научная статья по теме О ЕДИНСТВЕННОСТИ ВЫСОКОТОЧНОЙ БИКОМПАКТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Математика

Текст научной статьи на тему «О ЕДИНСТВЕННОСТИ ВЫСОКОТОЧНОЙ БИКОМПАКТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 5, с. 815-820

УДК 519.633

О ЕДИНСТВЕННОСТИ ВЫСОКОТОЧНОЙ БИКОМПАКТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА1)

© 2014 г. М. Д. Брагин*, Б. В. Рогов*, **

(*141700Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9, МФТИ (гос. ун-т);

**125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН) e-mail: michael@bragin.cc, rogov.boris@gmail.com Поступила в редакцию 10.12.2013 г.

Проверена возможность построения новых дифференциально-разностных бикомпактных схем третьего-четвертого порядков аппроксимации. Схемы конструировались для одномерного квазилинейного уравнения переноса на симметричном трехточечном пространственном шаблоне. Доказано, что это семейство схем состоит из одной-единственной бикомпактной схемы четвертого порядка аппроксимации. Результат обобщен на случай несимметричного трехточечного шаблона. Библ. 7.

Ключевые слова: квазилинейные уравнения гиперболического типа, компактные разностные схемы, высокоточные бикомпактные схемы.

DOI: 10.7868/S004446691405007X

ВВЕДЕНИЕ

В основе многих моделей, применяемых при решении задач физики и техники, лежат уравнения гиперболического типа. Они описывают процессы переноса, распространения волн и т.п. В последнее время наблюдается большой интерес к построению и развитию компактных схем для численного решения данных уравнений. Это связано с ужесточением требований к точности, эффективности расчетов, а также лучшей адекватности численных методов. Компактные схемы удовлетворяют всем перечисленным требованиям (см. [1], [2]). Еще одним их достоинством является хорошее спектральное разрешение (см. [3]), что особенно важно при исследовании волновых процессов. На одинаковом шаблоне компактные схемы обладают более высоким порядком аппроксимации (см. [2]), нежели схемы, построенные классическим путем, т.е. приближением производных, входящих в уравнения, конечными разностями. Кроме того, схемы, сконструированные на компактном шаблоне, могут быть решены экономичными методами (см. [1]).

Недавно были предложены так называемые бикомпактные схемы для интегрирования уравнений и систем уравнений гиперболического типа (см. [4]). Эти схемы абсолютно устойчивы, монотонны в широком диапазоне локальных чисел Куранта, консервативны и решаются бегущим счетом. Они легко обобщаются на многомерный случай (см. [5]). Бикомпактные схемы имеют четвертый порядок аппроксимации и, вместе с тем, первый разностный порядок по всем пространственным переменным. Благодаря данному свойству число граничных условий и в разностной, и в дифференциальной задачах одно и то же. Это позволяет положительно судить об адекватности численного метода.

Настоящая работа посвящена поиску нового класса бикомпактных схем интерполяционного типа с пространственной аппроксимацией третьего-четвертого порядка. Присущая схемам третьего порядка диссипация (см. [1]) могла бы повысить качество расчета разрывных решений. В то же время был бы унаследован ряд позитивных свойств уже известных бикомпактных схем. Однако в работе строго доказано, что данный класс вырожден и состоит всего лишь из одной-

1) Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Правительства РФ по постановлению № 220 "О мерах по привлечению ведущих ученых в российские образовательные учреждения высшего профессионального образования" по договору № 11.G34.31.0072, заключенному между Министерством образования и науки РФ, ведущим ученым и Московским физико-техническим институтом (государственным университетом).

единственной схемы — бикомпактной схемы четвертого порядка аппроксимации. Последнее утверждение понимается в смысле единственности пространственной аппроксимации.

1. СИММЕТРИЧНАЯ БИКОМПАКТНАЯ СХЕМА

Рассмотрим задачу Коши для одномерного однородного квазилинейного уравнения гиперболического типа, записанного в дивергентной форме:

т дО(ы) дР(ы) п , п

Ьы = ' + —^ = 0, -да < х <+да, г > 0; /1Ч

дг дх (1)

ы\,=0 = у"0(х), -да < х < +да.

