ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2014, № 1, с. 139-151
УДК 550.34.01
О ДВИЖЕНИИ ПОЛЮСА ПОД ДЕЙСТВИЕМ АНИЗОТРОПНОЙ
СЛУЧАЙНОЙ НАГРУЗКИ
© 2014 г. И. Я. Цуркис, М. С. Кучай, С. В. Синюхина
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта Поступила в редакцию 29.12.2012 г.
Вероятностный подход к описанию чандлеровского движения полюса обобщен на случай анизотропной случайной нагрузки. Движение полюса трактуется как двумерный марковский процесс — решение уравнения Лиувилля — с дискретным временем. Показано, что независимо от соотношения между собственными числами матрицы диффузии, характеризующей правую часть этого уравнения (случайную нагрузку), при достаточно больших значениях шага по времени А движение полюса можно считать изотропным процессом. Рассмотрена задача о достижении "энергией" полюса
Е(() = X! + %2 границы области [Ет^п, Етах]. При значении шага по времени А = 1 год и длине ряда наблюдений N = 150 поправка за анизотропию к полной вероятности Р * пятикратного падения амплитуды чандлеровского движения полюса А = -!Е не превышает 10-2; сама вероятность Р * > 0.3 (если добротность мантии Q < 500). Тем самым показано, что наблюденные вариации амплитуды А(/) можно объяснить в рамках вероятностного подхода без привлечения гипотезы об изотропии случайной нагрузки.
БОТ: 10.7868/80002333714010104
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Вероятностный подход к описанию чандлеровского движения полюса, предложенный Ара-то и Колмогоровым [Арато и др., 1962], трактует это движение как случайную составляющую движения полюса. Мы исключаем из рассмотрения детерминированные составляющие этого движения: компоненту, обусловленную нутацией; вековую составляющую, которая связана с конвекцией в мантии, а также моду с периодом 1 год — ее определяет регулярный ход температур и давлений в атмосфере и в океане.
Гипотеза, на которой основано вероятностное описание, состоит в том, что момент сил, вызывающих чандлеровское движение — стационарный случайный процесс с малым временем корреляции тсог, т.е. белый шум. Следовательно, чандлеровское движение, которое представляет собой решение уравнения Лиувилля, т.е. отклик на это воздействие — марковский процесс, "процесс с памятью в одну точку". Это означает следующее. Пусть мы знаем, где полюс находится в момент времени тогда информация о том, как он там оказался, не имеет прогностической ценности. Строгое определение в терминах плотности вероятности гласит:
р (Х(?з)| Х&), Х(^)) = р (Х(?з)| Х&)).
Здесь x(t) — текущее положение полюса; < /2 < /3. Теория процессов, обладающих указанным свойством, детально разработана, ее приложениям по-
священа обширная литература (см., напр., [Тихонов, Миронов, 1977]).
Можно сказать, что чандлеровское движение полюса является вынужденным решением линейной системы с непериодической правой частью. Тем не менее, из-за того, что это возмущение (нагрузка) носит нерегулярный характер, в спектре Фурье движения полюса превалирует частота свободной прецессии Земли, соответствующая периоду в 430 суток — чандлеровская частота. Источником информации о чандлеровском движении полюса служат астрометрические наблюдения, которые ведутся с середины XIX века.
В модели Колмогорова случайная нагрузка, т.е. правая часть уравнения Лиувилля, предполагается изотропной и описывается одной скалярной величиной — интенсивностью (коэффициентом диффузии). Соответственно, движение полюса — изотропный процесс: корреляционная матрица этого процесса Щ/) является шаровой, а плотность условной вероятности р (хф\ х(0)) инвариантна относительно поворота: она зависит не от углов ф и ф0, отвечающих векторам x(t) и x(0), а от разности ф — ф0.
Но если это так, то величина Б(1) = |x|2 — "энергия" полюса — тоже марковскиий процесс, причем для плотности условной вероятности этого процесса можно вывести явную формулу [Цуркис, Спиридонов 2009]. Это позволяет решить известную задачу о достижении случайным процессом Б(1) границы заданной области, и связать размах колебаний
амплитуды А = ^Е(?) с добротностью мантии Q —
важным параметром, фигурирующим в уравнении Лиувилля.
Отказаться от этой модели заставляет то, что данные об угловых моментах океана и атмосферы носят анизотропный характер [Цуркис, Кучай, 2012]. Авторы не разделяют мнения Р. Гросса, который считает, что океанического и атмосферного моментов достаточно для возбуждения чандле-ровского движения полюса (см. [Gross et al., 2003]), но пренебречь вкладом атмосферы и океана, конечно, нельзя. Итак, задача состоит в том, чтобы оценить поправку к полученным ранее результатам, обусловленную анизотропией нагрузки, действующей на полюс.
Анизотропную случайную нагрузку описывает симметричная неотрицательная 2 х 2 — матрица диффузии F. Задавшись этой матрицей, мы можем вычислить корреляционную матрицу K(t) марковского процесса, которая шаровой уже не будет. Пусть и Х- — соответственно наибольшее и наименьшее собственное число матрицы K. Величина s:
6 = (к + -к _)/(к + + к _)
характеризует анизотропию, причем не нагрузки, а "отклика", т.е. самого движение полюса. В п. 2 будет показано, что при t > 1 год параметр анизотропии s <§ 1 независимо от того, является ли изотропной нагрузка. Иначе говоря, при значении шага по времени А ~ 1 год движение полюса "в нулевом приближении" можно представить как изотропный марковский процесс с дискретным временем и коэффициентом диффузии, равным a = TrF.
