КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 444-448
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 629.7.05.
О ДВИЖЕНИИ ГРУЗА ПО ТРОСУ, ЗАКРЕПЛЕННОМУ НА ГАНТЕЛЕВИДНОМ КОСМИЧЕСКОМ АППАРАТЕ
© 2004 г. А. В. Родников
Московский государственный технический университет им. Н.Э Баумана Поступила в редакцию 13.05.2003 г.
В настоящее время большое внимание уделяется вопросам использования в космическом пространстве систем космических объектов, связанных между собой гибкой связью. Как правило, рассматривается задача о движении связки твердого тела и материальной точки. Теория движения такой связки в основном была построена в работах [1, 2, 3]. В настоящей работе рассматривается движение системы, состоящей из протяженной космической станции, рассматриваемой как система двух материальных точек, соединенных невесомым стержнем, и груза, который может свободно перемещаться вдоль троса, концы которого закреплены на концах станции.
Подобная задача возникает, например, при необходимости переместить некоторый груз с одного конца гантелевидной станции на другой по инерции, причем передвижение по самой станции по каким-либо причинам невозможно (мешают солнечные батареи, антенны и т.п.). Считается, что трос невесом, а время перемещения с одного конца станции на другой достаточно мало по сравнению с периодом обращения. В этом случае гравитация не оказывает существенного влияния на относительное движение груза.
Постановка задачи. Пусть т1, т2 - массы, образующие станцию, связанные стержнем длины 2с, а груз массой т3 может свободно двигаться вдоль троса длиной 2а, закреплённого в точках с массами т1, т2. При плоском движении груз не может выходить за пределы области и, ограниченной эллипсом с фокусами в точках т1 и т2, полуосями а
и Ь
= л/а2 -
с и эксцентриситетом, равным е = с/а.
есть центр масс С системы можно считать не имеющим ускорения или просто неподвижным.
Пусть ГСг - вектор, соединяющий С с г-ой массой, Гу - вектор, соединяющий г-ую и ]-ую массы, О - середина стержня (см. рис. 1). Кроме того,
т1 т3 пусть М = т1 + т2 + т3, =-, \3 =
т1 + т2
т1 + т2
ц = 1 - 2у1. В силу симметрии, достаточно рассмотреть случай т1 < т2, то есть 0 < у1 < 2 , 1 > ц > 0.
Для кинетической энергии системы справедливо соотношение
Т = 2 [ т^1 + т2 ГС2 + тз гСз ],
(1)
где
ГС1 = —
т2Г12 + тз Г13
М '
ГС2 =
ГС1 =
(т2 + т з ) Г12 - т 3 Г13 М '
(т1 + т 2) Г13 - т 2 Г12 М '
(2)
Будем рассматривать движение в двух системах координат: Сх1у1 - абсолютной, и Оху, где Ох на-
Будем говорить, что груз находится "на связи", если он находится на границе области и, и "сошел со связи", если он находится внутри области и. Ясно, что если груз сошел со связи, нить не натянута, поэтому условием схода со связи является обращение в нуль сил натяжения нити.
Заметим, что если пренебречь неоднородностью гравитационного поля, уравнения вращательного движения станции и относительного движения груза не зависят от внешних сил, то
Ш,
Рис. 1
правлена по стержню и Oxy ориентирована так же, как Cxjyj. Пусть ф - угол поворота станции, то есть угол, отсчитываемый от положительного направления оси Сх к положительному направлению оси Ох. Если груз находится на связи, его координаты в Oxy удобно задать параметрически:
x3 = a cos у; y3 = b sinY.
В этом случае движение рассматриваемой системы полностью определяется обобщенными координатами ф и Y. Выведем уравнения движения.