Опишем на примере задачи Коши (1) методику построения симметричной бикомпактной схемы, имеющей четвертый порядок аппроксимации по пространственной переменной х (далее для краткости — порядок). Приемы и подходы данной методики окажутся полезными при доказательстве единственности упомянутой схемы.

Для всех г > 0 введем на оси Ох неравномерную сетку ю, состоящую из целых узлов ху, и сетку ю', состоящую из полуцелых узлов ху-+у2, шаги Ну+1 = ху+1 - х у > 0. Здесь и далее индекс у пробегает множество целых чисел. Используя метод прямых и интегро-интерполяционный метод, дискре-тизируем по х дифференциальное уравнение в задаче (1), а также его следствие д(Ьы)/дх = 0.

Проинтегрировав при фиксированном г > 0 по отрезку (ячейке) [ху,ху+1] уравнение Ьы = 0 и применив для аппроксимации интеграла от функции Q формулу Симпсона, получим

Ш (у+1/2) +1 Д0*У+1/2 + О(Л4) = 0, (2)

ш п

где

А£у+1Д = 6 (( + 4О+1/2 + Оу+1), ^0^+1/2 = Р+1 -

Нижние индексы в уравнении (2) указывают на значения функций О и Р в соответствующих узлах сеток ю, ю'. Ради простоты записи условимся обозначать шаг Лу+1 через П.

Интегрирование следствия д(Ьы)/дх = 0 по тому же отрезку с аппроксимацией интеграла от

2 2

д Р/дх методом средних прямоугольников дает

а ((.+1/2) + ) А 2Р+1/2 + О(Л3) = 0, (3)

аг п

где

А 2Ру+1/2 = Ру - 2ру+1/2 + Ру+1.

Отметим, что для аппроксимации самой производной д2 Р / дх2 в точке ху+]/ 2 используется стандартная симметричная формула, обладающая точностью О(П2).

Собирая вместе уравнения (2), (3) и отбрасывая остаточные члены, запишем искомую схему в непрерывном по I виде:

у (у+1/2)+ 1Л0Р+1/2 = 0,

ш п (4)

у (Л0Оу+1/2)+ ) Л2Ру+1/2 = 0.

Начальные условия для этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) получаются проецированием на сетки ю, ю' данных Коши из задачи (1).

Задачу Коши, но уже для системы ОДУ (4), можно решать численно, например при помощи одного из методов Рунге—Кутты. При этом, разумеется, произойдет переход к полностью дискретной бикомпактной схеме четвертого порядка. Если заменить производные по времени в уравнениях (4) разностями "назад", то получится так называемая базовая схема, свойства которой изучены в [4].

Конечно, в выборе метода численного интегрирования системы (4) имеется произвол. Это означает, что существует сколь угодно много симметричных бикомпактных схем. Тем не ме-

нее, мы не станем делать между ними различия, понимая, что все они получаются из данной дифференциально-разностной системы. Другими словами, вопрос о единственности бикомпактных схем, вынесенный в заголовок статьи, будет рассматриваться применительно к полудискретным схемам.

2. СЕМЕЙСТВО ВЫСОКОТОЧНЫХ КОМПАКТНЫХ СХЕМ

Наряду с симметричной бикомпактной схемой, которой посвящен разд. 1, представляют интерес направленные, противопоточные бикомпактные схемы третьего порядка. В их основе лежат компактные схемы той же точности, подробно исследованные в [1]. Изложим вкратце идею построения данных схем.

Интегрируя при постоянном t > 0 уравнение Lu = 0 по отрезку [xj,Xj+1/2] и приближая на отрезке [х;-, Xj+1] функции Q и F полиномами Лагранжа второй степени, получим дискретное по x уравнение

d (A+Qj+1/2) + 2 A-Fj+1/2 + O(h3) = 0, (5)

dt h

где

A+Qj+1/2 = (5Q + 8Qj+1/2 - Q+1) > Д-Fj+1/2 = F+1/2 - Fj.