При детальном анализе влияние анизотропии случайной нагрузки на чандлеровское движение естественно оценивать в терминах упомянутой выше задачи о достижении случайным процессом — энергией E или амплитудой A(t) — границы. Если речь идет о процессе с дискретным временем, решение этой задачи — вероятность того, что случайный процесс не выйдет за пределы данной области — можно записать в виде интеграла по 2N-мерному параллелепипеду, где N = T/А; T — время, в течение которого мы наблюдаем за движением полюса.
В случае анизотропной нагрузки вычислить этот интеграл "в лоб" нельзя. Предлагаемая авторами альтернатива состоит в том, чтобы разложить вероятность в ряд по степеням параметра анизотропии s, т.е. построить теорию возмущений, взяв в качестве исходного приближения изотропный случай. Такой подход оправдан тем, что, как уже было сказано, в широком диапазоне значений А параметр s ^ 1 независимо от соотношения между собственными числами матрицы диффузии.
В статье получены следующие результаты: 1) показано, что при s ^ 0 поправка за анизотропию стремится к нулю равномерно по длине ряда наблюдений N; 2) вычислена первая поправка к условной вероятности достижения границы; 3) получена оценка поправки за анизотропию к полной вероятности; показано, что в первом порядке теории возмущений эта поправка равна нулю; 4) показано, что основной результат статьи [Цуркис и др., 2009] сохраняет силу и в случае, когда нагрузка не является изотропной: при T = 150 лет и Q = 50...500 вероятность события, состоящего в пятикратном падении амплитуды чанд-леровского движения, >0.3. Это означает, что наблюдаемые колебания амплитуды движения полюса можно объяснить в рамках вероятностного подхода, причем нагрузка не обязана быть изотропной.
2. ДВИЖЕНИЕ ПОЛЮСА ПОД ДЕЙСТВИЕМ АНИЗОТРОПНОЙ НАГРУЗКИ
Движение полюса описывает уравнение Ли-увилля, выражающее закон сохранения момента импульса для двухосного самогравитирующего вязкоупругого вращающегося эллипсоида. Введем в рассмотрение тиссеранову систему координат T = {x, y, z}, определив ее следующим образом: в начальный момент времени оси этой системы коллинеарны главным осям тензора инерции J, причем ось z направлена вдоль оси симметрии; в дальнейшем система координат вращается так, что момент количества движения эллипсоида в ней равен 0, см. [Молоденский, 1982].
Пусть тиссеранова система отсчета T вращается относительно инерциальной (звездной) системы координат с угловой скоростью Q. Тогда момент количества движения равен J • Q, а уравнение баланса момента импульса, как и в случае абсолютно твердого тела, имеет вид:
(J • Q)' + Q х J • Q = M, (1)
где M — момент внешних, в том числе диссипа-тивных сил.
Пусть Qx, Qy, Qz — тиссерановы координаты вектора Q. Мы заранее предполагаем, что частота
суточного вращения Qz ~ const, и -^ОX + О2 < Qz. Обозначим через x1 и x2 координаты полюса в системе отсчета T:
х, = Q x /Q z, X2 = Q y/Q z.
Уравнение Лиувилля выводится из (1) и представляет собой систему:
X + — X2 + юх2 = f,, X2 - — X - юх, = f2, (2) 1 2Q 2Q
где: ю ~ 0.0145 суток-1 частота свободной прецессии (чандлеровская частота);
Q — безразмерная константа (добротность), характеризующая интенсивность диссипации на частоте ~ю: согласно теоретическим оценкам, Q = 50...500 [Smith, Dahlen, 1981];
/j(i), f2(t) — нагрузка, действующая на полюс: с точностью до общего постоянного множителя функцииfa, а = 1, 2 совпадают с экваториальными компонентами возмущающего углового момента.
Покажем, что существует принципиальная возможность наблюдать за движением тиссерановой системы координат относительно звезд — в противном случае от уравнения (2) было бы мало пользы.
Пусть С1, C2, С3 — материальные элементы, принадлежащие земной коре такие, что расстояния между ними сравнимы с радиусом Земли. Обозначим через n нормаль к плоскости С1С2С3
x = k(t)\x1(0)cosУ - x2(ü)sinУ I, = k(0| x1(0)sinу + x2(0)cosу I,
(3)
k(t) = e
- „ Q
(4)
где ß — не зависящий от времени коэффициент:
ß = 1 +
402
(5)
а Z1(t), Z2(t) — решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями:
Zi(t) = J(c(t - т) fi (т) - S (t - т) f (т)) dx,
(6)
Z 2(t) = J(S (t - т) fi (т) + С (t - т) f2 (т)) dт,
где
C(t) = MI cos^ - -^sin^ I, ß l ß 2Q ß 1
S(f) = Ш (sin Ш + ^cos ^ ß l ß 20 ß
(7)
и свяжем с векторами п, С1С2, С1С3 систему отсчета Т'. Исходя из сферически симметричной модели Земли, можно показать, что временные вариации углов между отрезками С1С2, С2С3, С3С1 и осями тиссерановой системы координат малы даже
по сравнению с величиной ^0.2Х + 0.2у/□ г, т.е. система отсчета Т' движется относительно тиссера-новой системы Т поступательно. Используя данные астрономических наблюдений, мы може
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.