научная статья по теме О ДВИЖЕНИИ ПЛАНЕТЫ СО СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «О ДВИЖЕНИИ ПЛАНЕТЫ СО СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 388-396

УДК 531.391

О ДВИЖЕНИИ ПЛАНЕТЫ СО СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ

© 2004 г. В. Г. Вильке

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 18.03.2003 г.

Рассматривается движение планеты, состоящей из оболочки и ядра (твердые тела), соединенных вязкоупругим слоем и взаимодействующих по закону всемирного тяготения друг с другом и внешней точечной массой. Исследуются взаимные движения ядра и оболочки в предположении, что центры масс планеты и внешней точечной масс движутся по невозмущаемым кеплеровым орбитам вокруг общего центра масс системы. Ядро и оболочка планеты обладают осевой симметрией и имеют различные главные моменты инерции, что приводит к смещению центра оболочки относительно центра ядра и их взаимным поворотам. Полученные на основе усредненных уравнений результаты иллюстрируются на примере системы Земля-Луна.

В ряде работ [1-5] небесные тела изучаются как объекты со сложной структурой (упругие, жидкие или газообразные ядро, оболочки). Динамика таких объектов в гравитационном поле описывается системой интегродифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных (см., например, [4]), исследование которой достаточно сложно. Вместе с тем, сложная структура планет может оказаться одним из факторов, определяющих ход динамических процессов (вращения планеты вокруг центра масс, приливные явления, эволюция орбиты, тектонические процессы как следствие относительных смещений частей планеты) [6].

В статье исследуется модель планеты, состоящей из двух частей - ядра и оболочки (твердые тела), взаимодействующих друг с другом и движущихся в гравитационном поле точечной массы. Задача исследуется в ограниченной постановке, а именно, в предположении, что движение центров масс планеты и точечной массы происходит по неизменным эллипсам, а определению подлежат взаимные перемещения ядра и оболочки. Полученные результаты иллюстрируются на примере движения системы Земля-Луна.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть планета состоит из ядра и оболочки, между которыми имеется тонкий сферический слой однородной вязкоупругой среды. Ядро и оболочка рассматриваются как твердые тела. Система координат С1х1х2х3 связана с ядром, занимающим область У1 = {г1 < а2, г1 = (х1, х2, х3)}, точка С2 - центр масс ядра, а / = diag{А1, А1, С1} - тензор инерции ядра относительно системы координат С1х1х2х3. Будем предполагать, что главный цент-

ральный момент инерции С1 > А1 (это связано с достаточно быстрым вращением планеты вокруг оси С1х3). Относительно оболочки также предположим, что она занимает область У2, внутренняя

2

поверхность которой задается уравнением г2 = = (а1 + I)2, г2 = (уь у2, у3) в системе координат С2у1у2у3. Здесь С2 - центр масс оболочки, I - толщина вязкоупругого слоя между ядром и оболочкой. Тензор инерции оболочки в системе координат С2уууз равен /2 = diag{А2, А2, С2}, С2 > А2. Если системы координат С1х1х2х3 и С2у1у2у3 совпадают, то вязкоупругий слой находится в ненапряженном состоянии.

Система координат СХ1Х2Х3 связана с центром масс планеты, а ее оси параллельны осям инерци-альной системы координат ОХ1Х2Х3, начало которой является центром масс планеты и материальной точки массы т (рисунок). Справедливы векторные равенства в системе координат СХ1Х2Х3

mr m,m2

Pi = —-rQ + Г! r1; Г1 e У1г mr = 1 2 ,

m1 m1+m2

m-

P2 = — Q + Г2Г2, Г2 e У2,

2 m2 2 2 2 2

Гк = Оз(у + ¥k)Oi(9 + 0k)Оз(ф + ), к = 1, 2,

(1)

где Рь Р2 - вектора точек ядра и оболочки, Q -вектор С1С2, Г1; Г2 - ортогональные операторы перехода от систем координат С1х1х2х3, С2у1у2у3 к системе координат СХ1Х2Х3. Если Q = 0 и Г1 = Г2, то ядро планеты находится внутри оболочки и их главные оси инерции совпадают. При движении планеты имеют место малые смещения и повороты оболочки планеты относительно ее ядра. В системе

координат С1х1х2х3 это смещение равно я = ГЦ1 Q,

а относительный оператор поворота Г = Г-1 Г2. Для точек, лежащих на поверхности ядра и внутренней поверхности оболочки, справедливо векторное равенство

