научная статья по теме О ФАЗОВОЙ СТРУКТУРЕ СИСТЕМЫ КВАРКОВ В МОДЕЛЯХ С ЧЕТЫРЕХФЕРМИОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ Физика

Текст научной статьи на тему «О ФАЗОВОЙ СТРУКТУРЕ СИСТЕМЫ КВАРКОВ В МОДЕЛЯХ С ЧЕТЫРЕХФЕРМИОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ»

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2012, том 75, № 2, с. 262-275

= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

О ФАЗОВОЙ СТРУКТУРЕ СИСТЕМЫ КВАРКОВ В МОДЕЛЯХ С ЧЕТЫРЕХФЕРМИОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

© 2012 г. Г. М. Зиновьев1^ С. В. Молодцов2)*

Поступила в редакцию 23.12.2010 г.; после доработки 08.08.2011 г.

Изучаются свойства нагретого плотного газа кварков, описываемых в виде квазичастиц модельного гамильтониана с четырехфермионным взаимодействием. В модели Намбу—Иона-Лазинио обсуждается фазовый переход газ—жидкость. Приводятся аргументы, что одним из правдоподобных сценариев (частичного) восстановления киральной симметрии является (даже при нулевой температуре) смешанная фаза вакуума и барионной материи. Рассматриваются также вопросы описания поверхности раздела двух сред.

Изучение фазовой диаграммы сильновзаимо-действующей материи является сегодня одной из актуальнейших задач для активно ведущихся экспериментальных исследований столкновений релятивистских тяжелых ионов в надежде наблюдать новое состояние материи — кварк-глюонную плазму. С истока становления этого направления исследований важную роль в получении оценок критических температур и плотностей барионного числа играли модели, основанные на эффективных мезонных/кварковых лагранжианах. Несмотря на столь пристальное внимание к ним, лишь относительно недавно был обнаружен целый ряд прежде неизвестных черт, которые позволяют несколько по-новому взглянуть даже на фазовую диаграмму квантовой хромодинамики (КХД) и, возможно, предложить достаточно неожиданную ее интерпретацию.

Эти и смежные вопросы обсуждаются в настоящей работе, в значительной степени мотивированной нашими исследованиями [1, 2], в которых кварки описывались на основе подхода Боголюбова— Хартри—Фока в виде квазичастиц модельного гамильтониана и где детально были рассмотрены вопросы заполнения сферы Ферми. В частном случае модели Намбу—Иона-Лазинио (НИЛ) [3] были обнаружены дополнительные ветви решений уравнения для щели, где динамическая масса кварка является многозначной функцией химического потенциала. Как следствие, было обнаружено существование заполненного кварками состояния,

'-'Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАНУ, Киев.

2)Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия; Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия. E-mail: molodtsov@itep.ru

почти вырожденного с вакуумом, как по химическому потенциалу квазичастиц, так и по давлению в ансамбле. В целом, развитое описание можно рассматривать как еще одно микроскопическое обоснование модели мешка, в котором заполненные состояния вполне могут играть роль естественного материала для конструирования барионов.

Здесь мы займемся дальнейшим изучением свойств кваркового ансамбля, при конечной температуре и фиксированном среднем заряде (барионном числе) ансамбля кварков. Будет прослежена эволюция дополнительных ветвей решений уравнения щели как функции температуры и рассмотрены некоторые термодинамические свойства ансамбля кварков. Описание строится на основе двух подходов (взаимно дополняющих друг друга): в виде преобразования Боголюбова и в приближении среднего поля. Первый подход обладает тем преимуществом, что плотность ансамбля кварков при нулевой температуре, по определению, непрерывным образом зависит от импульса Ферми. Именно это свойство оказалось ключевым для того, чтобы заметить упомянутые дополнительные ветви решений уравнения для щели. Мы приводим аргументы в оправдание гипотезы о том, что восстановление (частичное) киральной инвариантности может быть уже реализовано (в естественных условиях) в виде смешанной фазы газа и жидкости (вакуума и барионной материи). Кроме того, в работе затрагиваются некоторые вопросы описания поверхности раздела двух сред и, в частности, получена оценка коэффициента поверхностного натяжения.

