научная статья по теме О ГЕОЭЛЕКТРИКЕ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД Геофизика

Текст научной статьи на тему «О ГЕОЭЛЕКТРИКЕ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2015, № 1, с. 40-45

УДК 550.37

О ГЕОЭЛЕКТРИКЕ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

© 2015 г. А. В. Гульельми

Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва E-mail: guglielmi@mail.ru Поступила в редакцию 13.01.2014 г.

В данной работе, имеющей в основном методический характер, проанализировано основное уравнение геоэлектрики. В одномерном случае, когда электропроводность зависит только от одной декартовой координаты, уравнение геоэлектрики преобразовано к форме уравнения Гельмгольца. В качестве приложения рассмотрено нетривиальное обобщение классической задачи Гуммеля об электрическом поле рудного тела. Обобщенная модель предсказывает параметрическое возбуждение сейсмоэлектрических сигналов особого вида. Предложено использовать непрерывное наблюдение за полем рудного тела для мониторинга резких (импульсных) изменений уровня грунтовых вод, вызванных природными и техногенными процессами.

Ключевые слова: атмосферное электричество, земные токи, электроразведка, рудное тело. DOI: 10.7868/S0002333715010081

1. ВВЕДЕНИЕ

В горных породах и в атмосфере существуют квазистатические электрические поля и связанные с ними квазистационарные электрические токи. Изучением этих полей и токов занимается геоэлектрика — один из важнейших разделов геофизики (см., например, [Тверской, 1939; Френкель, 1949; Бурсиан, 1972; Уэйт, 1987]). Основное уравнение геоэлектрики имеет вид

V 2ф + (V 1п а)Уф = 0. (1)

Здесь ф — электрический потенциал, а — электропроводность среды. Оно следует из условия потенциальности электрического поля Е = -Уф, условия соленоидальности электрического тока Шу] = 0 и закона Ома '} = а Е.

Будучи в определенном смысле основным, уравнение (1) не является наиболее общим. Например, уравнение (1) учитывает ток проводимости, но не учитывает ток диффузионного типа, связанный с турбулентным переносом на землю положительных ионов в нижних слоях воздуха [Тверской, 1949]. Оно также не учитывает конвективный перенос электрических зарядов в земле под действием грунтовых вод [ЯеуЦ й а1., 1999а; 1999Ь; В^ооск й а1., 2000]. Наконец, условие соленоидальности электрического тока, из которого следует (1), выполняется неточно. Точным является уравнение Шу] + др/д? = 0, описывающее закон сохранения электрического заряда р. Учитывая связь заряда с электрическим полем р = ШуЕ/4п , убеждаемся,

что в уравнении (1) следовало бы, строго говоря, сделать замену

v2 ^ у2 Ау2 4nadt

Однако практически в этом нет необходимости, поскольку нас будут интересовать задачи, в которых заведомо выполнено сильное неравенство 2а T > 1, где T — характерное время изменений поля.

Мы рассмотрим одномерный случай, когда электропроводность зависит от одной декартовой координаты. Пусть для определенности это будет координата г. В таком случае уравнение (1) заметно упрощается:

V 2ф +1 дф = 0. (2)

h dz

Здесь h = (d ln о/dz)-1 — шкала неоднородности среды, вообще говоря, зависящая от г. Уравнение (2) особенно важно в теории атмосферного электричества [Френкель, 1949] и в теории методов электроразведки [Бурсиан, 1972; Stoyer, Wait, 1977; Уэйт, 1987].

В данной работе, имеющей в основном методический характер, во-первых, уравнение (2) преобразовано к виду уравнения Гельмгольца, решения которого хорошо изучены, и, во-вторых, показано, как таким способом удается улучшить понимание и облегчить решение одной известной задачи геоэлектрики. Речь идет о расчете пространственной структуры электрического поля рудного тела.

2. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА Известно, что при поиске решений дифференциального уравнения полезным может оказаться введение новой неизвестной функции, относительно которой уравнение приобретает более простой, или более привычный вид. Мы воспользуемся этим приемом для того, чтобы преобразовать уравнение (2) к уравнению Гельмгольца. Сделаем подстановку Френкеля

ф = Y exp

\ f (z)dz

(3)

где y, z) — новая неизвестная функция. Положим f > 0 без ограничения общности. В монографии [Френкель, 1949] принято f = const. Мы же на данном этапе будем считать, что f (z) есть произвольная, но достаточно гладкая функция. После подстановки (3) в (2) имеем

V + (1 - 2f) | Ч f2 - f - fЬ 0.

(4)

Теперь воспользуемся свободой выбора f и по-

ложим

f - A. d£

2а dz

В результате получим уравнение

в котором

V 2y - Vy = 0,

V = f2 + f. dz

(5)

(6)

(7)

Уравнение (6) является точным в рамках указанных выше ограничений. Если наложить дополнительное условие f = const, то (6) приобретет вид уравнения Гельмгольца

V V + k V = 0,

(8)

в котором к = I/.

