ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 414, № 3, с. 304-308
МАТЕМАТИКА
УДК 517.958:531.72
О ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ СЖИМАЕМЫХ СМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ
© 2007 г. В. В. Шелухин, Ю. Амира
Представлено академиком В.Н. Монаховым 11.10.2006 г. Поступило 31.01.2007 г.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ
Рассматривается вопрос о глобальной разрешимости уравнений одномерной фильтрации смешиваемых жидкостей в пористой среде. За основу берется следующая модель [3].
Скорость фильтрации и(х, подчиняется закону Дарси
u = --(Vp - р g V z). М-
(1)
Р
p = -lnS v к
-V Pr
где к = ргв Закон сохранения массы смеси имеет вид
ЭФр dt
div(pu) = 0, 0 <Ф< 1,
(2)
(3)
где Ф - пористость, т.е. объемная доля пространства, занимаемая жидкой смесью.
В пренебрежении химическими реакциями между жидкими компонентами изменение массо-
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Университет Блез Паскаль, Клермонт-Ферранд 2, Франция
вой концентрации с, каждой из т компонент описывается уравнением
дФрс дс-
сНуqг = 0, (qг) 1 = рсгы, - р;
jkdx^ (4)
3t
i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, 3. Тензор диффузии-дисперсии D задается формулой
uiu
,. uiuj
Dj = Ф dm 8j + ф| u| (def--
u
1-
I 12
u
Здесь p - давление в смеси, p - плотность смеси, z - вертикальная компонента координатного вектора x (предполагается, что ось z направлена в ту же сторону, что и ускорение свободного падения g), М - вязкость, к - проницаемость.
В случае слабосжимаемой смеси давление и плотность связаны уравнением состояния
— = vdp, р
где v - показатель сжимаемости. Если pr = const и pr = const > 0 - некоторые стандартные параметры, то
где ёт - коэффициент диффузии, а ёе и - дисперсионные параметры.
Уравнения (1)-(3) нельзя решить независимо от уравнения (4), поскольку, вообще говоря, имеет место зависимость
М = М( Си c2, cm) .
(5)
В приложениях параметры к, V, Ф, йт, ёе, обычно считаются положительными константами.
Будучи массовыми долями, концентрации с, обязаны подчиняться ограничениям
0 < ci.
ъ
Cj = 1
(6)
В силу (6) последнее уравнение системы (4) для ст должно быть следствием первых т - 1 уравнений.
Система (1)-(6) широко используется в компьютерном моделировании подземных течений в задачах нефтедобычи и загрязнения грунтовых вод [4, 5]. В случае одномерных течений в вертикальном слое |х| < 1 указанные уравнения сводятся к системе
(Op)t + (рu)x = 0, u = -k(px - gp),
М
1р p = -ln-, v к
(Фрс,. )t + (Р C,u) x = (p D (u) Cix) x,
D(u) = Ф(dm + dp|u|), 1 < i < m - 1,
(7)
m
с ограничениями
0 < с,
О ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИИ 305
в которой и, р и В определяются соотношениями
I С] < 1-
(9)
и = -Х(с)Рх, р(х, г) =
к е
vP( х, г)
1- ук& \ е ^г) ёу (16)
Уравнения рассматриваются в области
д = Пх(0, Т), О = {х: |х| < 1}
со следующими начальными и граничными условиями:
В = Ф( йп + йр\и\).
Соответствующие начальные и граничные условия имеют вид
Рх|| I 1 = 0,
х\\х\ = 1 '
сх||х| = 1 = 0,
Р\г =
г = 0
Рo,
С|г = 0 = с
и\Ы = 1 = 0,
дгс,| , , = 0,
х г\\х\ = 1 '
(10)
1 < , < п -1. (11)
Р
г = 0
х
У1пк°- & |р0 (у ) ёУ, с| г = 0 = с0 ( х ).
(17)
Покажем, что уравнения (7), (8) можно запи- Все равенства (14)-(17) проверяются непосред-сать в виде параболической системы. Введем ственно. Остановимся на выводе формулы для
плотности, т.е. второго из соотношений (16). Поскольку Чх = Фр, то по определению функции Р
функцию расхода Р:
х
Р := Р , Ч(х, г) := Ф|р(у, г)ёу - 1; (12)
-1
здесь Ч - массовая лагранжева переменная. Далее для простоты предполагаем, что
справедливы равенства
V Р
-УЯ(Ч +1)/Ф -У&/Ф д -У&Ч/Ф
у&ре ^ = -е * дхе . (18)
& куе
После интегрирования по переменной х имеем
Ф
|р0( х) ёх
= 2.