1. ТЕРМОДИНАМИКА КВАРКОВОГО АНСАМБЛЯ

Напомним некоторые моменты описания кварков в виде квазичастиц. Помимо свободного чле-

на модельный гамильтониан содержит взаимодействие в виде произведения двух цветных токов, сосредоточенных в пространственных точках х, у, связанных формфактором

Н = V + гт)д — (1)

- цаЪд! ¿уд' ¿4 д'(А^Ь),

где д = д(х), д = д раторы кварков,

(ы(х) =

(х), д' = д(у), д = д (у) - опе-[ ¿р 1

(2п)3 (2\р4\)1/2

х [а(р,в,с)иаг (р , в, с)егрх + + Ь+(р , в , фаг(р , в , с)е-грх] ,

2 2 2-Р2 = —р2 — т2; г — цветовой индекс; а — индекс

спинора в координатном пространстве; а+, а и Ь+, Ь — операторы рождения и уничтожения кварков и антикварков; а\0) = 0, Ь\0) = 0, \0) — вакуум свободного гамильтониана. Всюду подразумевается суммирование по индексам в и с, причем индекс в описывает две спиновые поляризации кварка, а индекс с должен играть аналогичную роль в отношении цвета. Величины ¿а = Ха/2 — генераторы цветовой калибровочной группы Би(^), т — токовая масса. Плотность гамильтониана приведена в евклидовом пространстве; ^^ обозначают эрмитовы матрицы Дирака, ц,и = 1,2,3,4; (А^А'^Ь) обозначает формфактор вида

2

(А^А'Ь) = $аЬ с

аЬ/

N2- 1

[I(х — у)5^ — ^(х — у)],

р,8

+ а(р,в)Ь(—р,в)]}.

Для упрощения обозначений в этой формуле и в дальнейшем будем упоминать только один индекс,

подразумевая при этом спиновую и цветовую поляризации. Описывающий силу спаривания параметр ^>(р) находится из условия минимума средней энергии

Е = (а\И\а).

(5)

(2)

При помощи одевающего преобразования определяем операторы рождения и уничтожения квазичастиц А = ТаТ-1, В + = ТЬ+Т-1, для фермионов Т-1 = Т^. В ются как

[ ¿р 1

результате поля кварков представля-

(х)

(2тг)3(2|р4|)1/2

х [А(р,в)и(р, в)егрх + В+(р,в)У(р,в)е-грх] , , [ ¿р 1

(х)

(2п)3 (2\р4\)1/2

х [А+(р,8)и(р,8)е~^ + Б(р^)У(р,8)ефх] , причем преобразованные спиноры и и У имеют вид и(р, в) = сов(^)и(р, в) — 8ш(^>)-и(—р, в), (6) У(р, в) = 8ш(р)и(—р, в) + еоБ((р)у(р, в),

где й(р,з) = и+{р,в)74, Т^р.в) = У+(р,в)74-дираковски сопряженные спиноры.

В работе [2] изучалось заполнение сферы Ферми квазичастицами кварков путем построения такого состояния, имеющего вид слэттеровского детерминанта

(3)

N) = [] А+(Р; 5 )\а),

\Р\<РГ,Я

(7)

где второе слагаемое натянуто на вектор относительного расстояния. Поле со штрихом обозначает глюонное поле в точке у. Напомним, что представленный эффективный гамильтониан (1) появляется при усредненном описании кварков, находящихся под действием сильного стохастического глюонно-го поля А^, см. [1]. Для простоты в дальнейшем мы будем пренебрегать вкладом второго слагаемого в (3). Поиск основного состояния системы осуществляется в виде боголюбовской пробной функции, образованной кварк-антикварковыми парами с противоположными импульсами и с квантовыми числами вакуума:

И = Т\0), (4)

Т = П ехр{^[а+(р, в)Ь+(—р, в) +

чтобы средняя энергия по состоянию \N) была минимальной. Поляризации пробегают все допустимые значения, а импульсы кварков увеличиваются до граничного импульса Ферми Рр. В дальнейшем для обозначения импульсов и поляризаций состояний, формирующих газ квазичастиц, мы, как и в приведенной формуле, также будем использовать заглавные буквы. В других случаях будут применяться строчные буквы.