Действуя аналогично на отрезке [Xj+V2, xj+1], можно вывести уравнение

d (A-Qj+1/2) + 2 А+Fj+1/2 + O(h3) = 0, (6)

dt h

где

A Qj+1/2 = 12(5Qj+1 + 8Qj+1/2 - Qj)' Л+Fj+1/2 = Fj+1 -Fj+1/2-

Заметим, что после пренебрежения остаточными членами и введения однопараметрического семейства сеточных операторов вида

A(s) = Ao - S А о, A(s) = А о - sA 2, - 1 < s < 1, 4

уравнения (2), (5) и (6) можно записать в виде

d (A(s)Qj+12) +1 A(s)Fj+1/2 = 0. (7)

dt h

Легко видеть, что случай s = 0 соответствует выбору пары операторов A0, А 0, а случай s = ± 1 — пары операторов A+, А +. Интересно, что систему двух независимых уравнений (7) при s = ± 1 можно привести к системе уравнений (4) линейным невырожденным преобразованием.

3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИММЕТРИЧНОЙ БИКОМПАКТНОЙ СХЕМЫ

Зададимся целью построить на основе однопараметрического семейства компактных схем из разд. 2 семейство консервативных бикомпактных схем третьего-четвертого порядков. При этом условимся, как и ранее, ограничиваться шаблоном, состоящим из двух целых и одного полуцелого узлов.

Исключим из рассмотрения полуцелые узлы и понизим порядок разностных уравнений до первого, что позволит преобразовать компактную аппроксимацию к бикомпактной. Обратим внимание на то, что равенство (7) переписывается в виде

d ((А+1/2) + ) A0Fj+V2 - 4

d (AoQj+1/2 )+ h A^-FJ+1/2 dt h

= 0. (8)

Значит, его можно получить, осредняя при г > 0 по отрезку [х;-, х}+1] уравнение

М(у)и = Ьы - ——(Ьы) = 0

4 дх

и пренебрегая членами порядка П так же, как это делалось в разд. 1. Таким образом, для составления дополнительной связи между значениями искомой функции в целых и полуцелых узлах необходимо проинтегрировать по ячейке [ху, ху+1] не уравнение д(Ьы)/дх = 0, а уравнение д [М(")ы] /дх = 0:

х+1 х+1

0 = [ [М(")Ы]ШХ = [ дх •>

А (ьы)- (Ьы) дх ; 4 дх !

Шх =

ху+1

Вычислим интегралы:

| дх (Ьи)Ш

х-

ш! Шх + "'Г1 дРы) Шх

•> дх •>

дх

1+1

Г -г(Ьы)Шх = Ш(А0Оу+1/2) + 4 А2Ру+1/2 + О(А3); •"ох аг п

аг

ху+1

Шх = 4 а 2Оу+1/2 + О(А3).

дх п

Следующий интеграл может быть вычислен только на точном решении задачи (1):

ху+1 т л

Г д3Р(ы) Шх = д Р(ы)

дх

дх

- — ( + Оу+1)- 12 А 0Ру+1/2 + О(Й3).

паг п

При этом мы воспользовались формулой Эйлера—Маклорена:

ху+1 1

дР(ы)ах = Д Р = п \ дЦц(х],г)] + дР[ы(ху+1,г)]| ^д2Р(ы)

дх 0 у+1/2 2 \ дх дх \ 12 дх2

х +1

+ О(Г).

Итак, проинтегрированное по отрезку [ху, ху+1] уравнение д [М(")ы] /дх = 0 без учета остаточно-

го члена О(Н ) примет вид

^ (А Оу+т) + 4 А 2^+1/2 + 3" аг п

^(Оу+т )А 0 Ру+1/2 = 0. ш п _

(9)

Пусть

(10)

К1ыУ+1/2 - ш +1/2) + 1 ^0^+1/2, К2ы]+1/2 - ш (^0°+1/2) + 4 А2Ру+1/2-аг п аг п

Аналогично разд. 1 объединяем в систему уравнения (8), (9):

К1ыу+1/2 - +1/2 = 0 3"К1ыу+1/2 + К2ыу+1/2 = 0

Примечателен тот факт, что уравнения полудискретной схемы (

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком