ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 6, с. 572-577
УДК 533.9.01;533.932;533.933;533.9.082.76
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
О ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ ЗАХВАТА В ЗАДАЧЕ О ВОЗМУЩЕНИИ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СФЕРОЙ
© 2013 г. В. Л. Красовский
Институт космических исследований РАН, Москва, Россия е-аП: vkrasov@iki.rssi.ru Поступила в редакцию 06.08.2012 г. Окончательный вариант получен 28.11.2012 г.
Анализируются общие свойства структуры возмущения плазмы с учетом ограничений на область финитного движения частиц около заряженного тела сферической формы. Демонстрируется важная роль такого параметра задачи как внешний радиус сферического слоя, в котором возможно существование захваченных частиц. Радиус сферы захвата определяется граничным условием, налагаемым на уравнение Пуассона. Значение границы области захвата для общего анализа и решения задачи иллюстрируется простыми примерами.
БО1: 10.7868/8036729211306005Х
1. ВВЕДЕНИЕ
Начало изучению структуры возмущения плазмы поглощающим телом сферической формы было положено при развитии теоретических основ зондовых методов диагностики газоразрядной плазмы [1—9]. После запуска первого искусственного спутника Земли [10] возникла необходимость исследования взаимодействия тел с космической плазмой, что послужило дополнительным импульсом к анализу задачи применительно к космическим условиям [11—16]. Наконец, в последние десятилетия интерес к задаче о поглощающей сфере вновь возрос в связи с быстрым развитием физики пылевой плазмы [17-20].
Строгое решение задачи наталкивается на ряд трудностей как методического, так и математического характера, причины которых наиболее подробно обсуждались в статьях [11-13]. Результаты этих работ суммированы в широко известной книге [14]. Хотя вплоть до настоящего времени большое внимание по-прежнему уделяется приближенным методам [19-23], уже в статьях [1113] продемонстрированы возможности последовательного решения задачи на основе кинетического описания плазмы, предложенного в [8]. По существу, в [8, 11-13] указаны пути адекватного описания возмущения плазмы и определения пространственной зависимости самосогласованного электрического поля в условиях применимости уравнения Власова.
В литературе неоднократно упоминался принципиально важный вопрос, препятствующий построению замкнутых теоретических моделей рассматриваемой физической системы. Он касается функции распределения захваченных частиц,
движущихся около сферы по финитным орбитам, и определения их вклада в экранирование заряженной сферы. С учетом столкновений между частицами, возможный метод ее расчета был разработан в [11, 13, 14]. Модельные расчеты можно найти также в [24-26]. Однако применительно к плазме без столкновений, в рамках поиска решений, описывающих состояния равновесия физической системы, распределение захваченных частиц остается неопределенным. Это неизбежно влечет за собой отсутствие единственности решения. Напрашивающийся выход из положения -анализ устойчивости разнообразных состояний равновесия [11], до сих пор, насколько известно, не был использован.
Переходя к содержанию данной статьи, прежде всего заметим, что ниже рассматривается только полностью бесстолкновительная плазма. Кроме того, статья не претендует на общее решение задачи ввиду указанных трудностей принципиального характера. Цель работы - попытаться выявить ряд общих закономерностей структуры возмущения плазмы, ясное понимание которых полезно как для общего анализа задачи, так и для исследования равновесных состояний на устойчивость и решения нестационарных задач о процессах зарядки сферы с заданными начальными условиями (см., например, [27-29]). Содержание статьи опирается на существование границы сферической области, в которой возможно движение захваченных частиц (для краткости, сферы захвата). Заметим, что в предшествующих работах для облегчения решения задачи на уравнение Пуассона нередко накладывались дополнительные граничные условия на некоторых поверхностях, границах области квазинейтральности, простран-
ственного заряда, двойного слоя и т.д. Эти дополнительные границы, удобные для понимания структуры возмущения плазмы, часто все же довольно искусственны и условны, или их формальное определение основано на упрощенных моделях (см., например, [1, 3, 6, 12]). Напротив, радиус сферы захвата имеет четкое формальное определение, не зависящее от математических методов решения задачи или выбора той или иной частной модели плазмы и возмущенной области.
2. ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Для краткости будем записывать уравнения в безразмерном виде, используя единицы измерения радиальной координаты, концентрации и электрического потенциала
[г] = Я, [п] = по, [ф] = Атщй2, (1)
где Я — радиус поглощающей сферы, я0 — концентрация невозмущенной плазмы, и й — эффективный дебаевский радиус. В зависимости от вида невозмущенных функций распределения электронов /е0 и ионов /10, последний параметр можно определить различным способом, например, с помощью понятия среднеквадратичной скорости или эффективной температуры. Полагая, для определенности, что сфера заряжена отрицательно до потенциала ф(Я) = -ф0, представим безразмерный потенциал в виде ф = -Аа(г), где
А = ф0 /4пеп0й , и а(г) — функция, описывающая форму потенциала вне сферы. Далее будем использовать также новую независимую переменную х = (Я/г)2. Тогда, форм-функция а(х) есть монотонно возрастающая функция на отрезке 0 < х < 1, причем а(0) = 0 и а(1) = 1. Безразмерное уравнение Пуассона принимает вид
2АБ2х2(2ха" + а') = п - пе + пт, (2)
где штрихом обозначены производные по х , Б = й/Я — безразмерный дебаевсий радиус, и в правой части вклад захваченных ионов пт представлен как отдельное слагаемое. Неопределенность функции распределения захваченных ионов влечет за собой неопределенность пт(х), что и затрудняет решение задачи [8, 11, 14].
Динамика частиц в центральном поле хорошо изучена [30], и применительно к рассматриваемой задаче подробно обсуждалась в [8, 14]. Если для скорости, энергии и углового момента частицы использовать единицы измерения
[V] = (еф0 /т)У 2, N = еф0, [М ] = Я(етф0)1/2, (3) то энергия частицы равна
где V, — радиальная скорость, и и(/, х) — эффективный потенциал, в котором динамика частицы представляет собой движение с одной степенью свободы, причем безразмерный параметр
J = М /2 пропорционален квадрату углового момента М. Эффективный потенциал имеет вид
М 2
ие = —2 + а(г) = х1 + а(х), 2г —2
щ = —2 - а(г) = х1 - а(х), 2г
(5)
п = у + х),
(4)
для электронов и ионов соответственно. Потенциал ще является монотонно возрастающей функцией х при любом /, благодаря чему расчеты концентрации электронов пе сравнительно просты. Для ионов, потенциал щ не обладает этим свойством. Как следствие, соответствующие расчеты требуют больших усилий, а выражения для щ оказываются более громоздкими [11, 14].
Качественные особенности поведения эффективного потенциала и(М, г) обсуждались и ранее [8, 14]. Поэтому, здесь мы лишь кратко рассмотрим его типичные свойства в новых переменных и = и^, х). Для дальнейшего анализа выпишем производные и(х) по х
и ' = J -аи'' =-а''. (6)
Прежде всего заметим, что точка перегиба и(/, х) совпадает с точкой перегиба а(х) при любом J. При больших J эффективный потенциал является монотонно возрастающей функцией х. С уменьшением J как параметра, при некотором J = J0 функция и(х) теряет свойство монотонности. При этом и0 = /0 -а0 = и'о = -а0' = 0 в некоторой точке х = х0, где и = и0 = х0/0 - а0 (здесь, и ниже, используются обозначения а к = а(хк), ик = (йи/йх)х = %к и т.д.). Если / < /0, то и(х) имеет один максимум и = = а$ -а $ в некоторой точке х = х8 < х0, и один минимум и = ив = хв а 'в - а в при х = хв > х0. С уменьшением /, как параметра, точка х8 смещается влево, а точка хв — вправо. При этом яма эффективного потенциала углубляется. Пространственная зависимость и(/, х) для функции а(х) частного вида показана ниже на рис. 2.
Рассмотрим функции ит{1) и Jm(u), заданные параметрически с помощью соотношений
и = ит = хйа-а(х), J = J т = ^. (7) йх йх
С учетом (5) и (6), легко видеть, что ит(1) определяет зависимость максимума и8 = и8(I) = um(J) от J при х < х0 и его минимума ив = ив(1) = um(J) при х > х0. Эти функции и8(J) и ив(^ в совокупности с
2
а 1.0
1.0
х
Рис. 1. График функции а( х), полученный путем численного решения уравнения Пуассона (14) при
В2 = 2. Тонкая прямая - касательная к кривой а( х), проходящая через точку с координатами х = 1, а = 1.
эффективным потенциалом u(x, J) = xJ - a(x) и
его значением на поверхности сферы uR = J -1 определяют границы областей интегрирования в расчетах моментов функции распределения для трех классов ионов, поглощаемых сферой, отражающихся от барьера эффективного потенциала и захваченных в потенциальные ямы.
3. РАДИУС СФЕРЫ ЗАХВАТА
Основная цель дальнейшего изложения — продемонстрировать роль радиуса сферы захвата, как существенного параметра задачи. Математическое определение этого параметра носит общий характер. Однако, для наглядной иллюстрации общих выводов, ниже используются простейшие модели плазмы и предельные случаи, упрощающие расчеты.
Поскольку частица, достигающая поверхности сферы, x = 1, поглощается, захваченные ионы, совершающие колебания вдоль x (или r), должны обладать энергией w в диапазоне
u(x, J) < w < min [uS (J), uR (J) ]. (8)
При некотором значении J = JT = a T эффективный потенциал в максимуме uS совпадает с его значением на сфере uR = J -1
us — x$a s a s — xt ат ат —
t ат
— JT -1 — aT -1 — uR. Как следствие, находим
1 - ат
J т — ат —
1 - xT
(9)
(10)
и(х, J) 0.20
0.15
0.10
0.05
0.05
-0.10 -
-0.15 -
1.0
х
Рис. 2. Пространственная зависимость эффективного потенциала для ионов и( х, /) для функции а( х), показанной на рис. 1, при различных значениях параметра / = М2/2, пропорционального квадрату углового момента частицы.
uT = JT - 1
xt
ат
1
(11)
При / < 1Т, (и5 > ик) с уменьшением /, как параметра, учитывая (8), находим ограничение на энергию захваченных ионов в виде
и = х1 - а(х) < ^ < иЯ = / -1. (12)
При этом координаты
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.