Состояние ансамбля при конечной температуре Т, как известно, описывается соответствующим равновесным статистическим оператором £. Мы ограничимся приближением Боголюбова— Хартри—Фока, в котором статистический оператор представляется в виде экспоненты

е арр

£ = —г0 = Тг{е~^},

А0

некоторого аппроксимирующего эффективного гамильтониана Иарр, квадратичного по операторам рождения и уничтожения квазичастиц кварков А+, А и антикварков В+, В, который действует в

х

соответствующем фоковском пространстве с вакуумным вектором |а), в = Т-1. Явный вид этого оператора нам в дальнейшем не понадобится, поскольку интересующие нас величины в приближении Боголюбова—Хартри—Фока выражаются через соответствующие средние (матрицу плотности):

п(Р) = Тг{£А+(Р; 5)А(Р; 5)}, п(Я)= Тг{£Б+ (д; Т)Б(д; Т)},

которые мы определим в ходе решения следующей вариационной задачи. Требуется найти такой статистический оператор £, чтобы при фиксированном среднем заряде (в контексте нашего исследования мы будем интерпретировать его как барионное число с включением известного фактора 3, связывающего плотность кварков и плотность барионного числа)

Q4 = Tr {^4} =

(8)

= V ■ 2NC

dp

[n(p) - n(p)],

где (интересующие нас диагональные компоненты оператора Q4)

Q4 = - dxqiY4q =

dp -ip4 (2vr)3 \p4\

[A+(p)A(p)+B(p)B+(p)]

и заданной средней энтропии S = —Tr{{ ln £} = -V ■ 2NC

dp

(9)

\P4\( cos M+(p; s)A(p; s) +

dp

+ sin 9A+(-p; s)B+(p; s) +

+ sin^B(-p; s)A(p; s) -- cos 6B(p; s)B+(p; s)

в среднюю энергию представляется в виде

Tr{£H0} = f ЩзЫ( l-cos0)+ (11)

+

dp

(2n)3

(2n)

\p4\ cos 9[n(p) + n(p)],

х [п(р) 1пп(р) + (1 — п(р)) 1п(1 — п(р)) + + п(р) 1п п(р) + (1 — п(р)) 1п(1 — п(р))] 5 = — 1п £, средняя энергия ансамбля кварков Е = Тг {^И}

была минимальной. Выражение для среднего заряда (8) приведено с точностью до несущественной (бесконечной) константы, связанной с перестановкой операторов ББ+ в операторе заряда Q4. Уместно также напомнить, что средний заряд следует трактовать в некотором термодинамическом смысле, поскольку он не содержит "открытых" цветовых индексов и характеризует плотность ансамбля кварков.

Вклад свободного гамильтониана И0 = — J йЩ(х)(1чV + гш)д(х) = (10)

где H0 = H0/(V ■ 2NC) — удельная энергия; в = = 2^>. Отметим, что в первом слагаемом проведена естественная регуляризация путем вычитания вклада свободного гамильтониана H0 (без спаривания кварков и антикварков). В нашем случае это вполне естественная нормировка, чтобы при нулевом угле спаривания получалась нулевая энергия ансамбля. В результате появилась единица в скобке, содержащей cos в.

От гамильтониана взаимодействия,

qtaY^qq'taYvq, возникают четыре нетривиальных вклада. Перечислим их. Член Tr{{BB+B'B'+} генерирует следующие слагаемые: Vai(p,s)tfj^/3 х xV^(Q,T)Vlk(Q,T)tbkl^sVM(p,s) (плюс аналогичный член с заменами Q,T — Q', T', который генерирует второй кварковый ток со штрихами);

-2F(Q, T)ta^V(Q', T')V(Q', T')tb^V(Q, T). В последнем выражении, так же как и в по

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком