена по движению штампа. Внешняя нагрузка на штамп задается касательной Т и нормальной Р силами, направленными по оси х и против оси у, соответственно. Считается, что к штампу приложен внешний момент, обеспечивающий его плоско-параллельное перемещение без поворота. Форму штампа определим уравнением у = g(х). Область контакта штампа с основанием будем представлять отрезком [—а, Ь) оси х.

Обозначим через q1 = тху\у = 0 касательное контактное напряжение, а через р = q2 = = — ау\у = 0 — контактное давление. Касательное контактное напряжение обуславливается фрикционным взаимодействием штампа с основанием, и в случае кулонового трения пропорционально контактному давлению:

#! = цр = ц # 2 (1.1)

где ц > 0 — коэффициент трения. Положительные значения правой части равенства (1.1) отвечают скольжению штампа вдоль оси х.

При равномерном скольжении штампа условия его равновесия имеют вид

T = + jq1 (x) cos a(x) dx + jq2(x) sin a(x) dx

J J (1.2) P = - Jqj(x)sina(x)dx + Jq2(x)cosa(x)dx

где a(x) — угол наклона границы штампа к оси х (фиг. 1), tga (x) = g'(x). Здесь и далее штрихом обозначена производная по координате, интегрирование в разд. 1—3 ведется от —a до b.

В случае малых деформаций (линейная теория упругости)

g (x)l ^ 1 (1.3)

поэтому, полагая в равенствах (1.2) sina(x) = g'(x), cosa(x) = 1, получим

T = Qi + у, P = Q2 - ф (1.4)

где

Qk = \qk(x)dx, k = 1, 2; j^j = jjqi(x)}¿(x)dx (1.5)

Величина у представляет собой деформационную силу сопротивления скольжению штампа, положительные значения этой силы отвечают ее направлению против направления скольжения штампа, т.е. против оси х.

В случае кулонова трения подстановка выражения (1.1) для q1 в равенства (1.5) приводит к соотношениям Ql = p.Q2, ф = цу, которые позволяют исключить величины Qb ф из равенств (1.4) и придать им вид

T = |P + (1 + |2)у, P = Q2 - (1.6)

Согласно первой формуле (1.6), приложенная к штампу касательная сила Т отличается от номинальной силы цР кулонова трения на величину (1 + ц2)у, обусловленную деформацией основания. Использование первой формулы (1.6) без учета дополнительных факторов может приводить к парадоксальным заключениям, противоречащим закону сохранения энергии.

T

Фиг. 2

Пример. Рассмотрим штамп с прямолинейной наклонной подошвой и фиксированной областью контакта (фиг. 2): £'(х) = а > 0. В этом случае второе равенство (1.5) позволяет записать выражение

у = |р (х) а йх = а

с помощью которого из соотношений (1.6) получаются формулы

У =

-^О-, Т = ц.Р + (1 + ц2)у = ^^ Р >цР 1 - ц а 1 - ц а

(1.7)

(1.8)

При этом можно считать, что ц а < 1 в силу условия (1.3).

Согласно формулам (1.8), для осуществления равномерного скольжения штампа по упругому основанию к нему необходимо приложить касательную силу Т, превышающую силу цР кулонова трения. При отсутствии трения (ц = 0) эта сила сохраняется и

принимает значение Т = у = Р а > 0. Возникает парадоксальный вопрос: на что расходуется работа разности сил Т — цР, если диссипация энергии в упругом теле (необратимые деформации) отсутствует?

Можно получить более парадоксальную ситуацию, если рассмотреть случай отрицательного наклона подошвы штампа (фиг. 3): g'(х) = —а < 0. Тогда вместо (1.8) получается формула Т = (ц — а )(1 + ц а )-1Р, которая при ц < а дает Т< 0, т.е. для поддержания равномерного скольжения штампа к нему необходимо прикладывать сдерживающую силу Т, направленную против скольжения. Фиг. 3 показывает как такая ситуация приводит к созданию вечного двигателя.

2. Формулы для контактного давления. В дальнейшем будет рассматриваться случай отсутствии трения: q1 = 0. Относительно формы штампа предполагается, что g'(x) е Щ^, Ь), где H(—a, Ь) — класс функций, удовлетворяющих условию Гёльдера на интервале (—a, Ь) [8].

