КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2010, том 48, № 3, с. 279-288
УДК 531.391
О ДВИЖЕНИИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ПЛАНЕТ И УСТОЙЧИВОСТИ ИХ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ © 2010 г. В. Г. Вильке
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 26.05.2008 г.
В качестве модели планетной системы рассматривается механическая система, состоящая из N деформируемых шаров, взаимодействующих по закону всемирного тяготения. Деформации вязкоупругих шаров описываются согласно модели теории упругости малых деформаций, модели вязких сил Кельвина— Фойхта и происходят под действием гравитационных полей и полей центробежных сил. Методом разделения движений на основе решений квазистатических задач теории вязкоупругости с учетом малости деформаций шаров построены приближенные уравнения, описывающие движения центров масс шаров и их вращения относительно центров масс. Используя первый интеграл сохранения момента количеств движений системы относительно ее центра масс, получено выражение измененной потенциальной энергии с использованием методики Рауса. Проведено исследование стационарных вращений и показано, что все они неустойчивы, если число планет больше двух.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЯ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Известна модель Солнечной системы, в которой тела представляются материальными точками и взаимодействуют по закону всемирного тяготения [1]. В этой модели тела можно рассматривать как абсолютно твердые шары со сферическим распределением плотности. Гравитационный потенциал такого тела совпадает с потенциалом материальной точки, а вращение каждого шара относительно его центра масс происходит с постоянной угловой скоростью. Движение относительно центра масс шара представляется вращением с постоянной угловой скоростью относительно оси произвольного направления, а движение центров масс шаровых планет идентично движению в соответствующей задаче N тел.
Заметим, что формы планет Солнечной системы близки к шаровым, поскольку доминирующими силами при формировании планет являются гравитационные силы, которым противодействуют силы молекулярного взаимодействия в веществе планеты. Форма небесного тела может сильно отличаться от шаровой, если масса тела мала и, соответственно, малы гравитационные силы (случай астероидов).
Рассмотрим модель Солнечной системы, представленной в невозмущенном состоянии N однородными вязкоупругими шарами. Под действием собственного вращения и приливных гравитационных сил шаровая планета меняет свою форму: происходит "сплющивание" планеты в направлении вектора ее угловой скорости и формирование приливных горбов по линиям, соединяющим центр планеты с центрами остальных планет. Предполо-
жим, что приливные гравитационные, центробежные и упругие силы приводят к малому изменению шаровой формы планеты. Методом разделения движений будут получены уравнения, описывающие движения центров масс планет и их собственные вращения. В предложенной модели имеет место диссипация энергии, источником которой являются внутренне вязкие силы каждой планеты. В результате деформаций планет в законе всемирного тяготения появляются малые консервативные поправки. Уравнения движения допускают в качестве решений стационарные вращения вокруг постоянного вектора момента количеств движения, которые оказываются неустойчивыми в случае, если число планет больше двух. Частные случаи этой модели рассматривались в работах [2, 3, 4].
Рассмотрим в качестве невозмущенной системы изолированную систему N абсолютно твердых однородных шаров, взаимодействующих друг с другом по закону всемирного тяготения. Пусть ОХ1Х2Х3 инерциальная система координат, начало которой совпадает с центром масс системы. Введем следующие величины: И,-, т, р¡, а, А — радиус-вектор центра - -того шара, его масса, плотность, радиус шара и момент инерции относительно центра масс шара точки С I. Справедливы равенства
т = 4па3р* А = 5т^2, ^т И- = 0
-=1
N
£([К - X т1 К,]+Ь -) = в ез.
-=1
Последнее равенство в (1) выражает закон сохранения момента количеств движения относительно центра масс системы в предположении, что постоянный вектор момента количеств движения О направлен по оси ОХ3 с единичным вектором е 3. Момент количеств движения однородного шара относительно его центра масс Ц = Л/А , где угловая скорость г -того шара, также постоянен, поскольку внешние силы гравитации не создают момента относительно центра масс шара в силу его сферической симметрии. В системе имеет место разделение движений: вращение каждого шара относительно его центра происходит с постоянной угловой скоростью и не влияет на движение их центров.
Потенциальная энергия поля гравитационных сил имеет вид
N
no(R1,...,R n) = - X Y mm [R 2-Г1/2,
(2)
R ij - R i - R j.
Здесь у — универсальная гравитационная постоянная. Уравнения движения центров масс представляются в форме
N
щ Ri = - Vr По = - X
Y щ-
j * i
R
R-
3 J
(3)
i = 1,...,N; = R;J.
Уравнения (3) интегрируются только при N = 2 (задача двух тел Кеплера—Ньютона). Отметим существование двух первых интегралов движения — закона сохранения энергии
Т(К !,..Д н) + ЩКЬ...,К N) = К
Т = 2 ¿т К 2
г = 1
и ранее упомянутого в (1) закона сохранения момента количеств движения.
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ШАРОВ
гральным образом связана с шаром, поскольку справедливы условия
ju ( r,t)dx(i) = 0, Jrot u ( r,t)dx(i) = 0,
Vi = {r : |г,| < a,}.
Обозначим Г,- (s,(t)), s,(t) = (s1i(t), s2i(t)s3i(t)) — ортогональный оператор перехода от системы координат Cix1ix2ix3i к инерциальной системе координат OX1X2X3. Здесь s(- локальные координаты на группе вращений трехмерного пространства, например, углы Эйлера [5].
Функционал потенциальной энергии гравитационных сил взаимодействия двух деформируемых шаров равен
+ П7 + п Jt.