Г2 = q + (1 + a¡-)гГ1, Г1 = (*1, Х2, Хз), Г2 = (У1, У2, Уз), q = (Q1, ?2> ?3),

(2)

где q - смещение центра оболочки относительно центра ядра, Г - матрица поворота оболочки относительно системы координат С1х1х2х3, связанной с ядром, г1, г2 - векторы точек на поверхности ядра и внутренней поверхности оболочки соответственно. Вектор смещения q представляется малым в том смысле, что мало отношение а оператор Г близок к единичному так, что

Г = 01(у 1 )02(у2) Оз(Уэ),

O1 (Y1) =

O2 (Y2) =

Оз(Уз) =

1 0 0 0 cosy 1 -siny 1 0 sin y 1 cos y 1 y

cos y2 0 sinY2 0 1 0 -sin y 2 0 cos y 2

í \ cosY3 -siny3 0

sinY3 cos Y3 0

0 0 1

(3)

где у1, у2, Y3 - малые углы поворота оболочки относительно соответствующих осей. Если операторы Г1, Г2 задать с помощью углов Эйлера и учесть соотношения (3), то окажутся справедливыми равенства

Г =

г \

1 -Yз Y2

Yз 1 -Y1

-Y2 Y1 1

, Ay = ¥2- ¥ 1,

A0 = 02- 01, Аф = ф2- 91, (4)

Y1 = Ay sin 0 sin ф + A0 cos ф, Y 2 = Ay sin 0 cos ф - A0 sin ф, y 3 = Ay cos 0 + Аф.

Углы Эйлера y, 0, ф описывают вращение планеты, когда ее ядро и оболочка составляют единое целое, а возмущения yk, 0k, фк, к = 1, 2 равны нулю. В соотношениях (4) опущены члены второго порядка малости и выше относительно Ay, A0, Aф.

Будем считать, что взаимодействие ядра и оболочки моделируется упругими силами с потенциалом [7]

Е[u] = JJJ 2(divu)2 + ^S

i, j = 1

dx 1 dx2 dx3,

(5)

= 1 ( + ) = dh

eij = 2(Uij + Uji), Uij = dx .'

Здесь X, ц - коэффициенты Ламе однородной упругой среды между ядром и оболочкой, У0 = = |а1 < |г| < а1 + 1} - область, занимаемая вязко-упругим слоем между ядром и оболочкой, и(г, ¿) -вектор перемещений точек упругой среды относительно системы координат, связанной с ядром планеты. Для оценки величины упругого потенциала (5) примем это поле упругих перемещений, согласно (2), в виде

U = "Г"-[q + (Г - E)Г], Г = (Х1, Х2, Х3),

, 2 2 ^1/2 - = (Х1 + Х2 + Х3) .

(6)

Поле перемещений (6) обращается в нуль на поверхности ядра и соответствует перемещениям точек на внутренней поверхности оболочки. Можно сказать, что формула (6) является аппроксимацией поля перемещений представленной первым членом его разложения в ряд Тейлора вдоль луча, совпадающего с одним из радиусов ядра. Используя равенство (6), найдем потенциал упругих сил (5) в виде

Е [ и ] = 1 [ N1 q2 + N2^ 2 + Y 2 + Y2)]

N1 =

4 пЕ( 1 - v) [ ( а 1 + I ) 3 - al ] 9 I2 (1 + v ) ( 1 - 2 v ) ,

(7)

з

2

e

У

и

N =

8 кЕ( 1 - v ) [ ( a 1 + l) 5 - a ] 7512 (1+ v) '

Здесь Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала, составляющего вязкоупру-гий слой. Далее будем предполагать, что взаимные перемещения оболочки и ядра сопровождаются рассеянием энергии, описываемым диссипа-тивной функцией Релея

О = у [ N ? (+ £ + ^) + N2(7? + у2 + Уз2 ])], (8)

где Х1 - коэффициент, определяющий диссипацию энергии, а точка означает производную по времени.