При отсутствии трения распределение контактного давления описывается интегральным уравнением [9]

1

п л - х

= -0 (х )= /(х); 0 =

2 (1 - V2)

(2.1)

у

Фиг. 3

с общим решением [8, 10]

Р(X) =--(Ф(х) - Р)

(22)

Ф(х) = , 0(х) = (а + х)(Ь -х), Р = |Р(х)йх

Следуя известному подходу [10], представим интеграл Ф(х) в виде

Ф(х) = М (* ) - М (хЖ* ) ^ + М (х)^(х), ¥(х) = Г Дя) ^

1 л/Мс*) *- х ■,ТМ(*)(* - х)

и заметим, что (0(5) — Q(x))/(s — х) = Ь — а — 5 — х. Это позволяет представить общее решение (2.2) таким образом [10]:

р(х) = - ±ТМ(хтх) + Аох -С+- Р (2.3)

п пЩх)

где

С = (Ь - а)Ао - А!, Ак = , к = 0, 1 (2.4)

-1 ТМХ)

Для ограниченного на концах —а, Ь области контакта решенияр(х) (гладкий штамп, фиг. 1) последнее слагаемое в правой части равенства (2.3) должно обращаться в нуль при х = —а и х = Ь, поэтому

- А0а - С + Р = 0, А0Ь - С + Р = 0 (2.5)

что при учете определения (2.4) величин Ак приводит к условиям

А0 - = 0, А1 - = -Р (2.6)

При выполнении этих условий решение (2.3) принимает вид [10]

р (х) = - 1-Щх) ¥(х) (2.7)

Фиг. 4

В случае, когда контактное давление ограничено на одном из концов области контакта, для определенности — при х = Ь (гладкий справа штамп, фиг. 4), имеем только второе равенство (2.5), которое при учете определений (2.4) приводит к условию

р = //

(2.8)

Можно убедиться, что при выполнении условия (2.8) решение (2.3) имеет вид:

;/л.

Р (х) = -

1 \Ь - х г

пЦ а + хщЬ - я ^ -х

3. Расчет деформационной силы сопротивления. Выражение (2.3) для общего решения уравнения (2.1) позволяет определить деформационную силу у сопротивления бесфрикционному скольжению штампа по упругой полуплоскости. Эта сила определяется вторым равенством (1.5), которое в терминах функции / (х) = —9^'(х) имеет вид

= ¡¡р (х )/(х) йх =

= I

(3.1)

Подставим выражение (2.3) в равенство (3.1), после чего, пользуясь формулой Пуанкаре—Бертрана [8], поменяем порядок интегрирования в повторном интеграле и учтем определения (2.4) величин Ак. В результате придем к равенству

= I /£)Ф00Л + 1Л(л, - с + р)

(3.2)

Далее, заменим в интеграле Ф(^) из этого равенства функцию /(х) левой частью уравнения (2.1) и еще раз воспользуемся формулой Пуанкаре—Бертрана для изменения порядка интегрирования в полученном повторном интеграле:

ф(,) = ГлШI ¡РШ^йх =

J х - Я ЯЛ - х

= - я

тдар(я) + п¡¡р(с)|(хахх ^ = -пм7)р(я) + р

(3.3)

6 Прикладная математика и механика, № 1

Последнее равенство получено при учете последнего соотношения (2.2) и известной формулы [11]

= -п5, 5 е(-а, Ь)

1 х - 5

При учете соотношения (3.3) из равенства (3.2) получаем

I = (2п) 1А0(А1 - С + 2Р)

Заменяя правую часть равенства (3.1) полученным выражением для величины I и учитывая определение (2.4) величины С, получим искомую формулу

у = -П0А

А1 - 2 (Ь - а)Ао + Р

(3.4)

Рассмотрим некоторые частные случаи формулы (3.4).

Прежде всего отметим, что для гладкого штампа, когда контактное давление ограничено при х = —а и х = Ь, имеем у = 0, так как А0 = 0 в силу первого условия (2.6).

В случае, когда контактное давление ограничено при х = Ь (гладкий справа штамп, фиг. 4), условие (2.8) совместно с определением (2.4) величин Ак позволяет установить, что выражение в квадратных скобках в равенстве (3.4) равно — А0, где I = (а + Ь)/2, т.е. формула (3.4) принимает вид

у = /А2/(п0) (3.5)

Согласно этому равенству, для гладкого справа штампа (фиг. 4) деформационная сила у сопротивления скольжению принимает неотрицательные значения, т.е. всегда действует против оси х. Например, если такой штамп имеет наклонную прямолинейную подошву:

£ (х) = а, /(х) = -0а, а> 0 то равенства (2.4) и (2.8) дают А0 = -п0а, Р = п01а

Поэтому, согласно формуле (3.5), у = Р а > 0, что, как и следовало ожидать, совпадает с первой формулой (1.8) при ц = 0.

В случае, когда допускается возможность неограниченных контактных давлений при х = —а и х = Ь (штамп с угловыми концами, как например, на фиг. 2), какие-либо дополнительные условия отсутствуют и следует использовать общую формулу (3.4).

Формула (3.4) и рассмотренные случаи свидетельствуют о возможности существования отличной от нуля д

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»