КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 388-396
УДК 531.391
О ДВИЖЕНИИ ПЛАНЕТЫ СО СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ
© 2004 г. В. Г. Вильке
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 18.03.2003 г.
Рассматривается движение планеты, состоящей из оболочки и ядра (твердые тела), соединенных вязкоупругим слоем и взаимодействующих по закону всемирного тяготения друг с другом и внешней точечной массой. Исследуются взаимные движения ядра и оболочки в предположении, что центры масс планеты и внешней точечной масс движутся по невозмущаемым кеплеровым орбитам вокруг общего центра масс системы. Ядро и оболочка планеты обладают осевой симметрией и имеют различные главные моменты инерции, что приводит к смещению центра оболочки относительно центра ядра и их взаимным поворотам. Полученные на основе усредненных уравнений результаты иллюстрируются на примере системы Земля-Луна.
В ряде работ [1-5] небесные тела изучаются как объекты со сложной структурой (упругие, жидкие или газообразные ядро, оболочки). Динамика таких объектов в гравитационном поле описывается системой интегродифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных (см., например, [4]), исследование которой достаточно сложно. Вместе с тем, сложная структура планет может оказаться одним из факторов, определяющих ход динамических процессов (вращения планеты вокруг центра масс, приливные явления, эволюция орбиты, тектонические процессы как следствие относительных смещений частей планеты) [6].
В статье исследуется модель планеты, состоящей из двух частей - ядра и оболочки (твердые тела), взаимодействующих друг с другом и движущихся в гравитационном поле точечной массы. Задача исследуется в ограниченной постановке, а именно, в предположении, что движение центров масс планеты и точечной массы происходит по неизменным эллипсам, а определению подлежат взаимные перемещения ядра и оболочки. Полученные результаты иллюстрируются на примере движения системы Земля-Луна.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть планета состоит из ядра и оболочки, между которыми имеется тонкий сферический слой однородной вязкоупругой среды. Ядро и оболочка рассматриваются как твердые тела. Система координат С1х1х2х3 связана с ядром, занимающим область У1 = {г1 < а2, г1 = (х1, х2, х3)}, точка С2 - центр масс ядра, а / = diag{А1, А1, С1} - тензор инерции ядра относительно системы координат С1х1х2х3. Будем предполагать, что главный цент-
ральный момент инерции С1 > А1 (это связано с достаточно быстрым вращением планеты вокруг оси С1х3). Относительно оболочки также предположим, что она занимает область У2, внутренняя
2
поверхность которой задается уравнением г2 = = (а1 + I)2, г2 = (уь у2, у3) в системе координат С2у1у2у3. Здесь С2 - центр масс оболочки, I - толщина вязкоупругого слоя между ядром и оболочкой. Тензор инерции оболочки в системе координат С2уууз равен /2 = diag{А2, А2, С2}, С2 > А2. Если системы координат С1х1х2х3 и С2у1у2у3 совпадают, то вязкоупругий слой находится в ненапряженном состоянии.
Система координат СХ1Х2Х3 связана с центром масс планеты, а ее оси параллельны осям инерци-альной системы координат ОХ1Х2Х3, начало которой является центром масс планеты и материальной точки массы т (рисунок). Справедливы векторные равенства в системе координат СХ1Х2Х3
mr m,m2
Pi = —-rQ + Г! r1; Г1 e У1г mr = 1 2 ,
m1 m1+m2
m-
P2 = — Q + Г2Г2, Г2 e У2,
2 m2 2 2 2 2
