ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2014, том 33, № 3, с. 75-83
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ^^^^^^^^^^ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
УДК 537.8
О ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЯХ МЕЖДУ УРАВНЕНИЯМИ КЛАССИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В ЭЛЕКТРОХИМИИ* © 2014 г. В. Л. Бычков
Московский Радиотехнический институт Российской академии наук, Москва
E-mail: bychvl@gmail.com Поступила в редакцию 15.01.2013
Показано, что применение уравнений гидродинамики несжимаемой и сжимаемой жидкости позволяет получить аналогичные результаты для ряда экспериментальных данных из области классической электродинамики, применяемой в электрохимии. Аналог электрического тока, реализуемого в проводах, представляет собой поток, создающий вокруг себя течение некоторой жидкости. Аналог электрического поля представляет собой ускорение некоторого течения, а аналог магнитной индукции — частоту некоторого вращательного движения этой жидкости. Закон Ампера в гидродинамике описывает взаимодействие потоков с реальными телами при помощи уравнения Жуковского. Силовые законы в жидкости аналогичны с некоторыми различиями уравнениям Максвелла. Разложение уравнений для сохранения импульса и массы по возмущениям приводит к волновым уравнениям, также аналогичным уравнениям Максвелла для распространения электромагнитных волн.
Ключевые слова: гидродинамика, электродинамика, аналогия, уравнения Максвелла, закон Ампера, электрохимия, плазма.
Б01: 10.7868/80207401X14030066
1. ВВЕДЕНИЕ
Вопросы о гидродинамической и механической аналогии между уравнениями механики, гидродинамики и электродинамики стоят с момента создания Максвеллом своих уравнений [1—12] на основе электрохимических экспериментов Фара-дея и постоянно используются в книгах и статьях по механике и гидродинамике, что вызвано постоянной необходимостью разумной трактовки получаемых экспериментальных результатов. Анализу самих уравнений Максвелла посвящено много исследований, в частности, описание их различных вариантов, формулировок и наборов переменных величин можно найти в [11], а их противоречивость и особенности обсуждаются в [13]. Возможности применения уравнений Максвелла к описанию экспериментов классической электродинамики и электрохимии при помощи моделей физического вакуума посвящены работы в области классических подходов к электродинамике, начатые в [1—3] и продолжающиеся в [7—10, 12]. Следует отметить применение механики идеаль-
* Данная статья была представлена на III Международной конференции "Атмосфера, ионосфера, безопасность" ("AIS-2012"). Зеленоградск, Калининградская обл., июнь 2012.
ной жидкости для описания сверхтекучего 3Не [14], в котором идеальная жидкость выступает как физический вакуум.
Каждое из развиваемых направлений приводит к вопросам о соответствии между данными подходами и экспериментами классической электродинамики и электрохимии. В работах [1—2, 7, 12] развивались и обсуждались подходы, основанные на моделях гидродинамических вихрей. Основная трудность в интерпретации этих подходов состоит в происхождении вихрей в невязкой среде, которая требует от авторов введения механизмов их образования. При этом часто пропускается стадия сравнения результатов теорий и основных экспериментов электродинамики. Иногда наблюдается подгонка результатов под известные формулы. Например, в работе [8] с самого начала постулируется турбулентная среда без проверки адекватности подхода в случае невозмущенной среды, а в [10] рассматривается невязкая идеальная среда и сразу же рассматриваются ее возмущения, без анализа ламинарной стадии.
В данной работе мы проведем анализ возможности установления аналогии между уравнениями гидродинамики и Максвелла, основанный не на динамике отдельных вихрей, как в [8, 12], а на установлении соответствия между соотношения-
ми, полученными на основе гидродинамических уравнений, и известными электродинамическими и электрохимическими экспериментами. Эта стадия работ была пропущена в [8—10, 12] и требует соответствующего анализа.
2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
На данной стадии исследований мы будем исходить из уравнений непрерывности и сохранения импульса (уравнение для объемной силы) в эйлеровом подходе сначала для идеальной невязкой жидкости [3—6] или газа, флюида, а именно, из уравнения с источником, а позднее, при рассмотрении волны во флюиде — из уравнения для вязкой жидкости. С этим флюидом можно отождествить так называемый гидродинамический "физический вакуум". Параметры данного флюида будут оценены позже, и будет показано, что они соответствуют представлениям, при которых можно использовать гидродинамические уравнения.
При анализе будем исходить из законов сохранения в форме, представленной в [6]. Так, уравнение непрерывности с источником имеет вид
(1)
(2)
а также аналогию для электрического поля как ускорения течения флюида, выражаемую как
Е «дУ, дг
и формально отождествляя
Е =
д\
дг'
(5)
др + У(рУ) = т, дг р
а уравнение сохранения импульса —
— + (УУ)У +1 Ур +1 Ут = уДУ + Е, дг р р
где т — скорость появления плотности вещества в единицу времени, р — плотность флюида, р — давление в жидкости, V — скорость жидкости, V — коэффициент вязкости, Е — внешняя объемная сила. Мы приводим это уравнение с вязкостным членом, в форме, принятой в акустике, и проводим соответствующие разложения в случае малых возмущений (см. ниже).
