ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2009, № 9, с. 12-15
УДК 550.385 537.86
О ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ ЛЕОНТОВИЧА В ГЕОЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМЕ
© 2009 г. А. В. Гульельми
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва e-mail: guglielmi@mail.ru Поступила в редакцию 11.01.2009 г.
Статья посвящена 70-летию формулировки импедансного граничного условия Леонтовича. Оно применяется в геофизике при зондировании литосферы и при диагностике магнитосферы электромагнитными волнами. Показано, что использование условия Леонтовича открывает новые возможности для исследования ангармоничности МГД колебаний магнитосферы. Дифференциальное уравнение импеданса, которое выводится с помощью граничного условия Леонтовича, может оказаться полезным при исследовании электропроводности литосферы методом индукционного зондирования. В рамках простой модели показано, что метод параболического уравнения Леонтовича позволяет найти поправку к граничному условию Леонтовича, возникающую по той причине, что связь между горизонтальными компонентами электромагнитного поля на земной поверхности, вообще говоря, не является локальной. Показано, что ангармонизм МГД колебаний магнитосферы в сочетании с нелокальностью граничного условия на земной поверхности может приводить к кажущейся нелинейности поверхностного импеданса, вычисленного по классической методике магнитотеллурического зондирования.
Ключевые слова: электромагнитное поле, поверхностный импеданс, скин-эффект, магнитотеллуриче-ское зондирование, магнитовариационное зондирование, гидромагнитная диагностика, литосфера, магнитосфера.
PACS: 91.25.Qi
1. ВВЕДЕНИЕ
В классической электродинамике известно граничное условие Леонтовича
Е = СН х п, (1)
связывающее касательные компоненты электрического Е{ и магнитного Н полей на поверхности хорошо проводящих тел [Ландау, Лифшиц, 1982]. Здесь п - внутренняя нормаль к поверхности тела, £ - поверхностный импеданс. Соотношение (1) известно также и в геофизике, где оно используется при зондировании земной коры и при диагностике магнитосферы по данным наблюдения геоэлектромагнитных волн (см., например, обзор [Гу-льельми, 1989]).
М.А. Леонтович сформулировал граничное условие, носящие его имя, в конце 30-х годов прошлого века. Более точно указать год затруднительно, поскольку в свое время результат опубликован не был. Приближенное граничное условие (1) было опубликовано лишь после Второй мировой войны [Леонтович, 1948]. Однако и до этого оно использовалось радиофизиками при анализе распространения радиоволн, о чем свидетельствует, например, статья [Рытов, 1940]. Статья поступила в Редакцию ЖЭТФ 19 декабря 1939 г. и, по свидетельству ее ав-
тора, была написана по предложению Леонтовича, который поставил задачу обосновать соотношение (1) в рамках асимптотической теории скин-эффекта.
Недавно в геофизической литературе оживился интерес к граничному условию Леонтовича, существенно облегчающему решение многих задач прикладной электродинамики. Иногда формулу (1) называют, как это ни странно, "приближенным граничным условием Рытова-Леонтовича" [Шуман, 2007]. Это неправильно, поскольку искажает историческую истину. В этой связи будет уместно сослаться на воспоминания Сергея Михайловича Ры-това. Он пишет, что после завершения работы по теории скин-эффекта в 1939 году Леонтович сказал ему: "Вы так и не заметили, что из Ваших результатов вытекает приближенное граничное условие" (цитируется по юбилейному изданию [Академик М.А. Леонтович..., 2003]).
Данная статья написана в связи с 70-летием формулировки импедансного соотношения (1). В статье приведено несколько примеров использования (1) в геоэлектромагнетизме (п. 2). В рамках простой модели методом параболического уравнения Леонтовича найдена поправка к (1), возникающая по той причине, что связь между горизонтальными компо-
нентами Е, и Н, на земной поверхности, вообще говоря, не является локальной (п. 3). Показано, что ангармонизм МГД колебаний магнитосферы в сочетании с нелокальностью граничного условия на земной поверхности может приводить к кажущейся нелинейности поверхностного импеданса, вычисленного по классической методике магнитотеллу-рического зондирования (п. 4).
2. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛЫ (1)
В качестве первого примера рассмотрим магни-тотеллурическое зондирование (МТЗ). Метод МТЗ подробно описан в обзорной и монографической литературе. Он прочно вошел в практику геофизических исследований (см, например, монографии [Бердичевский, 1969; Ковтун, 1980; Бердичевский, Дмитриев, 1991]). Поэтому ограничимся здесь лишь немногими словами.
Введем декартову систему координат (х, у, z) так, чтобы земная поверхность, которая предполагается плоской, совпала с плоскостью (х, у), а ось z была бы направлена вниз. Тогда граничное условие (1) примет вид
Ех = Д Еу = -Д (2)
Процедура МТЗ состоит в том, что измеряют горизонтальные компоненты электромагнитного поля на различных частотах, вычисляют поверхностный импеданс по формулам (2), а затем по частотной зависимости поверхностного импеданса судят о распределении электропроводности горных пород по глубине.
Второй пример относится к магнитовариацион-ному зондированию (МВЗ). Следуя работе [Гу-льельми, 1989], подставим (1) в уравнение индукции
V х Е = — Н
и получим граничное условие iXVt (Zh) = Hn
(3)
?Эх
ЭС
Р 57 + 9 57, + r С + 5 = 0
(4)
q = Hy, r = dHJdx + dHy/dy, s = iHz/X известны из наблюдений. Дифференциальное уравнение импеданса (4) полезно использовать для исследования электропроводности земной коры и мантии методом МВЗ.
