АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2012, том 89, № 7, с. 545-551
УДК 524.3.52
О ХОЛЛОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ПРОТОЗВЕЗДНЫХ ДИСКАХ
© 2012 г. В. В. Прудских*
Институт физики Южного федерального университета, Ростов-на-Дону, Россия Поступила в редакцию 16.05.2011 г.; принята в печать 22.11.2011 г.
В рамках холловской магнитогидродинамики рассмотрены неаксисимметричные возмущения прото-звездного диска, имеющего вертикальную и азимутальную компоненты магнитного поля. Обнаружено, что конвективный перенос магнитного поля холловским током приводит к неустойчивости флуктуаций в ограниченном интервале волновых чисел. Показана не обсуждавшаяся ранее принципиальная возможность существования холловской неустойчивости в среде, не содержащей неоднородности распределения плотности. Исследована зависимость инкремента неустойчивости как от величины плазменного параметра в, так и от степени ионизации протозвездного вещества. Отмечаются возможные последствия для слабоионизованных астрофизических дисков.
1. ВВЕДЕНИЕ
После выхода в свет работы [1], где было показано, что магниторотационная неустойчивость является возможным источником турбулентной вязкости аккреционных дисков, началось активное изучение проблемы магнитогидродинамиче-ских (МГД) неустойчивостей, генерируемых в дифференциально вращающихся потоках. Первоначально исследования касались неустойчивости альфвеновских (несжимаемых) возмущений, в том числе в слабоионизованной плазме протозвездных дисков [2, 3]. В последнем случае была выяснена важная роль эффектов холловского тока, вызванного различием в движении электронов и ионов вследствие отличия в частотах их столкновений с нейтральным газом [4, 5].
В последние годы большое внимание привлекает проблема МГД-неустойчивостей сжимаемого дифференциально вращающегося газа. В статье [6] было обнаружено, что наличие в диске достаточно сильного (сверхтеплового) азимутального магнитного поля Bq и учет вклада в магнитную силу членов вида BQ/r (r — радиальная координата) приводят к развитию двух новых неустойчивостей магнитозвуковой волны, в то время как магниторотационная неустойчивость оказывается подавленной. Урпин с соавтрами в цикле работ [7—11] исследовал неустойчивость сжимаемых МГД-волн, проявляющуюся в дисках, имеющих одновременно радиальную и азимутальную компоненту магнитного поля. Эта неустойчивость, в отличие от магниторотационной, необходимым
E-mail: slavadhb@mail.ru
условием которой является уменьшение частоты вращения диска О с увеличением радиальной координаты, реализуется при любом знаке йО/йт. Значительным достоинством данной неустойчивости является возможность ее развития даже в достаточно сильных магнитных полях.
Недавно авторы публикаций [12, 13] предсказали существование еще одного вида неустойчивости магнитозвуковых волн, названной ими холлов-ской. Неустойчивость возникает в протозвездных и протопланетных дисках, имеющих неоднородности радиального распределения плотности и магнитного поля. Такие неоднородности могут иметь естественное (случайное) происхождение или быть связаны с кольцевыми волнами плотности. В частности, в [13] было показано, что если магнитное поле перпендикулярно плоскости диска, то неакси-симметричные возмущения, распространяющиеся вдоль азимута, оказываются неустойчивыми. Этот результат был привлечен для объяснения механизма фрагментации кольцевого элемента диска на планетезимали.
Механизм неустойчивости, предложенный в [13], связан с появлением в стратифицированной среде холловской волны, вызывающей конвективный перенос магнитного поля. Этот эффект известен в электронной магнитной гидродинамике [14]: наличие взаимно перпендикулярных градиентов плотности и магнитного поля приводит к возникновению дрейфовой квазиэлектростатической волны, переносящей вмороженное магнитное поле. При существующем в диске внешнем радиальном градиенте плотности (или магнитного поля) другой градиент создается самим распространяющимся
546
ПРУДСКИХ
азимутальным возмущением. Усиление поля хол-ловским током в области сжатия магнитозвуковой волны является причиной развития ее периодической неустойчивости.
В настоящей работе обращено внимание на то, что неаксисимметричные возмущения протозвезд-ного диска, описываемые в рамках холловской магнитогидродинамики, могут оказаться неустойчивыми даже при отсутствии неоднородностей в распределении плотности вещества. Для этого необходимо предположить, что магнитное поле диска содержит, помимо вертикальной, азимутальную компоненту. Следуя [13], рассматриваются флуктуации, волновой вектор которых не имеет составляющих вдоль радиальной и аксиальной осей. Отсутствие компоненты волнового числа к?, перпендикулярной плоскости диска, позволяет исключить из рассмотрения эффекты магниторотационной неустойчивости в неаксисимметричных возмущениях [15, 16]. Для иллюстрации принципиальной возможности развития неустойчивости мы также пренебрегаем амбиполярными и резистивными потерями, считая движение ионов и нейтрального газа совместным, а электронную проводимость вдоль силовых линий магнитного поля высокой. Такое приближение справедливо во внешних хорошо проводящих об-
ластях дисков с плотностью пп ~ 1012—1014 см
л 14
10 см"3
В плотных дисках с пп > 1016 см"3 существенны потери, связанные с невысокой продольной проводимостью, тогда как в разреженных дисках с пп < 1011 см"3 важен учет потерь, обусловленный относительным движением ионов и нейтральных частиц.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
Рассмотрим устойчивость протозвездного диска, вращающегося с частотой О = О(г), так что в состоянии равновесия невозмущенная азимутальная скорость среды равна У0 = Ог. Пусть магнитное поле в диске содержит азимутальную и аксиальную компоненты: В0 = (0, Б^0, Б х0). Система МГД-уравнений имеет вид
Р-
-1
ж
с
[3 х В] — УР + РЕ,
дВ 3 х Б — = гей V х В - гей-,
дЬ епе
др
+ Шу(рУ) = 0,
3 = — ГСЙВ.