Гк = Оз(у + ¥k)Oi(9 + 0k)Оз(ф + ), к = 1, 2,
(1)
где Рь Р2 - вектора точек ядра и оболочки, Q -вектор С1С2, Г1; Г2 - ортогональные операторы перехода от систем координат С1х1х2х3, С2у1у2у3 к системе координат СХ1Х2Х3. Если Q = 0 и Г1 = Г2, то ядро планеты находится внутри оболочки и их главные оси инерции совпадают. При движении планеты имеют место малые смещения и повороты оболочки планеты относительно ее ядра. В системе
координат С1х1х2х3 это смещение равно я = ГЦ1 Q,
а относительный оператор поворота Г = Г-1 Г2. Для точек, лежащих на поверхности ядра и внутренней поверхности оболочки, справедливо векторное равенство
Г2 = q + (1 + a¡-)гГ1, Г1 = (*1, Х2, Хз), Г2 = (У1, У2, Уз), q = (Q1, ?2> ?3),
(2)
где q - смещение центра оболочки относительно центра ядра, Г - матрица поворота оболочки относительно системы координат С1х1х2х3, связанной с ядром, г1, г2 - векторы точек на поверхности ядра и внутренней поверхности оболочки соответственно. Вектор смещения q представляется малым в том смысле, что мало отношение а оператор Г близок к единичному так, что
Г = 01(у 1 )02(у2) Оз(Уэ),
O1 (Y1) =
O2 (Y2) =
Оз(Уз) =
1 0 0 0 cosy 1 -siny 1 0 sin y 1 cos y 1 y
cos y2 0 sinY2 0 1 0 -sin y 2 0 cos y 2
í \ cosY3 -siny3 0
sinY3 cos Y3 0
0 0 1
(3)
где у1, у2, Y3 - малые углы поворота оболочки относительно соответствующих осей. Если операторы Г1, Г2 задать с помощью углов Эйлера и учесть соотношения (3), то окажутся справедливыми равенства
Г =
г \
1 -Yз Y2
Yз 1 -Y1
-Y2 Y1 1
, Ay = ¥2- ¥ 1,
A0 = 02- 01, Аф = ф2- 91, (4)
Y1 = Ay sin 0 sin ф + A0 cos ф, Y 2 = Ay sin 0 cos ф - A0 sin ф, y 3 = Ay cos 0 + Аф.
Углы Эйлера y, 0, ф описывают вращение планеты, когда ее ядро и оболочка составляют единое целое, а возмущения yk, 0k, фк, к = 1, 2 равны нулю. В соотношениях (4) опущены члены второго порядка малости и выше относительно Ay, A0, Aф.
Будем считать, что взаимодействие ядра и оболочки моделируется упругими силами с потенциалом [7]
Е[u] = JJJ 2(divu)2 + ^S
i, j = 1
dx 1 dx2 dx3,
(5)
= 1 ( + ) = dh
eij = 2(Uij + Uji), Uij = dx .'
Здесь X, ц - коэффициенты Ламе однородной упругой среды между ядром и оболочкой, У0 = = |а1 < |г| < а1 + 1} - область, занимаемая вязко-упругим слоем между ядром и оболочкой, и(г, ¿) -вектор перемещений точек упругой среды относительно системы координат, связанной с ядром планеты. Для оценки величины упругого потенциала (5) примем это поле упругих перемещений, согласно (2), в виде
U = "Г"-[q + (Г - E)Г], Г = (Х1, Х2, Х3),
, 2 2 ^1/2 - = (Х1 + Х2 + Х3) .
(6)
Поле перемещений (6) обращается в нуль на поверхности ядра и соответствует перемещениям точек на внутренней поверхности оболочки. Можно сказать, что формула (6) является аппроксимацией поля перемещений представленной первым членом его разложения в ряд Тейлора вдоль луча, совпадающего с одним из радиусов ядра. Используя равенство (6), найдем потенциал упругих сил (5) в виде
Е [ и ] = 1 [ N1 q2 + N2^ 2 + Y 2 + Y2)]
N1 =
4 пЕ( 1 - v) [ ( а 1 + I ) 3 - al ] 9 I2 (1 + v ) ( 1 - 2 v ) ,
(7)
з
2
e
У
и
N =
8 кЕ( 1 - v ) [ ( a 1 + l) 5 - a ] 7512 (1+ v) '
Здесь Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала, составляющего вязкоупру-гий слой. Далее будем предполагать, что взаимные перемещения оболочки и ядра сопровождаются рассеянием энергии, описываемым диссипа-тивной функцией Релея
О = у [ N ? (+ £ + ^) + N2(7? + у2 + Уз2 ])], (8)
где Х1 - коэффициент, определяющий диссипацию энергии, а точка означает производную по времени.