1 -
& ку|
уР(у, г)
= е-у&(% +1)/Ф
-1
В силу закона сохранения массы и граничных Теперь представление для плотности вытекает из условий прилипания и||х| = х = 0 в любой момент первой формулы в равенствах (18).
времени будет выполняться равенство
Ф
| р(х, г)ёх
= 2.
Запишем полученную параболическую систему в переменных Лагранжа. Отображение (х, г) ^ ^ (Ч, г) переводит цилиндр д = О х (0, Т) в себя, и (13) справедливы равенства
Следовательно, функция ЧС, г) отображает область О на себя и Ч(±1, г) = ±1.
С помощью уравнений (7), (8) и формул
и = -ХРх, рх = УРРх, Рх = Рх + & р,
Рг = Рг +Ф&ХРРх
можно убедиться, что функции Р и с являются решением параболической системы
Чх = Фр, Чг = -ри, х
= ±1.
(19)
Отметим, что якобиан замены переменных равен Фр. Обратное преобразование (Ч, г) ^ (х, г) к переменным Эйлера удовлетворяет соотношениям
Фрх^ = 1, Фхг = и, х
Ч = ±1
= ±1.
(20)
Пусть / (Ч, г) есть задание функции / (х, г) в новых переменных:
/(Ч, г) = /(х(Ч, г), г).
ФРг - М С ) Р2 =
2 _ Д(С)
Р
В силу (19) и (20) выполняются формулы замены (14) переменных
ФСг + иСх = ( В ( и ) Сх ) х + В ( и ) С хрх р,
(15)
Ч
'/• = /■ +и-Г./Ч = г) = 1 ^
р(у, г)Ф
>-1.
п-1
х
Поэтому, опуская символ ~, можно записать исходные уравнения движения в виде
-1 = и^, и = -Ф^( с )р Р
р' г
Р = р-ggii.il), р = 1ы£, ^ Ф ^ V к
(21)
с( = Ф(р2Бс^, Б = Ф(^т + ¿р|и|), и= 1 = 0.
Параболическая система (14), (15) в новых переменных принимает вид
vPt = Фр(А,(с)рР%)%, с( = Ф(р2Б(и)с^, (22)
где
р = ке- + ^(1 + , Б(и) = Ф&я + dp\u\),
= -ФЦ с )рР^.
(23)
Р1\щ = 1 = 0, = 1 = 0,
Р
г = 0
= Р0(х(%, 0)) =Р0(£),
= а х 0 с0 Ф,
(24)
где функция х(^, 0) задается равенством
хЙ 0)
£ = Ф | р 0 (у) 4у - 1.
-1
Отметим, что система (22) допускает и консервативную запись
V г = Ф
ВД^А Ц с)
VV
V
Фрг + (ри)х = 0, и = -Х(Рх - £Р),
1р р = -1п-.
V к
(26)
Пользуясь определением (16) функции и, из уравнения (14) получаем равенство
Поэтому
Ф Рг + иРх + - = 0.
г х V
Ф( е"Р )г + (иеур) х = 0.
(27)
= 1'
Обозначая Я = | ечР(у'г) 4у, мы видим, что Я
(28)
Начальные и граничные условия записываются следующим образом:
-1
есть решение уравнения переноса
Ф Я( + иЯх = 0, а плотность выражается равенством
р = ^!1п (1- к^я).
После интегрирования по переменной х заключаем, что
1 - кvgR = е г := | р(у, г)4у.
-1
Таким образом,
х
г|р(у, г)4у, р = кечР +
Р = - 1п — - !
V к
-1
Нетрудно убедиться в равенстве
е^г(Фрг + (ри) х) = XV е^\ФР< + иРх + -х
Уgzl
сг = , (25)
если перейти к функциям V и ^ где V = 1 - удельный объем.
Таким образом, найдены три различные параболические системы, к которым сводятся исходные уравнения движения. Оказывается, что каждая из этих систем эквивалентна исходным уравнениям. Убедимся в этом на примере системы (14), (15). Остальные две системы исследуются подобным образом.
Достаточно доказать, что если функции (Р, ^ являются решением системы (14), (15), то функции р и и, определяемые равенствами (16), представляют собой решение уравнений
+ Vgzevgг(Ф гг + игх).
Заметим, что г удовлетворяет уравнению переноса (28), поскольку есть функция от Я. Следовательно, первое из уравнений (26) вытекает из (27). Остальные равенства из (26) проверяются простыми вычислениями.
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Глобальная разрешимость исходной системы (7), (8) доказана в [2] в предположении, сформулированном в работе [4]. Это предположение заключается в том, что членом рхси в каждом из уравнений системы (8) можно пренебречь, а производные (рс,и)х можно заменить суммой рсххи + рс ¡их. В настоящей работе исследуется задача (7)-(9) без каких-либо предположений малости. Главная математическая трудность состоит в том, что параболическая система (14), (15) для векторной функции
V : (Р, с1, с2, •••> Ст-1 ),
х
и
х
с
г=0
О ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ
307
относится к классу систем вида
Vi = A(V, Vx)\хх + f[X, V, vx]
(30)
с треугольной (m х т)-матрицей A и функцией f, зависящей от интеграла
J exp(vP(y, t))dy.
Треугольность означает, что параболическое уравнение для P не содержит вторых производных dxxci, а уравнение для ct содержит как вторую производную dxxci, так и вторую производную dXXP. Для такого класса систем законченной теории глобальной разрешимости пока еще нет. В монографии O.A. Ладыженской, В.А. Солонникова и H.H. Уральцевой [8] матрица A является диагональной, более того, предполагается равенство всех диагональных элементов, т.е. A11 = A22 = ... = Amm. В работе [1] матрица A считается треугольной, но некоторые априорные оценки принимаются без доказательства. Отметим, что треугольные параболические системы вида
Vt = ( B ( V ) Vx ) x + ( f( v )) x
(31)
С е Ь"(0, Т; Ь2(О))п Ь2(0, Т; Ж12(О)),
где М(5) = И 1п (1 + Н) - Н - 1п (1 + Н); (и) уравнения
(Фр)г + (ри)х = 0, и = -Х(С)(Рх - &р), ^ р
Р = -1п-, V к
выполнены почти всюду в области д;
(111) уравнения (8) выполнены в интегральном смысле:
ЦрС(фуг + иух) - рВ(и)Схухёхёг =
■ Jc0(x)у(x, 0)dx
возникают в теории трехфазной капиллярной фильтрации несмешивающихся несжимаемых жидкостей [6]. Но полученные в этой теории результаты неприменимы к системе (30), так как матрица В не зависит от ух.
Далее для удобства принимается, что мобильность Х(с), с := Х(сь с2, ..., сп _ х), определена не только в области (9), но во всем пространстве 1Кп _ Кроме того, предполагаются следующие свойства гладкости:
X е С2( -1), 0 <Х0 <Х( с )<^01. (32)
Условимся относительно обозначений функциональных пространств: ЖР(О), Жр1 (д) _ пространства Соболева; ЬМ(О), Ж1М (О) _ пространства Орлича-Соболева, ассоциированные с выпуклой функцией М. Определение этих пространств можно найти в [8] и [7].
Скажем, что функции (и, р, р, с) образуют слабое решение задачи (7)—(11), если выполнены следующие условия:
(1) и е Ь"(0, Т; Ьм(О))п
п 13/2(0, Т; Ж1'3/2(О))п Ь3(д); р, р е Ь"( 0, Т; ЖМ (О)) п Ь3/2 (0, Т; Ж2' 3/2(О)) п п Ь3(0, Т; Ж1'3(О))п Ь"(д);
для всякой функции у е С1(д), такой, что у(х, Т) = 0.
Точный результат о существовании слабого решения состоит в следующем.
Теорема 1. Предположим, что р0 е Ж2 2(О), с0 е Ь2(О) и функция Х(с) удовлетворяет условиям (32).
Тогда задача (7)_(11) имеет слабое решение,
такое, что ^р > 0.
д
Отметим, что ограничения (9) не включены в формулировку слабого
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.