научная статья по теме О ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ ГЕОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПО МОДЕЛИ БОЛЬШОГО ГАУССОВОГО ПРОЦЕССА И ЭМПИРИЧЕСКИМ ДАННЫМ Геофизика

Текст научной статьи на тему «О ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ ГЕОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПО МОДЕЛИ БОЛЬШОГО ГАУССОВОГО ПРОЦЕССА И ЭМПИРИЧЕСКИМ ДАННЫМ»

УДК 550.384

О ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ ГЕОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПО МОДЕЛИ БОЛЬШОГО ГАУССОВОГО ПРОЦЕССА И ЭМПИРИЧЕСКИМ ДАННЫМ

© 2015 г. В. П. Щербаков1, 2, А. В. Хохлов3, Н. К. Сычева1

Геофизическая обсерватория "Борок" — филиал Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, п. Борок E-mail: shcherb@borok.yar.ru 2Казанский (Приволжский) федеральный университет 3Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, г. Москва Поступила в редакцию 25.10.2014 г.

Получено выражение в квадратурах для функции распределения (ф.р.) величины геомагнитного поля В и соответствующего виртуального осевого геомагнитного диполя VADM по модели Большого Гауссового Процесса (БГП). Выполнено детальное сравнение предсказаний этой модели с эмпирическими данными эпохи Брюнеса, содержащимися в мировых базах данных (МБД) по палеонапря-женности. При фиксированном значении широты ф в первом приближении ф.р. /в(В, ф) и fVADM(VADM, ф) близки к гауссовой функции. В то же время глобальная ф.р./В(В) имеет значительный коэффициент асимметрии a = 0.35 в силу того, что ее среднее значение сильно зависит от широты, а глобальная ф.р. /Vadm(VADM), напротив, характеризуется значительно меньшей асимметрией a = 0.16, поскольку ее среднее значение мало изменяется с широтой. Сопоставление гистограмм распределения VADM по данным МБД PINT для эпохи Брюнеса и результатов расчетов по модели БГП показало, что наблюдается заметное расхождение между эмпирическими данными и теоретическими расчетами по модели БГП в области малых VADM, а именно: гистограмма, построенная по МБД PINT, показывает заметное превышение числа таких данных в сравнении с теоретически предсказанными. Отмечая тот факт, что эти же данные неплохо согласуются с моделью БГП по направлениям, объяснением этого противоречия может быть занижение экспериментально определенной палеонапряженности при работе по методике Телье, если порода несет химическую, а не термоостаточную намагниченность. Другое возможное объяснение — кратковременный спад мощности работы геомагнитного динамо, когда происходит синхронное падение как средней величины осевого диполя, так и дисперсии всех остальных членов разложения геомагнитного поля на сумму сферических гармоник, то есть квадрупольной, октупольной и прочих компонент.

DOI: 10.7868/S0002333715050117

ВВЕДЕНИЕ

Вековыми вариациями геомагнитного поля (PSV) называются изменения компонент его вектора В, происходящие на интервалах времени от года до 10 тыс. лет. Источником вековых вариаций являются процессы в жидком ядре Земли, в результате которых генерируется главное геомагнитное поле. До 80-х годов 20 века при изучении современного магнитного поля Земли применялся сферический гармонический анализ, в то время как в палеомагнитологии развивали статистический анализ. Впервые в работах [Constable, Parker, 1988] и [McFadden et al., 1988] независимо друг от друга, применили аппарат сферического гармонического анализа при моделировании длинно-пе-риодных вековых вариаций. В работе [Constable, Parker, 1988] была предложена новая статистическая модель геомагнитных вековых вариаций за последние 5 млн лет — с учетом подходящего мас-

штаба сферические гармонические коэффициенты рассматриваются как случайные величины в рамках так называемого Большого Гауссового Процесса (БГП Giant Gaussian Process). Основные постулаты модели БГП заключаются в следующем:

а) полное описание вектора геомагнитного поля B во времени и пространстве достигается путем разложения его потенциала V по сферическим функциям с зависящими от времени коэффициен-

m 1 m

тами этого разложения gn и hn:

n+1

I-Re

V (r, 0, v) ^^

^0 n=1 m=0V Г

(1)

x (cos0)(gmcosmf + h"m sin my).

Здесь RE — радиус Земли, r — расстояние от центра Земли до точки, где вычисляется величина потен-

179

12*

Таблица 1. Параметры модели QC (мкТ)

E (g?) E (g 2) 0 1 0 g2) ¿2) 2 а

-30.0 -1.2 3.0 3.0 1.3 4.3 4.3 1.3 27.7

При n > 3 параметры on не зависят от m и вычисляются по формуле

циала V, ||0 — магнитная постоянная, у и 9 — угловые сферические координаты с полярной осью, направленной вдоль оси вращения Земли. В геомагнетизме приняты специальные соглашения для многочленов Лежандра:

К(cos0) =

Pm(cos0), m = 0

l^n-m0'Гп (cos0), m > 0 ц (n + m)!

(2)

= a (c/RE)n / ((n + 1)( 2n + 1))

1/2

(3)

где PXcos0) — ассоциированные многочлены Лежандра от аргумента cos 9;

б) все коэффициенты Гаусса статистически независимы и нормально распределены co стан-

m

дартным отклонением on, имеют нулевое мат.

ожидание E(g'm), за исключением аксиальных ди-

0 0 поля g1 и квадруполя g2.

