МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2009
УДК 531.36:534.1
© 2009 г. О.В. ХОЛОСТОВА
О ДВИЖЕНИЯХ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА С ВИБРИРУЮЩЕЙ ТОЧКОЙ
ПОДВЕСА
Рассматриваются движения системы, состоящей из двух шариирио соединенных физических маятников, вращающихся вокруг горизонтальных осей. Предполагается, что точка подвеса системы, совпадающая с точкой подвеса одного из маятников, совершает высокочастотные гармонические колебания малой амплитуды вдоль вертикали. Предполагается также, что существуют четыре положения относительного равновесия, для которых точки подвеса и центры масс маятников лежат на одной вертикали.
Проведено исследование устойчивости указанных положений относительного равновесия. В случае произвольных физических маятников получены условия устойчивости в линейном приближении. Для системы, состоящей из двух одинаковых стержней, вопрос об устойчивости решен в нелинейной постановке. Для этой же системы изучен вопрос о существовании, бифуркациях и устойчивости высокочастотных периодических движений малой амплитуды, отличных от положений относительного равновесия на вертикали.
Исследования по повышению динамической устойчивости механических систем под воздействием высокочастотных возмущений начато с работы [1], где показано, что перевернутое неустойчивое положение равновесия маятника может стать устойчивым при наличии быстрых вибраций точки подвеса. Эта идея получила развитие в работах [2-10] и других, где проводится как линейный, так и нелинейный (хотя не вполне математически строгий) анализ ряда аспектов движения математического маятника при быстрых вибрациях точки подвеса малой амплитуды. Рассматриваются движения точки подвеса вдоль произвольной наклонной оси [2, 4, 7, 8], по вертикали [3, 5, 6], горизонтали [9], при наличии демпфирования [8]. В монографии [10] рассматривается стабилизация маятника или системы маятников при периодических и условно-периодических вибрациях точки подвеса по вертикали, вдоль наклонной прямой, по эллипсу.
Строгий нелинейный анализ существования и устойчивости периодических движений математического маятника при горизонтальных и косых вибрациях точки подвеса содержится в работах [11, 12]. При вертикальных вибрациях точки подвеса произвольной частоты и амплитуды строгий анализ устойчивости относительных положений равновесия маятника на вертикали проведен в [13].
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему, состоящую из двух шарнирно соединенных физических маятников 1 и 2 (фиг. 1), вращающихся вокруг горизонтальных осей в поле тяжести. Пусть Оъ 02 и С^ С2 - точки подвеса и центры масс маятников. Будем считать, что точки 0Ь 02 и С лежат на одной прямой (см. фиг. 1). Предполагаем также, что точка 01 (точка подвеса системы) совершает гармонические колебания вдоль вертикали по закону = ^тО? относительно некоторой фиксированной точки О*.
Фиг. 1
Пусть m1 и m2 - массы маятников, р1 и р2 - их радиусы инерции относительно осей вращения. Через l, b1 и b2 обозначим расстояния OiO2, 01C1 и O2C2. Величины l и b2 считаем неотрицательными; величину b1 считаем положительной, если точки C1 и 02 лежат по одну сторону от точки 01 (как на фиг. 1), и отрицательной, если эти точки лежат по разные стороны от 01. Углы отклонения отрезков 0102 и 02C2 от нижних вертикальных положений обозначим через ф1 и ф2.
Кинетическая и потенциальная энергии системы определяются выражениями (слагаемые, не зависящие от фу и фj (j = 1, 2), отоброшены):
2 2 2 2 2
Т = 1/2(m1p1 + m2l )(pj + 1/2m2p2ф2 + m2lb2cp1tp2cos(ф: - ф2) -
- [(m1b1 + m2l)ф^тф1 + m2b^2sinф2]aQcosQt
П = - (m1 b1 + m21) g cos ф1 - m2 b2g cos ф2
Введем канонически сопряженные к координатам ф1 и ф2 импульсы Рф = ЭТ/Э ф1 и Рф = дТ/д фр2. Разрешив эти соотношения относительно обобщенных скоростей фр1 и ф2,получим
ф1
Р2Рф1- lb2cos(ф1- ф2)p
ф2
ф2 =
miр2р2 + m2l2[р2 - b2cos2(ф: - ф2)] (m1 р1 + m2l^)pф2- m2lb2cos(ф1 - ф2)^
(1.1)
ф1
2 2 2 2 2 2 m2{m1p1 р2 + m2l [р2- b2cos (ф1 - ф2)]}
Р ф = Рф + (m1b1 + m2l) aQ cos Q t sin ф1( p ^ = рф + m2 b2a Q cos Q t sin ф2
>1
ф2
ф2
(1.2)
Функция Гамильтона системы имеет вид
H = 1/2 (m1p21 + m2¡2 )ф2 + 1/2 m2p2 ф2 + m2¡b2 (p1(p2cos (фх — ф2) -
(1.3)
- (m1 b1 + m2 ¡) g cos ф1 - m2 b2g cos ф2
где вместо величин ф1, ф2 должны быть подставлены их выражения из соотношений (1.1), (1.2).
Осуществим в гамильтониане (1.3) унивалентное каноническое преобразование фу, рф ^ фу, рф (у = 1, 2), в котором фу = фу, а величины рф вычисляются по формулам (1.2). Это преобразование задается производящей функцией
^(ф1> ф2> рф1> рф2) = ф1рф1 + ф2рф2 + [(m1b1 + m2¡)C0sф 1 + m2b2c0sф2]aQC0sQf
В новых переменных гамильтониан системы преобразуется к виду
~ = m 2 Р 2 р ф1 - 2 m 2¡b2 c0s (ф1 - ф2 ) р ф1 р ф2 + ( m 1 Р 2 + m 2 ¡2 ) рф2
2 2 2 2 2 2 2m2{m1p1p2 + m2¡ [p2-b2cos (сфх -ф2)]}
2
-(g + aQ sinQt)[(m1b1 + m2¡)cosф1 + m2b2cosф2]
При ¡ = 0 уравнения движения маятников разделяются. Этот случай двух несвязанных физических маятников с общей точкой подвеса далее рассматривать не будем.
Пусть ¡ ф 0. Будем предполагать, что амплитуда a колебаний точки Ox мала по сравнению с расстоянием ¡, а частота Q колебаний велика по сравнению с характерной частотой Jgí¡. Введем малый параметр е = a/¡ (0 < е < 1) и безразмерную частоту ю, определяемую формулой е2ю2 = g/(¡Q2).
Обезразмерим импульсы рф и р при помощи канонического преобразования фу,
рф ^ фу, рф (j = 1, 2) по формулам фу = фу, рф = m1¡1Qрф . Введем безразмерное время т = Qt и безразмерные параметры
b2 b1 Ру
ц = m2/m1, в = у = -¡- + ц, ¡у = ¡ (у' = 1, 2)
Здесь ц > 0, ¡у > 0, в > 0, параметр у принимает значения любого знака. Случай в = 0 означает, что маятник 2 подвешен в центре масс (т.е. O2 = С2). Величина у равна нулю, если точка Ox подвеса маятника 1 находится в центре масс O (см. фиг. 1) системы, состоящей из точечных масс mj и m2, в предположении, что они сосредоточены в точках C и O2. Величина у отрицательна, если точка O1 лежит внутри отрезка O'O2 и положительна, если она лежит вне этого отрезка.
Заметим, что при выполнении условий в = 0 или у = 0 потенциальная энергия исходной системы зависит только от одной координаты (соответственно ф: или ф2).
В безразмерных переменных гамильтониан системы запишется в виде
ц2^-гц^ш(ф1- ф2)рф1 рф2+ (¡2 + ц)^ф2 2 2 . , - ,
H = -1-. - - ' 2--2- (е ю + еsinт)g((p1, фр2> (1.4)
2ц/(ф1; ф2)
f (ф1, ф2) = ¡2( ¡2 + ц) - цв2^2 (ф1- ф2), g^x, ф2) = у cos фх + цвcos ф2 (1.5)
Система с гамильтонианом (1.4) имеет четыре частных решения, отвечающих положениям относительного равновесия двойного маятника, когда точки 01, 02, С1 и С2 находятся на одной вертикали. При этом р ф = р ф = 0 и выполняется одно из соотношений:
1) = (р2 = 0; 2) (р! = (р2 = п; 3) 91 = п, (р2 = 0; 4) = 0, ср2 = п (1.6)
В случае у > ц (что в исходных обозначениях равносильно условию Ь1 > 0) решения 1) и 2) соответствуют "висящему" и перевернутому маятникам, для которых центры масс С1 и С2 расположены ниже и выше точек 01 и 02. В случае у < ц (Ь1 < 0) эти решения соответствуют "развернутому" маятнику, для которого точки С1 и С2 лежат вне отрезка 0102 по разные стороны от его концов, при этом точка 02 расположена ниже (для решения 1)) и выше (для решения 2)) точки 01.