R-
Щ =
Y щ-
1 Jr- u i P i
dxi) -
(4)
-RT J(Rij,rir)(Rij-,riui)Pidx
\
(i)
В выражении потенциальной энергии (4) оставлены два первых члена в разложении по малым величинам а/Щ, а/Щ и члены первого порядка малости по перемещениям. Потенциал гравитационных сил для всей системы в этом случае представляется в форме
n[R 1,...,RN,u1,...,uN, Г1,...,ГN] -
N
= П 0 + X П ij.
(5)
i * j
В дальнейшем, согласно методу разделения движений [3], перемещения и г в выражении потенциала (5) будут заменены соответствующими решениями квазистатических задач линейной теории упругости малых деформаций.
Примем в качестве модели вязкоупругих сил модель теории упругости малых деформаций и соответствующую ей модель вязких сил Кельвина— Фойхта [3]
Е[и г] = 27ТГ-) \l-T2-(div и г)2 +
2(1 + Vг) •> 1 -2уг
Пусть рассматриваемые шары деформируемы. Свяжем с каждым шаром систему координат С х1г х2г х3г и обозначим через и;(г;-, ^, |гг| < а1 поле перемещений точек -того шара при деформациях. Система координат С ¡хи хъ х3г, согласно [3], инте-
X e«,i]dxw;
1
i
(du
k i + д Uli)
k, l=1
2 д xii дxki Di [ii= х- Ei [u; ui = (%, U2i, щ) ,
r = (x1i, x2i, x3i), Xi > 0.
Здесь Е 1[и,], Д[и] — функционалы упругих и диссипативных сил соответственно, Е, V 1 — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала I -того шара, х г — коэффициент, определяющий вязкие свойства материала шара. Деформация шара возникает за счет поля центробежных сил инерции вследствие вращения шара и поля градиента гравитационных сил. Предполагается, что перемещения точек шара малы, что обеспечивается малостью безразмерных параметров б,-у = р,-уту Я- а2 Е-1 и ею =
= рI га2(0) а2 Е-1, где — угловая скорость шара или системы координат С- х1;-х2гх3;-.
Напишем уравнения динамической линейной теории упругости малых деформаций для I -того шара в системе координат C¡ хи х2{ х3;- [3]
Р-{ий- + [ю;-х(г;- + и-)] + [ш;- х [ш;-х(г- + и-)]] + 2[м;- х II] + + У„. Е-[и] + х- V* Е[и] + VиП = 0,
(7)
Рп|г,
дУ
= о,
N
+
Ху иП- у = 0 Рп1г- еау- = 0,
(8)
у *>
V иП у = р Ц2 [ г - 3(Г-1 И у г) Г-1 И; у], Ц2 = у ту Я-3, И]у = Иу Иу|-1.
Взаимные расстояния между шарами в уравнениях (8) рассматриваются как переменные, удовлетворяющие уравнениям невозмущенной задачи (3), а угловая скорость шара ю, постоянна в невозмущенном движении. Будем считать вязкость упругого ша-
ра малой и найдем решение уравнения (8) в виде сходящегося ряда
и^Чг, 0 = VоХг) + V Хг) +
+ X (-Х-)
к = 0, у * -
N
-С V ¿у(г, р сИк
V 0ХГ) + V Хг) +
(9)
+ 0 - XV ¿/г, Щ,
у * -
где соответствующие функции являются решениями граничных задач
где потенциал упругих сил определен в (6). Последнее равенство в (7) означает равенство нулю напряжений на поверхности шара. Согласно методу разделения движений [3] решение уравнения (7) ищется в виде ряда иДг,?) = бги1;(г;-,0 + ... по малому
параметру = Е-. Такой вид малого параметра может быть достигнут путем соответствующего выбора размерных величин в каждой задаче о деформации упругого шара. Если в уравнении (7) сохранить члены нулевого порядка малости по этому малому параметру, то динамическая задача теории упругости редуцируется в квазистатическую задачу
р;{[ю;х г;] + [ю;-х [ю;- х г;]]} + + б;-{ Vи-Е;-[и 1--] + ъ Vи-Е [и 1--]}+
е^ vо¿ Е[\ 0-] = 2р;ю2 г, рПг еау = 0, щ = (Ю1Й Ю2;■, ®зг);
Б/ VV- Е¡[V ] = р !Б1 г, рУ = 0,
2
е- Vv/уE^V/у] = рАуДу г, рп|г = 0,
Я-у = (3ек, -у е1,1у - 8к^ г,:1 И°ц =
(10)
(11)
(12)
=е- у =(е
Му е2,(у у,
Здесь 5 к1 — символ Кронекера. Решение задачи (10) определяет сферически симметричную часть деформации шара вследствие его вращения и имеет вид [6]
V0- = g 1 (г) г, g/ (г) = - 2/3 р;- ю2 (Сц г2 + с^),
Си
(1 + V -)(1 - 2у -)
2(4 - 3У -) _ (3 - V-)(1 - 2у^„2
С„=-
2(4 - 3у-)
а;-.
При этой деформации обращается в нуль потенциальная энергия взаимодействия деформированных шаров Пу, так как интеграл по шару
¡Е(г)[г2 - 3(г,е)2]Сх = 0,
где е — произвольный единичный вектор. Матрицы В,, Вуимеют нулевые следы, и решения задач (11), (12) представляются в форме [6]
V, = с,- [% (В г,, г,) г,- + (а2 ;г2 + а3) В1 г,],
с = р,;
V ц _ си [% (Ви г,, г^г, + (а-г, + аъ) Вц г,], сц _ Р,^у
(13)
Пу = [с (ВУ у у,;) +
N
+ХсАУо-, у, у)], У и = Г].
к Ф,
(14)
П у = - ту к -3(«„ У, у)2+
N
+^^(е, к, у,/-3]}, к, = у Д. р2 Е,-1.
(15)
к Ф1
ни
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.