Система координат ОХ1Х2Х3 с началом в центре масс системы инерциальная, а К - радиус-вектор, соединяющий центр масс планеты и точечную массу (рисунок). Кинетическая энергия системы согласно теореме Кенига с учетом соотношения (1) равна
Mr .2 mr 2 1 1
T = "2"R + у < +2( J1 ®1'®1) + 2( J2®2, ®2),
мг =
m (m1 + m2) m + m 1 + m2b
m1 m
(9)
mr =
12
m1 + m2
f 13 (z)'
mr
f 13(z) = II R + Г1 q-" - Г1Г1 ,
m1
(10)
П
23
= -ym J
p 2 dv 2
f 23 ( z ] '
f 23(z) = J[R - Г1 qm - Г2r2| ,
г = 26), 2; = qi, г; + 3 = У;, . = ?• 2, 3-
Здесь у - универсальная гравитационная постоянная, У1, У2, р1, р2 - области, занимаемые ядром и оболочкой и их плотности, представленные соответственно четными функциями по аргументу х3 или у3 и зависящие также от суммы квадратов остальных аргументов. Функция П12 зависит от компонент вектора г и представляется в виде ряда Тейлора
дП12(0)
П?2 (г) = П?2( 0) + 2 +
i = 1
6 Ч
1 v д2П12(0]
+ 2 ¿ — zz + - •
(11)
i, j = 1
д zd z
ij
Поскольку компоненты вектора г малы, то в ряде (11) ограничимся квадратичными членами. Далее согласно с (10) найдем
д /!? (0) (г?- г 2 )е. д /?? (0) (г 2 х г? )е.
где ю1; ю2 - угловые скорости ядра и оболочки в системах координат, связанных с каждым из них. Справедливы соотношения
1 1 2 2
2(JkЫьЫк) = 2Ak[(¥ + Vk) sin (6 + ) +
2 1 2 + (6 + 6k) ] + 2Ck[ф + (pk + (V + Vk)cos(6 + 6k)] •
Найдем выражения потенциальной энергии гравитационного взаимодействия трех компонент системы, а именно, ядра, оболочки и точечной массы m. Имеем
п ff p1p2dv 1dv 2 П12 = -yJJ fo"'
У! U У 2
f 12(z) = 7(q + ГГ2- Г1 )2, Г; е Vi, i = 1, 2, „ rPidv,
П13 = -Ym JH1 1
dqi f32(0) ' dYi i = 1, 2, 3
f 12 (0)
где е; - орт оси С1х;. Учитывая симметрию облас-дП12 (0)
тей У1, У2, получим —■■- = 0, . = 1, ..., 6. Для
вторых частных производных справедливы соотношения
д2/12 (0) ,-3 (П)Х ^
-д—2- = -/12 ( 0 +
д qiдqJ ■
+ 3((г2- г?), е.)((г2- г?), е;.)/?25(0),
/0! = - /-3 (0 >([е ■ х е. ]• г2) -
-3((г2- г?)• е.)((г2 х г?)• е;.)/-2(0), = -/?3(0)([е. х г2], [е;- х г?]) +
дУ; дУ ■
+ 3([г2 х г?]• е.)([г2 х г?]• е;-)/?2(0), . > ].
Таким образом, потенциал представляется своей квадратичной частью по переменным в виде
П?2 = 2 [ £?( q? + q2) + ^3 + Л? (у ? + Ъ) + Л3 у3 ],
V
ЯЭ2 fl2
YPlр2-2 ^ 1 ^2,
д дк
к = 1,3, (12)
V и V,
д2 f -1
= -[[ Yplp2-Г¿V1 ¿V 2, к = 1, 3.
V, и У,
22 ^к
1
8з = -2 =
Y ( С2-А2 )
5 й2
(14)
Ц = Y( Ш1 + Ш2 ),
А = А1 + А2, С = С1 + С2,
К° = К/| К|,
а3 = е3К°
(15)
П13 (г ) = -Yт
т А1-С1 2)
["¡5-1—;—гт (1-3 «31)
2 к^3
П23 (г ) = -Yт
тг
к1 = к + Г1 q —г, т1
т2 А2 - С2 (1 а 2 ) ---"3-(1-3 а32)
1к2 21 к
(16)
тг
Коэффициент П3 = 0, так как оба твердых тела обладают симметрией относительно осей С1х3, С2у3 и при вычислении соответствующих интегралов в (12) поворот оболочки или ядра относительно этих осей не меняет взаимного расположения точек этих двух твердых тел. Величину коэффициента П1 оценим приближенным образом, предположив, что ядро и оболочка обладают сферической симметрией, а на их поверхностях в точках с координатами (0, 0, а1) и (0, 0, а2) расположены
отрицательные массы Атк =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.