Преимущество модели БГП заключается в возможности полного статистического описания геомагнитного поля во времени и пространстве. На данный момент опубликован ряд моделей БГП, которые отличаются величиной мат. ожиданий

E(g°) и E(g°) и дисперсий (^)2 [Quidelleur, Courtillot, 1996; Constable, Johnson, 1999; Johnson, Constable, 1996; Tauxe, Kent, 2004]. Модели БГП неоднократно тестировались на основе сравнения их результатов с эмпирическими данными по положению палеомагнитных полюсов, полученными по осадочным породам и суммированными в различных палеомагнитных базах данных [Khohlov et al., 2006; Khohlov, Hulot, 2013]. Для тестирования использовалось аналитическое выражение для функции распределения (ф.р.) по угловым элементам геомагнитного поля в модели БГП, полученное в работе [Khohlov et al., 2002]. Тестирование выполнялось по схеме выравнивания данных (uniformization) [Khohlov et al., 2006; Khohlov, Hulot, 2013]. Результаты этих тестирований показали, что предсказания модели QC [Quidelleur, Courtillot, 1996], наилучшим образом согласуются с эмпирическими распределениями положений VGP, полученными для эпохи Брюнеса, и наиболее точно предсказывают поведение поля. В табл. 1 приведены средние значения и дисперсии зональных гармоник разложения (1) согласно модели QC.

здесь а — подгоночный параметр, c/RE = 0.547 — отношение радиуса жидкого ядра c к радиусу Земли Re.

Вообще говоря, модель БГП оперирует с полным вектором поля, и то обстоятельство, что в ней до последнего времени анализировались только вариации угловых элементов, было связано с относительно небольшим количеством данных по палеонапряженности, пригодных для исследования. Однако в связи с получением ряда новых данных и развитием мировых баз данных по палеонапряженности (МБД PINT), стало возможным выполнить некоторые оценки статистических характеристик как угловых элементов, так и интенсивности виртуального дипольного момента (VDM) по данным, представленным в МБД и провести их сравнение с аналогичными характеристиками, полученными по схеме БГП [Щербаков и др., 2014; Сычева и др., 2014]. Было показано, что дисперсии положения виртуального геомагнитного полюса (VGP), рассчитанные по синтетическим и экспериментальным данным (эпоха Брю-неса, изверженные породы), близки друг к другу, что подтверждает применимость теоретической модели к интерпретации данных по МБД PINT

Вместе с тем, была обнаружена заметная разница в дисперсиях виртуального осевого геомагнитного диполя (VADM), рассчитанных по синтетическим и экспериментальным данным. В работах [Щербаков и др., 2014; Сычева и др., 2014] анализ выполнялся путем численного моделирования вековых вариаций геомагнитного поля по алгоритму, предложенному в работе [Хохлов, 2012]. Развивая эту тематику, в данной работе нами выведено явное выражение в квадратурах для ф.р. fB(B, ф) и_/vadm(VADM, ф) по модели БГП и выполнено детальное сравнение предсказаний этой модели с эмпирическими данными, содержащимися в МБД. Здесь ф — географическая широта, связанная с полярным углом 9 соотношением ф = я/2 — 9. Отметим, что попытка вывести аналитическое выражение для ф.р. fB(B, ф) предпринималась ранее в работе [Love, Constable, 2003], но ее авторы ограничились лишь случаем равных дисперсий компонент поля по направлениям NorthEast-Down (рис. 1). Однако это допущение совершенно не отвечает фактической конфигурации геомагнитного поля, в которой разница этих дисперсий очень значительна, как это показано в следующем разделе.

m

О = О

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ ГЕОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В

Для точки со сферическими координатами (г, 9, у) вектор поля B вычисляется из соотношения:

B (r,e,y) = -gradF( r,e,y).

(4)

В любой точке с координатами (r, 9, у) можно ввести локальную систему евклидовых координат, заданных направлениями N, E и D (North-East-Down) (рис. 1), определяемых как пара касательных к соответствующей сфере и направлением, противоположным радиус-вектору. Мгновенное значение вектора поля в заданной географической точке B(t) = —grad V(t) с учетом формулы (1) записывается в виде [Хохлов, 2012]:

B

N

Be B

= - XX gm(')

n = 1 m = 0

(Pm)' ( cos e) cos m у sin e mP'm ( cos e) sin my

sine

-XX hm (')

n = 1 m = 0

(1 + n) Pnn( cos e) cos my

(P'm)'( cos e) sinmу sin e

mPm ( cos e) cos m у sine

(1 + n) Pm ( cos e) sin ( my)

n + 2

(5)

n + 2

Рис. 1. Элементы геомагнитного поля.

/п\ т 0)P0(cose)] . e

< Bn) = -e(gi) 1 v .... 7 sin e -

d(cose)

m 0)d[p0(cose)] . - E(g2) ——sin £

(6)

Поскольку в модели БГП вектор гауссовых коэффициентов ^ полагается стационарным эрго-дическим гауссовым процессом, распределение трехмерного вектора поля B также полагается гауссовым, определяющимся девятью параметрами: три средних вектора Е(В), шесть — элементы симметричной 3x3 матрицы ковариаций Соу(В, В) [Хохлов, 2012]. Диагональные элементы этой матрицы отвечают дисперсии соответствующих компонент поля, в то время как недиагональные описывают корреляции между ними. Так как компоненты вектора геомагнитного поля (северная (X), восточная (У) и вертикальная (X составляющие) определяются через значение градиента одной и той же переменной — геомагнитного скалярного потенциала, то возникновение таких корреляций становится неизбежным. Задачей этого раздела является расчет матрицы ковариаций Соу(В, В).

Как указывалось выше, ненулевые мат. ожидания имеют только коэффициенты ^ и тогда средние значения компонент поля есть:

(7)

d(cose)

/BD) = - 2E(g0)p(cose) - 3E(

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Геофизика»