Уравнения движения. Дифференцируя формулы (2) по времени и подставляя их в (1), получим:
1 2
T = 2M [ m2Í mi + т2 ) Г12-2т2тътп Г13 +
(3)
2
+ тз ( mi + m2 ) rB ]. Далее, в системе Oxy справедливо соотношение í 0 Л í -a' sin y - b ф sin у
12 V2 c ф/ 13 Vbу cos у + c ф + аф cos у Подставляя (4) в (3), получим 22
(m, + m2) а 2 2
T = V 1 , . . [А1 у2+ 2B1 Уф + Cф2],
(4)
2 M
где
A1 = v3( 1 - e2cos2 у), B1 = v^1 - e2 ( 1- це cos у) C1 = v3 ( 1 + e2cos2 у -2 це cos у) + ( 1- ц2 ) e2.
(5)
Так как Т не зависит от ф, задача имеет циклический интеграл, соответствующий кинетическому моменту системы:
Э Т
Эф
= C1 ф + B1 'у = Q0 = const.
(6)
Используя редукцию по Раусу, получим уравнение Рауса в виде:
2IA1-B) У + Э-у
B2
C1
д í 1
Qo dyV C1
= 0, (7)
имеющее интеграл, соответствующий интегралу энергии
(8)
Уравнения (6) и (8) полностью определяют движение рассматриваемой системы.
Фазовый портрет относительного движения. Если О0 = 0, все движения будут вращениями, если же О0 Ф 0, стационарные движения системы определяются точками экстремумов функции
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Q0 /C1, совпадающих с точками экстремумов функции C1. Рассматривая C1 как функцию переменной y = e cos y, установим, что экстремумы могут достигаться при y = ±e и y = ц. Возможны следующие ситуации:
1) ц < e. Тогда глобальный максимум функции 2 Ц
Q0 /C1 достигается при y = ± arccos- + 2пк, к е Z.
Локальный минимум той же функции достигается при y = e, то есть при y = 2пк. Глобальный минимум достигается при y = -e, то есть при y = п + 2пк. Таким образом, на промежутке 0 < Y < 2п имеются четыре стационарные точки: две устойчивые
(Y1 = 0 и y2 = п) и две неустойчивые ( Y3 = arccos Ц
V e
и y4 = 2п - arccos Ц
-п - п/2 п/2 п Y
1 1 1 1
Рис. 5
Положения равновесия у1 и у2 отвечают положениям груза "за" точками т1 или т2. Точки у3 и у4 соответствуют таким положениям груза на эллипсе, ограничивающем область и, в которых внутренняя нормаль к эллипсу направлена к центру масс гантели. В частности, при ц = 0, то есть когда т1 = т2, все четыре положения равновесия расположены в вершинах эллипса. Фазовый портрет удобно построить в плоскости (5, у) когда фазовые кривые определяются уравнением
^>4 =»
- п
- п/2
п/2
п y
где 5 = у /00, Н1 = Н1/0.0 (рис. 2).
2) ц > е. В этом случае точка у = ц не отвечает действительному движению, следовательно, гло-
2
бальный максимум функции О0 /Са(у) достигается при у = е, то есть при у = 2пк, а глобальный минимум - при у = -е, то есть при у = п + 2пк. Таким образом, на промежутке 0 < у < 2п имеются две стационарные точки: устойчивая у = п, соответствующая положению груза за меньшей массой, и неустойчивая у = 0, соответствующая положению груза за более массивной точкой. Фазовый портрет представлен на рис. 3.
Условия схода со связи. Груз будет двигаться по эллипсу, ограничивающему область и, если натяжения ветвей троса Т31 и Т32, направленные к первой и второй точкам соответственно, не равны нулю. Уравнение абсолютного движения груза приводится к виду
Рис. 6
ШзГ
3* с3
= T31 + T32.