Система координат ОХ1Х2Х3 с началом в центре масс системы инерциальная, а К - радиус-вектор, соединяющий центр масс планеты и точечную массу (рисунок). Кинетическая энергия системы согласно теореме Кенига с учетом соотношения (1) равна

Mr .2 mr 2 1 1

T = "2"R + у < +2( J1 ®1'®1) + 2( J2®2, ®2),

мг =

m (m1 + m2) m + m 1 + m2b

m1 m

(9)

mr =

12

m1 + m2

f 13 (z)'

mr

f 13(z) = II R + Г1 q-" - Г1Г1 ,

m1

(10)

П

23

= -ym J

p 2 dv 2

f 23 ( z ] '

f 23(z) = J[R - Г1 qm - Г2r2| ,

г = 26), 2; = qi, г; + 3 = У;, . = ?• 2, 3-

Здесь у - универсальная гравитационная постоянная, У1, У2, р1, р2 - области, занимаемые ядром и оболочкой и их плотности, представленные соответственно четными функциями по аргументу х3 или у3 и зависящие также от суммы квадратов остальных аргументов. Функция П12 зависит от компонент вектора г и представляется в виде ряда Тейлора

дП12(0)

П?2 (г) = П?2( 0) + 2 +

i = 1

6 Ч

1 v д2П12(0]

+ 2 ¿ — zz + - •

(11)

i, j = 1

д zd z

ij

Поскольку компоненты вектора г малы, то в ряде (11) ограничимся квадратичными членами. Далее согласно с (10) найдем

д /!? (0) (г?- г 2 )е. д /?? (0) (г 2 х г? )е.

где ю1; ю2 - угловые скорости ядра и оболочки в системах координат, связанных с каждым из них. Справедливы соотношения

1 1 2 2

2(JkЫьЫк) = 2Ak[(¥ + Vk) sin (6 + ) +

2 1 2 + (6 + 6k) ] + 2Ck[ф + (pk + (V + Vk)cos(6 + 6k)] •

Найдем выражения потенциальной энергии гравитационного взаимодействия трех компонент системы, а именно, ядра, оболочки и точечной массы m. Имеем

п ff p1p2dv 1dv 2 П12 = -yJJ fo"'

У! U У 2

f 12(z) = 7(q + ГГ2- Г1 )2, Г; е Vi, i = 1, 2, „ rPidv,

П13 = -Ym JH1 1

dqi f32(0) ' dYi i = 1, 2, 3

f 12 (0)

где е; - орт оси С1х;. Учитывая симметрию облас-дП12 (0)

тей У1, У2, получим —■■- = 0, . = 1, ..., 6. Для

вторых частных производных справедливы соотношения

д2/12 (0) ,-3 (П)Х ^

-д—2- = -/12 ( 0 +

д qiдqJ ■

+ 3((г2- г?), е.)((г2- г?), е;.)/?25(0),

/0! = - /-3 (0 >([е ■ х е. ]• г2) -

-3((г2- г?)• е.)((г2 х г?)• е;.)/-2(0), = -/?3(0)([е. х г2], [е;- х г?]) +

дУ; дУ ■

+ 3([г2 х г?]• е.)([г2 х г?]• е;-)/?2(0), . > ].

Таким образом, потенциал представляется своей квадратичной частью по переменным в виде

П?2 = 2 [ £?( q? + q2) + ^3 + Л? (у ? + Ъ) + Л3 у3 ],

V

ЯЭ2 fl2

YPlр2-2 ^ 1 ^2,

д дк

к = 1,3, (12)

V и V,

д2 f -1

= -[[ Yplp2-Г¿V1 ¿V 2, к = 1, 3.

V, и У,

22 ^к

1

8з = -2 =

Y ( С2-А2 )

5 й2

(14)

Ц = Y( Ш1 + Ш2 ),

А = А1 + А2, С = С1 + С2,

К° = К/| К|,

а3 = е3К°

(15)

П13 (г ) = -Yт

т А1-С1 2)

["¡5-1—;—гт (1-3 «31)

2 к^3

П23 (г ) = -Yт

тг

к1 = к + Г1 q —г, т1

т2 А2 - С2 (1 а 2 ) ---"3-(1-3 а32)

1к2 21 к

(16)

тг

Коэффициент П3 = 0, так как оба твердых тела обладают симметрией относительно осей С1х3, С2у3 и при вычислении соответствующих интегралов в (12) поворот оболочки или ядра относительно этих осей не меняет взаимного расположения точек этих двух твердых тел. Величину коэффициента П1 оценим приближенным образом, предположив, что ядро и оболочка обладают сферической симметрией, а на их поверхностях в точках с координатами (0, 0, а1) и (0, 0, а2) расположены

отрицательные массы Атк =

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»