Ранее в работе [Бердичевский и др., 1969] было предложено магнитовариационное соотношение С = -s/r, или
С = -iHnßx, H,
(5)
Это соотношение позволяет непосредственно вычислять £ по данным измерения компонент магнитного поля и их производных. Однако (5) выполняется только лишь при условии, что горизонтальная неоднородность импеданса £ пренебрежимо мала. В общем случае необходимо решать уравнение (4) для вычисления
Еще один пример использования граничного условия Леонтовича в геофизике относится к гидромагнитной диагностике (ГМД) околоземной плазмы. Выберем точку наблюдения в регионе, характеризующимся относительно однородным распределением поверхностного импеданса. Тогда можно воспользоваться формулой (5). Совместим начало координат с точкой наблюдения и направим ось х вдоль геомагнитного меридиана на север. С помощью (2) исключим £ из (5) и получим важное соотношение
XEJHz = iHJVt H.
(6)
связывающее между собою три компоненты переменного магнитного поля на земной поверхности (см. также [Семенов и др., 2007; 8ешепоу, 8Иишап, 2008]). Здесь Дп - нормальная компонента магнитного поля, V, - поверхностная дивергенция, X = с/ю - вакуумная длина волны, деленная на 2п, с - скорость света, ю - частота колебаний. Зависимость поля от времени выбрана в виде ехр(-гю,). В работе [Гу-льельми, 1989] предлагается рассматривать граничное условие (3) как уравнение
Для целей ГМД большой интерес представляют резонансные колебания магнитных оболочек [в^Ие1ш1, РокИо1е1оу, 1996]. (Заметим, что эти колебания эффективно используются также при исследовании литосферы методами МТЗ и МВЗ.) Одна из задач ГМД состоит в оценке коэффициентов нелинейности магнитосферы по данным об ангармоничности резонансных колебаний. Ангармоничность проявляется в смещении положения хк резонирующей оболочки при изменении амплитуды колебаний [Гульельми, 2007]. Идея состоит в использовании априорной информации о широтном профиле Дх(х), которая содержится в теории резонансных колебаний, для правдоподобной оценки поверхностной дивергенции в точке наблюдения: V, • Н, = Д/(А - 1хк). Здесь А - полуширина резонансного профиля на уровне 0.707. Подставляя эту оценку в (6), находим
xR = X(E/Z)sin ф,
(7)
решение которого £(х, у) описывает распределение поверхностного импеданса вдоль земной поверхности. Предполагается, что коэффициенты р = Дх,
где Е = |Еу|, Ъ = |Д^, ф - разность фаз между Еу и Дг [в^ЦеМ, 1989]. С помощью (7) можно изучать амплитудную зависимость положения хк резонирующей магнитной оболочки по данным прецизионного измерения компонент поля Еу и Д1 [ЬипШп, в^ШМ, 2006].
14
ГУЛЬЕЛЬМИ
3. НЕЛОКАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ
Граничное условие Леонтовича (1) является приближенным. Задача, возникающая в этой связи, состоит в оценке условий применимости (1). Ясно, что глубина проникновения поля в тело должна быть мала по сравнению с вакуумной длиной волны, с радиусом кривизны поверхности тела, а также с характерными масштабами изменения поля и электропроводности среды вдоль поверхности тела. Однако точный ответ на вопрос о применимости граничного условия Леонтовича, в общем, дать затруднительно. Во всяком случае, ответ будет зависеть от характера поставленной задачи. Всегда остается риск, что то или иное условие будет нарушено или, напротив, какое-то условие окажется излишне жестким.
В рамках простой модели покажем, как возникает поправка к (1), связанная с горизонтальной неоднородностью индуцирующего поля. Пусть однородное проводящее тело заполняет полупространство г ^ 0. Компоненты поля внутри тела подчиняются уравнению Гельмгольца. В частности,
У2НГ + к2Иг = 0.
(8)
Нх(х, г) = Н^0 (х, г)ехр((кг).
(9)
Для простоты мы считаем, что поле не зависит от у. Естественно предположить, что зависимость
Н0 (х, г) от маршевой переменной значительно слабее, чем зависимость ехр((кг). Подставим (9) в (8) и отбросим малый член Э2 нХ0)/Эг2. В результате получим параболическое уравнение для комплексной амплитуды:
а Н0 д 2 Н0 п
2(к —-т-х— +-Х- = 0.
д г дх2
(10)
Рассмотрим поперечно-электрическое поле ТЕ. Его ненулевые компоненты Еу, Нх, Нг связаны между собой уравнениями квазистационарной электродинамики
дНх дНг = 4поЕ , дЕу = (_н,
г х
с
дЕ = _
дг \Нх'
д х X
Исключив Нг из первого уравнения с помощью второго, получим
1 д 2 Еу Е + у
Еу + 2 2
Нх
(11)
к" дхА 4па дг2'
Производную дНх/дг находим из (9) с учетом (10). Теперь кладем г = 0. После этого (11) приобретает следующий вид:
Еу + ДЙ■ = 4
у
к2 х2
Нх +
V
1 д2НхЛ
2 к2 х2
(12)
Здесь г = 7ю/8па (1 - г). Считая вторые члены в правой и в левой ч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.