Умножим обе его части скалярно на вектор внешней нормали к эллипсу в рассматриваемой точке. Тогда
т3(Гс3, n) = (T31, n) + (T32, n)< 0
(9)
-п
и
- п/2
V
п/2
п y
Рис. 7
С учетом формул (4) и (2), условие (9) приводится к виду
- abY2 + Ц bсф2cos Y - аЬф2 - цасф sin y + + с2фsinycosY - 2Yф(а2 - c2cos2y) < 0. Используя интеграл (6), окончательно получим
22 EY +2AYQ0 + 51Q02 ^ 0, (10)
5
5
- п - п/2 п/2 п у
п у
Рис. 8
5
- п
- п/2
п/2
п у
Рис. 10
Рис. 9
5
-п - п/2 п/2 п у
\
Рис. 11
где
Е = сЦх-ё1 + - 2А151С1, А = А1С1 - В?.
Геометрия областей схода со связи. Форма областей схода со связи зависит от соотношения между параметрами ц, е, и определяется знаками коэффициента Е и дискриминаната Б = А2 -- В1Е. Можно заметить, что на фазовой плоскости (у, у) область схода со связи будет ограниченной, если \"3 < V* , где V* определяется поверхностью, изображенной на рис. 4. В частности, если ц = 0 (то есть т1 = т2) справедливо равенство V* = е, если ц —- 1 то V* —- 0, если е —- 0 то V* —- 0.
Если v3 > V* область схода со связи становится неограниченной.
Если 00 = 0 область схода со связи имеет наиболее простую форму. Так, если v3 < V* , сход со
связи невозможен, а при v3 > V* областью схода со связи будет полоса, пересекающая все фазовые траектории, то есть сход со связи происходит при любых начальных условиях.
Если 00 Ф 0, форма области схода со связи зависит от соотношения между ц и е. Перепишем
(10) в виде Е52 + 2А5 + В1 > 0, где 5 = у /00. В плоскости (у, 5) возможны следующие ситуации.
а) 0 < ц < е. Тогда, если v3 < V* в полосе -п < у < п область схода со связи состоит из двух частей, целиком расположенных ниже прямой 5 = 0
(рис. 5). Если v3 = V*, эти части вытягиваются вниз и становятся бесконечными (рис. 6). Если v3 > V* к двум бесконечным областям, лежащим ниже прямой 5 = 0, добавляются две бесконечные области, лежащие выше этой прямой (рис. 7).
б) ц = е. В этом случае области схода со связи остаются по форме такими же, как изображенные на рис. 5, 6, 7, только нижние части этих областей будут касаться друг друга на оси 5.
в) ц > е. Если v3 < V*, область схода со связи имеет форму, изображенную на рис. 8, если v3 = = V* - изображенную на рис. 9. Если же v3 > V* , возможны две ситуации: если е < ц < е*, где е* -корень уравнения (е4 - е2)ы3 + (е3 + 3е)ы2 - (1 + 5е2 + + 2е4)ы + е + 3е3 = 0, находящийся между е и 1, область схода со связи имеет форму, изображенную на рис. 10, если же ц > е* при достаточно
5
5
больших \"3 возможно слияние частей, лежащих выше оси у, и исчезновение области связного движения, примыкающей к отрицательному направлению оси 5 (рис. 11).
О возможности связных перелетов между концами станции. Перелёт с одного конца станции на другой соответствует вращениям на фазовом портрете. Анализируя положение областей схода со связи на фазовой плоскости (рис. 5-11), можно сделать следующие выводы:
а) если < V*, то при любом перелете в направлении вращения станции сход со связи не возможен;
б) если v3 < V* , то при перелете в направлении, противоположном направлению вращения станции, сход со связи невозможен при достаточно большом начальном импульсе;
в) если v3 > V* , то при e > e*, где e* - параметр, с точностью до 0.05 определяемый формулой e* ~ ~ 0.75 - 0.5ц, связных перелетов в направлении, противоположном вращению станции, не существует, если же e < e*, такие перелеты существуют в некоторой окрестности лимитационного движения;
г) если v3 > V* , то в некоторой окрестности лимитационного движения существуют связные перелеты в направлении вращения станции.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.