ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 1, с. 72-77
= ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
УДК 536.21
О ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ВОССТАНОВЛЕНИЮ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ К ГРАНИЦАМ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ © 2015 г. С. А. Колесник, В. Ф. Формалёв, Е. Л. Кузнецова
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
E-mail: formalev38@yandex.ru Поступила в редакцию 18.12.2013 г.
Изложен метод решения обратной граничной задачи теплопроводности по восстановлению тепловых потоков к элементам конструкций летательных аппаратов, изготовленных из анизотропных материалов, на основе полученного ранее аналитического решения двумерной нестационарной задачи теплопроводности в анизотропной пластине в условиях теплообмена на границах. Метод базируется на параметрической идентификации и конечно-элементной аппроксимации зависимости теплового потока от пространственной переменной. Разработан регуляризирующий алгоритм, позволяющий идентифицировать тепловые потоки с большими (до 10%) погрешностями в экспериментальных значениях температур. Получены и проанализированы результаты численных экспериментов.
Б01: 10.7868/80040364415010111
ВВЕДЕНИЕ
Восстановление с большой точностью тепловых потоков к элементам конструкций высокоскоростных летательных аппаратов по данным телеметрической информации о распределении температур в самой конструкции было и остается актуальной проблемой на длительном пути проектирования авиационной и ракетно-космической техники. Сложность здесь заключается в сильном влиянии на восстанавливаемые характеристики уровня погрешностей экспериментальных значений температурного поля в конструкции, вследствие чего обратная задача становится неустойчивой к этим возмущениям.
Основополагающей для данной задачи является непрерывность восстанавливаемых граничных функций (тепловых потоков), определяемых априорно, так как если методология разработана для непрерывно-дифференцируемых функций и в соответствии с этим найдены регуляризирую-щие операторы, то эта методология может не подойти для разрывных функций.
Трудности возникают и вследствие того, что тепловые потоки восстанавливаются не в отдельной точке, а на некотором промежутке пространственной переменной, связанной с границей тела, т.е. задачи теплопереноса должны рассматриваться в многомерной постановке. Кроме этого, большой класс теплозащитных материалов выполнен в виде композиционных материалов, графитов и графитсодержащих материалов, которые
являются анизотропными, вследствие чего уравнения теплопереноса содержат смешанные частные производные, существенно затрудняющие решение как прямых, так и обратных задач.
Обратные граничные задачи теплопроводности по восстановлению тепловых потоков к телу в различных постановках встречаются в работах Самарского А.А., Вабищевича П.Н. [1], Исакова В. [2], Алифанова О.М. [3], Гласко В.Б. [4], Романова В.Г. [5], Бека Ж., Блэкуэлла Б., Клэира Ц. [6], Форма-лева В.Ф., Кузнецовой Е.Л., Колесника С.А. [7, 8] и многих других. Однако, во-первых, в них рассматриваются в основном одномерные среды и, следовательно, изотропные, во-вторых — исчезающе малые погрешности в экспериментальных данных и, в-третьих, в них отсутствуют надежные алгоритмы регуляризации. Для решения обратных задач можно использовать двусторонний метод, изложенный в работе Зарубина В.С. и Кувыркина Г.Н. [9].
В данной работе на основе аналитического решения задачи теплопроводности в анизотропной полосе в условиях теплообмена на границах, полученного авторами в работе [10], поставлена и решена обратная граничная задача по восстановлению тепловых потоков с использованием экспериментальных значений температур в конечном количестве пространственно--временных точек. Разработан алгоритм регуляризации по Тихонову А.Н. [11], позволяющий использовать экспериментальные значения температур с большой погрешностью (~10%), причем результаты (идентифици-
рованные тепловые потоки) имеют примерно такой же уровень погрешности. Регуляризация основана на поиске искомой функции теплового потока в классе непрерывно дифференцируемых функций.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для анизотропной полосы (рис. 1) ставится следующая граничная обратная задача теплопроводности: определить функцию теплового потока д(х), действующую на границе у = 0 пластины и с теплоизолированными остальными границами по пространственно-временному распределению температур
(1)
Т ((х, у ),, ^) = Т1к,
I = 1,2,...,I, к = 1,2,...,К,
где I — количество пространственных узлов, в которых расположены термопары, К — количество точек по времени.