4п
(1) (2)
(3)
(4)
Здесь р и У — плотность и скорость плазмы, Р — давление и § = (—д, 0,0) — напряженность гравитационного поля. Второй член справа в уравнении (2) описывает холловский ток. Магнитное поле В0 и распределение плотности в диске считаются постоянными и не зависящими от радиальной координаты, поэтому в состоянии равновесия выполняется условие
(5)
О2г + § = 0.
Будем искать решение уравнений (1)—(4) в цилиндрической системе координат в виде возмущений
Л(в,г) = Л ехр г(шв — иЬ),
(6)
где Л(в,Ь) — любая из переменных. Тогда компоненты уравнения (1) могут быть записаны в форме
—ш'Уг — 2ОУ =
гкБ90 Бг 4пр0
к2— гкБХ0Бг .
— гке
—ги' V? =
4пр0
гкВв0Вг 4пр0
,2 Р_ 5 ро'
(7)
(8)
(9)
Здесь к = ш/г — азимутальный волновой вектор, и' = и — шО, с3 — скорость звука.
Из уравнения непрерывности (3) следует соотношение
^ = -,Уе.
Р0 и'
(10)
Необходимые для дальнейших расчетов компоненты г и г уравнения индукции (2) имеют вид
к2 v2
-ш'Вг = гкВв0Уг + Аг
Б?
Вво——,
исх Бх0
(11)
—ги'Б? = —гк(Б?0 Ув — Бв0 У) — (12)
к2У1
Б х0исх
Б 90 Б г,
где V= Б^0/4пр, ис? = (рг/р)исгх (и ах = е Бх0/шгс — ионная циклотронная частота в поле Бх0, рг — массовая ионная плотность).
Найдем из уравнения (12) компонету скорости V9, используя (9):
= + (13)
В
х0
ис
В,,
90
Здесь введено V\9 = Б20/4пр.
Уравнения (11) и (13) дают явное выражение компонент возмущенной скорости Vr и У через
компоненты магнитного поля Вг и Вг. Подставляя их в уравнения (7) и (8) и учитывая (10), придем к дисперсионному уравнению, описывающему неаксисимметричные возмущения протозвездного диска:
лв
')
+ к2 +
k2 (2V¿ + Vi + c2)+ (14)
V 2
V' )4 +
+
k2 (Vi, + Viz + 2c2) + к2 + k2Viz x
2 i 1л2лт2
4О2 + к2
+
к2 + k2 c2
V2
k2 V!, (V)2 -
2°(сг
- к6у4,с2 = о.
Устремив в (14) (сг к бесконечности, получим дисперсионное уравнение, описывающее альфве-новскую, быструю и медленную магнитозвуковые волны во вращающемся диске в рамках идеальной магнитогидродинамики:
(V')в -
k2 (2Vi, + Vjfz + c2 ) + к
(v' )4 + (15)
+
k2 (Vi, + V2z + 2^) + ^
X
X k2Vl(С)2 - k6ViecQ = 0.
Отметим, что уравнение (15) совпадает с полученным в работе [17], если в выражении (80) [17] положить kr = kz = 0. Также заметим, что в силу условия kz = 0 эффекты магниторотационной неустойчивости в (14) и (15) не проявляются.
3. АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ
Перепишем соотношение (15) в виде, удобном для анализа, учитывая, что при кеплеровском вращении диска к2 = О2:
W6 -
+ К4 H2 sin2 в
1 + (1 + в + sin2 в)K2 +
(16)
W4 + J 1 + (1 + 2в)К2 +
+
5
cos в + (1 + вК2)H
HK2 [к2W2 sin2 в-
- вК6 sin4 в = 0.
Здесь введен угол в между направлением магнитного поля и нормалью к диску согласно выражениям В,0 = В0 sin в и Bzо = В0 cos в. Остальные переменные имеют следующие значение: W = = v'/О, К = kVA/Ü, в = c2¡V\, V\ = Во2/4про, H = 0/vc, vc = vcz / cos в.
Y 0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01-
Рис. 1. Зависимость инкремента неустойчивости 7 = = 1т W от волнового числа кУлпри различных значениях Н. Для сплошной, штриховой, пунктирной и штрих-пунктирной линии Н = 1, 2, 5 и 10, соответственно. Остальные параметры: в = 1, 0 = п/4.
При отсутствии эффектов холловского тока (Н = 0) решения уравнения (16) являются действительными. Однако для конечных значений Н возможно существование комплексно-сопряженных пар решений, одно из которых соответствует неустойчивой моде колебаний. Принципиально несложно выписать явные аналитические выражения мнимой части безразмерной частоты Ш, однако более наглядным является графическое представление полученных результатов.
Анализ обнаруживает, что неустойчивые решения уравнения (16) появляются в ограниченном слева и справа диапазоне волновых чисел возмущений. На рис. 1 показана зависимость инкремента неустойчивости 7 = 1тШ от К = кУл/О при различных значениях параметра Н и фиксированном в. Неустойчивость имеет место, когда Н > в. Максимальное значение инкремента 7тах с ростом Н смещается в длинноволновую область. Величина 7тах немонотонна, и она принимает наибольшее значение в диапазоне 2 < Н < 5 (для в = = 1). Рис. 2 иллюстрирует зависимость 7(кУл/О) при различных в и фиксированном холловском
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.