Преобразуем уравнение (2) при помощи известной формулы векторного анализа [4]:
У(У 72) = (УУ)У + [У [V У ]],
в вид уравнения Громеки [3—6] с источником, используемого нами ниже:
— - [У [УУ]] + У (У2/2) +1 Ур +1 Ут = Е + vДV. (3) дг р р
Аналог силы Лоренца
Введем формальную аналогию между вихрем течения флюида и магнитной индукцией, выражаемую как
[У У] О -в,
и формально отождествляя
[У У] = -в, (4)
из (3) в отсутствие объемной силы получим
Е + [УВ] = -(Ут + Ур)/р + vДV = Е£. (6)
Это аналог силы Лоренца, действующей на некоторый объем, т.е. введение аналогии (4) позволяет описать магнитное поле как некоторое вихревое. Следует отметить, что вывод этой формулы не связан с током электронов в проводе, как это сделано Х.А. Лоренцем, и приведен без обоснования в [15, 16]. Лоренц предположил, что ток в проводах описывается выражением I = е\Ке8 (е — заряд частицы, V — ее скорость, N — концентрация заряженных частиц, S —площадь сечения потока заряженных частиц). В уравнении (6) член [УВ] соответствует инерционной силе [4].
Это замечание носит принципиальный характер. Уравнение (6) указывает на тот факт, что сила создает течение, которое может увлекать за собой частицы (например, заряженные) и может существовать и в их отсутствие. В целом нужно различать ток флюида и частиц, увлекаемых этим флюидом.
Поэтому напишем уравнение для движения некоторых частиц массой те и объемом те со скоростью Уе под действием этой силы:
е = т дУ рТе дг
При этом уравнение, дополненное членом, учитывающим трение частицы при движении во внешней среде (растворе или газе, как это описывается в [17]):
^ ^ + РтУеУ е =р (Е + [УВ]), те дг
(7)
описывает движение объекта массой те и объемом т е при действии на него течения флюида и торможении частиц внешней средой с плотностью р т и частотой столкновений vc. Это уравнение в виде (9) неявно предполагает, что некоторое устройство в газовом разряде или электрохимической ячейке создает течение (например, между электродами), которое увлекает частицы — объекты, совершающие столкновения и участвующие в прочих химических или плазмохимических процессах, как в плазме [17].
Отметим, что из (4) и (5) следуют тривиальные соотношения:
■ ЗУ dt J
= [V Е]
и
v dV
. dt.
= = -dB = [v E], dt dt 1 J
приводящие к уравнению, аналогичному первому уравнению Максвелла, а именно,
дв
dt
= - [ Е].
(8)
Рассмотрим потенциальное течение. При этом будем считать, что скорость частицы Ve определяется скоростью течения физического вакуума, V, или
dVe ~dV = Е dt ~ dt .
Умножим это выражение на pVe и проделаем тривиальные выкладки, тогда
рVe ^ JjpXUl = W »pVeE,
д t д t
т.е. мы получаем формулу для аналога мощности, выделяемой в разряде или электрохимической ячейке, а множитель pVe аналогичен плотности тока, текущего между электродами.
3. АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Преобразуем выражение (4), сделав операцию rot от обеих его частей, и приравняем его некоторой переменной функции J:
[V в] = [V [-V V ]] = J, (9)
где J — аналогична плотности тока во флюиде.
Тогда согласно теореме Стокса получим
( Bdl = ( - [VV]dl = J[V [-VV]]S = JJdS = I, (10)
L L S S
где L — контур, охватывающий ток (некоторый гидродинамический поток) I во флюиде; S — произвольная поверхность, опирающаяся на данный контур.
Итак, мы получили аналог второго уравнения Максвелла, так называемого закона полного тока. Поскольку эта формула аналогична закону полного тока в электродинамике, где ток течет в контуре между его сечениями, то можно предположить, что с точки зрения гидродинамики, течения флюида в реальных проводах формируют течения и в области флюида вокруг проводов. При этом как в уравнениях Максвелла [18], так и в (10) нигде не обозначается связь тока с увлекаемыми
частицами окружающей среды (например, электронами и ионами).
Формула (10) показывает фундаментальное отличие тока — течения, реализуемого в проводах, и течения, реализуемого около них, от тока во флюиде между электродами, как это реализуется в электрохимии или газовом разряде. Ток в проводах организует цилиндрическое течение вокруг провода (см. ниже). Из (10) следует, что в зависимости от распределения плотности тока по сечению контура можно получить различные функциональные зависимости между "магнитной индукцией" и током, текущим через контур.
Так, например, пусть J = const, а контур ограничивает цилиндрическую область радиуса R, тогда
I = п R 2J.
Если же скорость течения изменяется по радиусу цилиндра согласно зависимости
V = /„I zaRв,
где / „, а, в — некоторые постоянные, Iz — вектор, по направлению совпадающий с направлением цилиндрической области, а R — ее радиус, что из (10) получим
I = / „(-2тсар I zR в). (11)
Из этого выражения следует, что при р ^ „ abs(I) ^ „, т.е. ток постоянен по с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.