Ограничениями для решения этой задачи являются следующие:
1) функции д(х) > 0 на промежутке |х| < /1 и д(х) = 0 на промежутках |х| > 11.
2) вторая начально-краевая задача теплопроводности в анизотропной полосе
d ^T ^11 —T + 2^12 dx
d 2T , , d2T + K 22
dT
2 = CP —,
dxdy dy dt x e (-да, +да>), y e (0,l2), t > 0;
\ dT + A dTЛ x < li;
A 21--+ A 22- = 1 II
dx dy J [0, |x| > l1 x e (-да, +да), y = 0, t > 0;
^ 21 ~~ + ^ 22 ~~ I = 0,
dx dy j x e (-да, +да), y = l2, t > 0;
T (±да, y, t) = 0, дШдаМ = 0, dx
(2)
(3)
(4)
(5)
x ^±да, y e [0,l2], t > 0;
T(x,y, 0) = 0, x e (-да, +да), y e [0, +l2], t = 0. (6)
Здесь X¡j, i, j = 1,2 — компоненты тензора теплопроводности, определяемые соотношениями [12]
2 2 Xn = X|Cos ф + Xnsin ф,
X 22 = X ^т2ф + X ncos^,
(7)
X12 = X21 = (X| - Xп)sinфcosф.
3) q(x) определяются в классе непрерывно дифференцируемых функций на интервале x е (-l1; l1).
9 % 6
6
Рис. 1. Расчетная область.
В математической модели (1)—(7) 02,, Ог|, X X п — соответственно главные оси и главные значения тензора теплопроводности, х, у — декартовы прямоугольные координаты, ф — угол ориентации главных осей относительно декартовой системы координат.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Отрезок х е [-/1, /1] разбивается на М конечных элементов длиной 25, т.е. х е [-5,5], 5 = М. Искомая функция представляется в виде следующей линейной комбинации кусочно-постоянных базисных функций п (8 - \х - хт|):
M-1
q(x)» X q«n(s- |x - xm|),
(8)
m=0
где
г|(5 - |x - xm |) = jj
1, |x - xm\ < 5, x - x^ > 5;
хт = -11 + 5(2т + 1), т = 0,1,2,...,М - 1.
Количество элементов М выбирается нечетным.
Решением задачи (2)—(6) для теплового потока, заданного функцией
#(х) = Я(м-1)/2П(§ - |х|)
на центральном конечном элементе (хт = 0), будет функция [10]
T (x, y, t) = í^ (x, y, т) © (y, T) dт. (9)
2X22Yl2 0
Здесь
F(x,y,t) = erf^(8+ay - x> + erfí^-^,
2J Px рт
y
li
74
КОЛЕСНИК и др.
© (у, т) = 1 + 2Х ео8 кпу ехр
к=1 12
2 2
к п
= ^ 22 , Р = ^ ^ П^ 22 , У = фД 22 ,
а
м-1 '
Я,
Т(х,у, X) = X -Я— ]>(х - хт,у, х)0 (у, т)Л т =
12к 99у 12
т=0 22' 2 0
м-1
= X Ят^Х У, ¡У
егГ (г) = -2= | ехр (2 )
Для функции теплового потока я(х) = = Ят(8 - |х - хт|), заданной на произвольном конечном элементе, решение задачи (2)—(6) имеет вид
Т (х, у, ?) =
Ят
2^ 227*2
X (х - хт, у, т) © (у, т) ЛТ = ЯтТт(х, у, ?),
(10)
Таким образом, для идентификации функции Я(х) необходимо определить множество параметра {Ят}.