Решения 3) и 4) отвечают "сложенному" маятнику, для которого точка 02 расположена соответственно выше и ниже точки 01. При этом в случае у > ц для решения 3) (или 4)) точка С1 лежит выше (или ниже) точки 01, а точка С2 - ниже (или выше) точки 02, в случае у < ц для решений 3) (или 4)) обе точки С1 и С2 лежат ниже (или выше) точек 01 и 02 соответственно.
Цель работы - исследование устойчивости названных положений равновесия двойного маятника в рассматриваемом случае высокочастотных колебаний точки подвеса малой амплитуды. В общем случае системы с гамильтонианом (1.4) ограничимся линейной задачей об устойчивости. В нелинейной постановке задача об устойчивости относительных равновесий будет решена для случая маятника, состоящего из двух одинаковых стержней; для этой же системы будет изучен вопрос о существовании, бифуркациях и устойчивости высокочастотных периодических движений малой амплитуды, отличных от положений относительного равновесия на вертикали.
2. Преобразование гамильтониана. Введем новый малый параметр е = -Те и сделаем в гамильтониане (1.4), (1.5) каноническое (с валентностью е-1) преобразование вида
Затем осуществим каноническую замену переменных х, X; ^ у,, У; ( = 1, 2), исключающую в полученном гамильтониане время т из слагаемых до порядка е3 включительно. Это преобразование может быть получено при помощи метода Депри-Хори [14] и имеет вид
= х;, ръ = еХ;, ; = 12
(2.1)
2
3
4
2
3
4
(2.2)
.(1) ,е_у(2) ,е_У(3) ,е_У(4) ; 2! ; 3! ; 4! ;
У1 =0, у2) = 0, У{ = У sinу1С08т, У2 ) = цв sinу2С08т (2) Э Ж (2) Э Ж „(2) Э Ж „(2) ЭЖ
,(1)
,(1)
•( 1)
•(1)
(2.3)
где функция / определена в соотношении (1.5).
Вид функций у(п), У(п) при п > 3 в силу громоздкости не приводится. Проводя вычисления по алгоритму метода Депри-Хори, найдем гамильтониан требуемого вида. Делая еще одну замену у, У/ ^ Р% ( = 1, 2) по формулам
У/
У:
Р%/е
(2.4)
и возвращаясь к параметру е, получим функцию Гамильтона
1 2
^ Цг2Р%1-2цРсШ(%1- %2)Р% Р%2 + (¿1 + Р%2 1 ^ , з, К = -1--г—г:-г—2-2 + те П(%,, %2) + 0(е )
(2.5)
П(% 1, %2) =
ьу^ш2 % 1 -2уцр2ео8 (% - %2) % ^ш %2 + (г? + ц)ЦР^Ш2 %2 2
--4ю Я2)
(2.6)
/%2 )
Слагаемое 0(е3) в соотношении (2.5) является 2п-периодической функцией т.
3. Условия устойчивости в линейном приближении. Если в гамильтониане (2.5), (2.6) отбросить слагаемое 0(е3), получим приближенный (укороченный) гамильтониан, отвечающий консервативной системе с двумя степенями свободы с потенциальной энергией е2П(%1, %2)/4. Положения относительного равновесия (1.6) исходной системы с гамильтонианом (1.4) являются положениями равновесия приближенной системы.
3.1. Случай в Ф 0, уФ 0. Полагая в приближенном гамильтониане
Р1.
%2
Р2
(3.1)
и поочередно
1 % 1 = %2 = 2) % 1 = П + %2 = П + 3) %! = п + %2 = 4) = %2 = П +
(3.2)
получим гамильтонианы возмущенного движения для каждого положения р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.