Вид уравнения (8) подсказывает идею о том, что может оказаться полезным переход от точного уравнения геоэлектрики к приближенному параболическому уравнению подобно тому, как аналогичный переход оказался полезным в теории распространения радиоволн (см., например, [Фейнберг, 1999]). Положим у(х, у, г) = [ехр(-г/2А)] ф(х, у, г) и допустим, что функция ф зависит от г значительно слабее, чем ехр(-г/2Н). Тогда

ну 1ф = о,

dz

(9)

где V ± — д /дх + 5 V ду2 — поперечная часть оператора Лапласа. Мы видим, что параболическая аппроксимация уравнения геоэлектрики имеет вид двумерного уравнения теплопроводности, если г формально отождествить со временем.

Однако вернемся к уравнению (8). С помощью известных решений уравнения Гельмгольца были

исследованы некоторые проблемы геоэлектрики (см., например, [Френкель, 1949; Stoyer, Wait, 1977; Гульельми и др., 1998]). Френкель использовал (8) для того, чтобы найти решение задачи об электрическом поле облака [Френкель, 1949]. Заметим, что предположение о постоянстве шкалы высот h, при котором выведено уравнение (8), допустимо в теории атмосферного электричества на достаточном удалении от земной поверхности, когда можно пренебречь так называемым электродным эффектом. Предположение Н = const означает, что электропроводность а экспоненциально зависит от г. Экспоненциальная модель использовалась также и в теории электроразведки [Stoyer, Wait, 1977; Гульельми и др., 1998], но вполне понятно, что применительно к полю в грунте анализ решений уравнения (8) имеет в основном методическое значение. Поэтому есть смысл ненадолго вернуться к уравнению (6), которое является более общим, чем (8), и указать на подходы к его решению.

Линейное уравнение второго порядка (6) можно решать различными методами. Мы укажем метод, основанный на процедуре делинеаризации. Следуя работе [Турбинер, 1984], введем новую переменную q = -V ln у. В результате вместо (6) получим нелинейное уравнение первого порядка

divq - q2 + V = 0. (10)

Решения (10) естественно искать методами численного интегрирования, или методами теории возмущений, но мы не будем останавливаться на этом, отсылая заинтересованного читателя к монографии [Найфэ, 1976] и к обзору [Турбинер, 1984]). В заключение данного раздела заметим, что если у зависит только от г, то (10) является уравнением Риккати.

3. ЗАДАЧА ГУММЕЛЯ

Электроразведка полезных ископаемых зародилась 185 лет тому назад, когда Фокс, исходя из своих наблюдений, поднял вопрос о происхождении и пространственной структуре электрического поля рудного тела. В постановке Гуммеля проблема формулируется следующим образом (см., например, [Заборовский, 1947]). Задается электродвижущая сила 6 = 6 0 cos 0 на поверхности однородного шара радиуса а, обладающего высокой электропроводностью и имитирующего рудное тело. Здесь 9 — полярный угол сферической системы координат (r, 9, ф) с центром в центре тела. Задача состоит в отыскании распределения потенциала ф(г, 0) внутри (r < a) и вне (r > a) тела путем решения уравнения геоэлектрики при соответствующих граничных условиях. Электропроводность вмещающей среды предполагается однородной, так что уравнение геоэлектрики (1) сводится к уравнению Лапласа

V ф = 0.

(11)

При r > a потенциал равен

Ф

rCQS (

(12)

r

Другими словами, рудное тело возбуждает электрическое поле во вмещающей среде как точечный источник с дипольным моментом

p =

2

a s 0a

2a + a'

Здесь a' — электропроводность тела.

(13)

V V- f V = 0.

(14)

Выбор экспоненциального профиля a(z) позволит нам аналитически отыскать решение обобщенной задачи Гуммеля и сделать на этой основе заключения о пространственной структуре электрического поля, качественный смысл которых, по-видимому, сохранится и при более или менее произвольном, но монотонном распределении a по глубине. В дополнение к этому уместно заметить, что предположение Гуммеля об отсутствии какой бы то ни было зависимости a от г, вообще говоря, резко противоречит самой идее возбуждения электрического поля рудным телом. В самом деле, электродвижущая сила 6 = 60 cos 0 возникает в результате действия окислительно-восстановительных процессов на поверхности тела. Эти процессы протекают только потому, что тело помещено в среду, химически неоднородную по глубине. При этом в верхней части тела происходят реакции окисления, а в нижней реакции восстановления. Предположение Гуммеля об электрической однородности среды при условии, что среда химически неоднородна, является искусственным. В таком виде задача внутренне несогласованна. Короче говоря, учет зависимости a(z) в той или иной форме необходим по принципиальным соображениям, поскольку в однородной среде электродвижущая сила не возникает и электрическое поле не возбуждается.

Аксиально-симметричные частные решения уравнения (14), исчезающие на бесконечности, имеют вид [Зайцев, Полянин, 1996]

1 4r

KB+1/2(rf )P,(cos 0).

Здесь Ки+1/2 — функции Макдональда, Рп — полиномы Лежандра. Суперпозиция частных решений, удовлетворяющая граничному условию на поверхности тела, дает решение обобщенной задачи Гуммеля:

Как правило, ст' > ст с большим запасом. Поэтому p = a 2е0 с высокой точностью. Но это значит, что в рамках модели Гуммеля электропроводность вмещающей среды не влияет на электрическое поле рудного тела. Покажем, что данный вывод существенно изменится, если учесть неоднородность распределения электропроводности а по глубине.

В одномерно неоднородной среде вместо (11) следует использовать уравнение (2). Направим ось г вертикально вверх, а угол 9 будем отсчитывать от этой оси. Для простот

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Геофизика»