Для заданных пространственно-временных узлов с помощью выражения (11) вычисляются теоретические значения температур для оценки погрешности экспериментальных значений:
м-1
Т,к = Т ((х, у) , гк ) = X ЯтТт ((х, у) , ¡к ),
т=0
(12)
а решение (9) для функции теплового потока (8) в силу линейности задачи (2)—(7) является суперпозицией решений (10):
I = 1,2,...,I, к = 1,2,...,К.
Выражение (12) записывается в виде вектор-но-матричного соотношения
Т = (13)
где Z — матрица размерностью (I ■ К) х М:
г =
( Т ((х, у)1, ¡1) Т1 ((х, у)1, ¡1)
Т0 ((х, у)1, ¡1) Т ((х, у), ¡1)
Т ((х, у)1, ¡2) Т1 ((х, у)1 , ¡2)
Т0 (( у)1 -l, ¡К) Т1 ((x, у)1 _l, ¡к)
Т) ((х, у)1, ¡К) Т1 ((х, у) , ¡К)
Тм-1 ((х, у )1, ¡1)
Тм-1 ((х, у), ¡1) Тм-1 ((х, у )1, ¡2 )
Тм-1 (( У )-l, ¡к) Тм-1 ((х, у)1, ¡к ) ;
(14)
q — вектор с М-компонентами, Т — вектор с I ■ К -компонентами.
Искомый вектор q определяем из условия минимума функционала:
S(q) = Т - Ц2 = !|| гя - г||2.
(15)
Здесь Т — вектор экспериментальных значений (1).
В соответствии с необходимым условием минимума функционала (15) имеем
grad(S) = гТ (гя - Т) = д, (16)
где д — нулевой вектор.
Выражение (16) — векторно-матричная форма системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно вектора неизвестных q. Поскольку малым возмущениям экспериментальных значений температур Т могут соответ-
ствовать значительные возмущения вектора q, то СЛАУ (16) имеет плохо обусловленную матрицу.
Для регуляризации СЛАУ (16) используем условие непрерывной дифференцируемости искомой функции я(х) на интервале х е (-/1; 11), для чего в регуляризирующий функционал необходимо ввести разность первых производных в узлах хт, которая представляется в конечно-разностном виде выражением
^(Я ) _ Ят+1 Ят — Ят Ят-1
(17)
25 25
Представим (17) в виде регуляризирующего функционала
м-1
Я(ф = 2 X (^(Ят))2 = 211Ч2,
т=0
(18)
который с параметром регуляризации а добавляется к функционалу (15). В результате получаем:
т=0
г
0
0
Таблица 1. Экспериментальные значения температур Т
(*> y )iltk 281.25 312.5 343.75 375 406.25 437.5 468.75 500
(-0.01; 0.01) 33.8746 36.3713 38.7933 41.1478 43.4408 45.6769 47.8606 49.9956
(0; 0.01) 43.2743 46.0372 48.6988 51.2707 53.7624 56.1818 58.5354 60.8287
(0.03; 0.01) 39.0147 41.6730 44.2427 46.7338 49.1544 51.5113 53.8099 56.0554
(-0.01; 0.015) 26.3610 28.6868 30.9550 33.1699 35.3350 37.4536 39.5284 41.5623
(0; 0.015) 36.3413 39.0479 41.6592 44.1858 46.6360 49.0169 51.3347 53.5949
(0.03; 0.015) 37.2222 39.9594 42.5995 45.1536 47.6306 50.0379 52.3819 54.6681
(-0.01; 0.02) 20.3824 22.5156 24.6039 26.6552 28.6701 30.6499 32.5961 34.51
(0; 0.02) 29.9048 32.5085 35.0282 37.4720 39.8467 42.1583 44.4119 46.6118
(0.03; 0.02) 34.0248 36.7933 39.4615 42.0406 44.5397 46.9664 49.3274 51.6283
SM = 2||Zq - f||2 + 2L|Щ2,
(19)
где В — трехдиагональная матрица размерностью М х М вида
Г 1 -1 0 ... 0 0Л
B = 1
-1 2 -1
0 0 0 0 0 0
0 0
2 -1 -1 1
а — параметр регуляризации, который подбирается методом невязки [11] с размерно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.